2013届高考文科数学总复习(第1轮)广西专版课件：11.3导数的概念及运算

统计、导数及其应用第十一章11.1抽样方法考点搜索●瞬时速度●切线的斜率●边际成本●导数的运算高考猜想以选择题或填空题的形式考查导数的几何意义.1.导数的定义设函数y=f(x)在x=x0处附近有定义，当自变量在x=x0处有增量Δx时，则函数y=f(x)相应地有增量Δy=①______________.如果Δx→0时，Δx与Δy的比(也叫函数的平均变化率)有极限(即无限趋近于某个常数)，我们就把这个极限值叫做②_________________________，记作y′|x=x0，即f′(x0)=.f(x0+Δx)-f(x0)函数y=f(x)在x=x0处的导数yxyx0limxyx2.导函数如果函数y=f(x)在开区间(a，b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f′(x)，从而构成了一个新的函数f′(x)，称这个函数f′(x)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y′.即函数y=f(x)在x0处的导数y′|x=x0就是函数y=f(x)在开区间(a，b)(x0∈(a，b))上的导数f′(x)在x0处的函数值，即y′|x=x0=③________.f′(x0)00()-()()limlim.xxyfxxfxfxyxx3.导数的几何意义(1)设函数y=f(x)在点x0处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示的曲线在相应点M(x0，f(x0))处的④_________.(2)设s=s(t)是位移函数，则s′(t0)表示物体在t=t0时刻的⑤_________.(3)设v=v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t=t0时刻的⑥________.(4)设c是成本，q是产量，若c=c(q)，则c′(q0)表示产量q=q0时的⑦_________.切线斜率瞬时速度加速度边际成本4.几种常见函数的导数(1)C为常数，则C′=⑧____;(2)(xn)′=⑨_______.5.求导法则如果f(x)，g(x)有导数，那么［f(x)±g(x)］′=⑩_____________；［Cf(x)］′=__________.盘点指南：①f(x0+Δx)-f(x0);②函数y=f(x)在x=x0处的导数;③f′(x0);④切线斜率；⑤瞬时速度；⑥加速度；⑦边际成本；⑧0;⑨nxn-1;⑩f′(x)±g′(x);Cf′(x).11110nxn-1f′(x)±g′Cf′(x)如果质点M按规律s=3+t2运动，则在一小段时间［2,2.1］中，相应的平均速度是()A.4B.4.1C.0.41D.3解:.选B.B22(32.1)-(32)4.12.1-2svt若函数f(x)=2x2-1的图象上一点P(1,1)及邻近一点Q(1+Δx,1+Δy)，则=()A.4B.4+2ΔxC.4+ΔxD.4Δx+(Δx)2解：.选B.Byx22(1)-(1)2(1)-1-(21-1)42yfxfxxxxx若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和都相切，则a等于()A.-1或B.-1或C.或D.或7215-94yaxx256421474742564解:设过(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,)，所以切线方程为y-=3(x-x0)，即y=3x-2.又(1,0)在切线上，则x0=0或x0=.当x0=0时，由y=0与相切可得a=，当x0=时，由y=x-与相切可得a=-1，所以选A.30x30x30x20x20x32215-94yaxx215-94yaxx2564322742741.求下列函数的导数：(1)y=(2x3-1)(3x2+x);(2)y=3(2x+1)2-4x.解：(1)因为y=6x5+2x4-3x2-x，所以y′=(6x5+2x4-3x2-x)′=30x4+8x3-6x-1.(2)因为y=3(4x2+4x+1)-4x=12x2+8x+3，所以y′=(12x2+8x+3)′=24x+8.题型1求可导函数的导数点评：求多项式型函数的导数按各项分别求导即可，如果不是最简形式，则按整式的运算法则先化简成多项式，注意去括号时易出现漏项、符号变错等错误.