2014年高考(天津卷)理科数学

2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)选择题：共40分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2014天津，理1)i是虚数单位，复数7i34i＝()．A．1－iB．－1＋iC．1731i2525D．1725i77答案：A解析：7+i(7+i)(34i)2525i===1i3+4i(3+4i)(34i)25，故选A．2．(2014天津，理2)设变量x，y满足约束条件20201xyxyy，，，则目标函数z＝x＋2y的最小值为()．A．2B．3C．4D．5答案：B解析：画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分)．由z＝x＋2y，得1122yxz，作直线l：12yx，平移l，由图形可知当l经过可行域中的点A(1,1)时，z取最小值，且zmin＝1＋2×1＝3，故选B.3．(2014天津，理3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为()．A．15B．105C．245D．945答案：B解析：第一次执行循环体T＝2×1＋1＝3，S＝1×3＝3，i＝2；第二次执行循环体T＝2×2＋1＝5，S＝3×5＝15，i＝3；第三次执行循环体T＝2×3＋1＝7，S＝15×7＝105，i＝4.这时满足i≥4，跳出循环，输出S＝105，故选B.4．(2014天津，理4)函数212()log(4)fxx的单调递增区间为()．A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)答案：D解析：由x2－4＞0得x＞2或x＜－2，因此函数定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．令t＝x2－4，当x∈(－∞，－2)时，t随x的增大而减小，12logyt随t的减小而增大，所以212log(4)yx随x的增大而增大，即f(x)在(－∞，－2)上单调递增．故选D.5．(2014天津，理5)已知双曲线22221xyab(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()．A．221520xyB．221205xyC．2233125100xyD．2233110025xy答案：A解析：由于双曲线焦点在x轴上，且其中一个焦点在直线y＝2x＋10上，所以c＝5.又因为一条渐近线与l平行，因此2ba，可解得a2＝5，b2＝20，故双曲线方程为221520xy，故选A．6．(2014天津，理6)如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是()．A．①②B．③④C．①②③D．①②④答案：D解析：由弦切角定理知∠FBD＝∠BAD，∵AD平分∠BAC，∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠DBC.∴∠FBD＝∠CBD，即BD平分∠CBF，∴①正确；由切割线定理知，∴②正确；由相交弦定理知，AE·ED＝BE·EC，∴③不正确；∵△ABF∽△BDF，∴ABAFBDBF.∴AF·BD＝AB·BF，∴④正确．故选D.7．(2014天津，理7)设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案：C解析：令f(x)＝x|x|，则22,0,(),0,xxfxxx画出f(x)的图象(如图)，易知f(x)在R上为单调递增函数，因此a＞b⇔f(a)＞f(b)，故“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选C.8．(2014天津，理8)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若1AEAF，23CECF，则λ＋μ＝()．A．12B．23C．56D．712答案：C解析：由于菱形边长为2，所以BE＝λBC＝2λ，DF＝μDC＝2μ，从而CE＝2－2λ，CF＝2－2μ.由1AEAF，得()()ABBEADDF＝ABADABDFBEADBEDF＝2×2×cos120°＋2·(2μ)＋2λ·2＋2λ·2μ·cos120°＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1，所以4(λ＋μ)－2λμ＝3.由23CECF，得12(22)(22)23，所以23=+，因此有44()2()33++，解得56+，故选C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(2014天津，理9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．答案：60解析：依题意知，应从一年级本科生中抽取430060()4556名．10．(2014天津，理10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为__________m3.答案：20π3解析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，其上部是一个圆锥，且底面圆半径为2，高为2；下部是一个圆柱，底面圆半径为1，高为4，故该几何体的体积2218π20ππ22π144π333V+.11．(2014天津，理11)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为__________．答案：12解析：由已知得S1＝a1，S2＝a1＋a2＝2a1－1，411434(1)462Saa=+＝，而S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，整理得2a1＋1＝0，解得112a.12．(2014天津，理12)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知14bca,2sinB＝3sinC，则cosA的值为__________．答案：14解析：由2sinB＝3sinC，结合正弦定理得2b＝3c，又14bca，所以32bc，a＝2c.由余弦定理得222cos=2bcaAbc＝222322322ccccc＝14.13．(2014天津，理13)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为__________．答案：3解析：由ρ＝4sinθ可得ρ2＝4ρsinθ，所以x2＋y2＝4y.所以圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，其圆心为C(0,2)，半径r＝2；由ρsinθ＝a，得直线的直角坐标方程为y＝a，由于△AOB是等边三角形，所以圆心C是等边三角形OAB的中心，若设AB的中点为D(如图)．则1sin30212CDCB==，即a－2＝1，所以a＝3.14．(2014天津，理14)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为__________．答案：(0,1)∪(9，＋∞)解析：在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y＝a|x－1|的图象，由图知，当a＝0时，两函数的图象只有2个交点，当a＜0时，两图象没有交点，故必有a＞0.若曲线y＝－x2－3x(－3≤x≤0)与直线y＝－a(x－1)(x≤1)相切，联立方程得x2＋(3－a)x＋a＝0，则由Δ＝0得a＝1(a＝9舍去)，因此当0＜a＜1时，f(x)的图象与y＝a|x－1|的图象有4个交点；若曲线y＝x2＋3x(x＞0)与直线y＝a(x－1)(x＞1)相切，联立方程得x2＋(3－a)x＋a＝0，则由Δ＝0可得a＝9(a＝1舍去)，因此当a＞9时，f(x)的图象与y＝a|x－1|的图象有4个交点，故当方程有4个互异实数根时，实数a的取值范围是(0,1)∪(9，＋∞)．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)(2014天津，理15)已知函数2π3cossin3cos34fxxxx=+，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间ππ,44上的最大值和最小值．分析：(1)先利用两角和与差的正弦公式及二倍角的正弦、余弦公式，化简函数解析式为一个角的三角函数的形式，再求周期．(2)可利用函数f(x)在区间ππ,44上的单调性求最值．解：(1)由已知，有2133cossincos3cos224fxxxxx=+＝2133sincoscos224xxx－＝133sin2(1cos2)444xx++＝13sin2cos244xx＝1πsin223x.所以，f(x)的最小正周期2ππ2T=.(2)因为f(x)在区间ππ,412上是减函数，在区间ππ,124上是增函数，π144f，π1122f，π144f，所以，函数f(x)在闭区间ππ,44上的最大值为14，最小值为12.16．(本小题满分13分)(2014天津，理16)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．分析：(1)利用古典概型及其概率计算公式即可求解．(2)根据随机变量x的所有可能值及古典概型概率公式可求出分布列，再由数学期望的定义求解即可得所求数学期望．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则12033737310CCCC49C60PA.所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.346310CC()CkkPXk(k＝0,1,2,3)．所以，随机变量X的分布列为X0123P1612310130随机变量X的数学期望11316()01236210305EX.17．(本小题满分13分)(2014天津，理17)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．(1)证明：BE⊥DC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．分析：方法一：用向量方法解．通过建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标．(1)用向量积为0，证线线垂直．(2)设平面PBD的一个法向量．利用垂直关系确定法向量坐标，再由向量夹角公式求线面角．(3)确定出二面角的两个面的一个法向量，由向量夹角公式求二面角余弦值．注意共线向量定理的应用．方法二：几何证明法：(1)取PD中点M.通过证明ABEM为平行四边形来证明线线平行．由已知线面垂直证线线垂直，再证线面垂直．由此证得CD⊥AM，故可得结论．(2)由线与面、线与线、面与面的垂直，寻找并证明线面角，再通过解三角形，求出线面角的正弦值．(3)利用垂直关系寻找并证明二面角的平面角为∠PAG，再通过解三角形，利用余弦定理，求出二面角的余弦值．方法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．(1)证明：向量0,1,1BE，2,0,0DC，故0BEDC