函数y=(x+2a)(x-a)2的导数为()A.2(x2-a2)B.3(x2+a2)C.3(x2-a2)D.2(x2+a2)解：因为y=(x+2a)(x2-2ax+a2)=x3-3a2x+2a3，所以y′=3x2-3a2=3(x2-a2)，故选C.拓展练习拓展练习C2.设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n)(n∈N*)，求f′(0).解:设f(x)=an+1xn+1+anxn+…+a1x+a0(n∈N*)，则f′(x)=(n+1)an+1xn+nanxn-1+…+a2x+a1，所以f′(0)=a1,易知a1=1×2×…×n=n!，所以f′(0)=n!.点评：函数的导函数也是函数,求得导函数后,再代入求值可得导函数的值.涉及到系数问题,可结合二项展开式原理及方法求得指定项的系数.题型2求导函数的值拓展练习拓展练习已知f(x)=ax3+9x2+6x-7，若f′(-1)=4，则a的值等于()A.B.C.D.解：因为f′(x)=3ax2+18x+6，所以由f′(-1)=4，得3a-18+6=4，即a=，故选B.B1931661031331663.已知函数f(x)=x3-x.(1)求曲线y=f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程；(2)设a0，如果过点(a，b)可作曲线y=f(x)的三条切线，证明：-abf(a).解：(1)函数f(x)的导数为f′(x)=3x2-1.曲线y=f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为y-f(t)=f′(t)(x-t)，即y=(3t2-1)x-2t3.题型3导数几何意义的应用(2)证明:因为切线过点(a，b)，则存在t,使b=(3t2-1)a-2t3.于是，若过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线，则方程2t3-3at2+a+b=0有三个相异的实数根.记g(t)=2t3-3at2+a+b，则g′(t)=6t2-6at=6t(t-a).当t变化时，g(t)，g′(t)的变化情况如下表：t(-∞,0)0(0,a)a(a,+∞)g′(t)+0-0+g(t)极大值a+b极小值b-f(a)当a+b=0时，解方程g(t)=0得t=0，或t=，即方程g(t)=0只有两个相异的实数根；当b-f(a)=0时，解方程g(t)=0得t=，或t=a，即方程g(t)=0只有两个相异的实数根.32a2a综上，如果过(a，b)可作曲线y=f(x)的三条切线，即g(t)=0有三个相异的实数根，则,即-abf(a).点评：①导数的几何意义：切点在曲线上、切点在切线上、切点处的导数即为切线的斜率；②在点P处的切线与过点P的切线有质的区别；③过点(a，b)可作曲线y=f(x)的三条切线，则方程2t3-3at2+a+b=0有三个相异的实数根；④注意数形结合.a+b0b-f(a)0过点P(-1，2)且与曲线y=3x2-4x+2在M(1，1)处的切线平行的直线方程是__________.解：因为y′=6x-4，所以切线的斜率为k=y′|x=1=6×1-4=2.故所求直线为y-2=2(x+1)，即2x-y+4=0.拓展练习拓展练习2x-y+4=01.一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s=3t2+t，则t=2时的瞬时速度为____.解：因为s′=6t+1，故t=2时的瞬时速度为v=s′|t=2=13.参考题参考题132.求过点P(2，0)且与曲线y=x3相切的直线方程.解：设切点P1(x1，).因为y′=(x3)′=3x2，所以切线方程为，即.将P(2，0)代入，得，解得x1=0或x1=3.故所求切线方程为y=0或y=27x-54.31x32111-3(-)yxxxx23113-2yxxx231106-2xx1.高考对这一节的考查主要是导数的概念、导数的背景、导数的求导公式及运算法则.2.导数公式(xn)′=nxn-1中，指数n为正整数，但n其实可为有理数，这个推广能够方便地解决很多问题.如经常出现的函数y=ax+，就可以应用这个公式求导：y′=a-，进而可以处理相关的问题了，如单调性、最值等.bx2bx3.导数的几何意义是重点考查内容，这也体现了导数的工具性.在处理这类问题时，一定要弄清楚题目意思，如有的题是求这点处的切线，也有的题是过某点求切线，这两者是不同的，前者这一点是切点，切线只有一条，后者这一点可能是切点，也可能不是切点(切点是另外的一个点)，当然切线就可能有一条，也可能有两条了.