机电系统设计与仿真-系统的状态空间模型

机电系统设计与仿真第2章系统的状态空间模型一、动态系统分析及其现代数学模型1yx例1、机械系统1yx例2、电路系统对于以上SISO线性系统，既可用高阶微分方程来描述输入-输出关系：也可用以下一阶微分方程组的形式来描述：对于MIMO系统，更适于用一阶微分方程组的形式来描述：状态与状态变量设以上MIMO系统的状态变量记为：12()(),(),,()TTmutututut输入函数：12()(),(),,()TTrctctctct输出函数：二、状态空间方程系统的动态特性可用一阶微分方程组来描述如下：矩阵形式为：称为状态方程，记为：xAxBu描述了输入作用下的系统状态运动过程。输出变量则可列写成：yCxDu称为输出方程，描述了输出变量与状态变量（和输入变量）间的线性组合变换关系，为代数方程。C称为输出矩阵，D为直接传递矩阵。状态方程与输出方程一起构成为系统的状态空间表达式。状态空间描述把系统的运动归结为“输入-状态-输出”，能更深刻地揭示系统运动的本质。称A为系统矩阵，B为输入矩阵或控制矩阵。SISO系统的系统状态图状态变量的个数一般等于系统所包含的独立储能元件的数目。一个n阶系统有n个独立的状态变量，为状态的最大线性无关组，或称最小变量组。选择不唯一，一般取系统中易于测量观测的量作状态变量。MIMO系统的系统状态图前述的M-C-K系统的状态空间表达式即为：R-L-C系统的状态空间表达式即为：状态空间表达式为现代控制理论的基本模型！同时也是动力学系统研究的一种重要模型。现代控制理论与经典控制理论特性的比较：(1)状态空间描述是系统输入、状态和输出诸变量间的时域描述，涉及系统全部信息，比传递函数法更为完善，为系统的内部描述法；(2)状态空间描述特别适于多变量系统的描述；(3)状态空间描述法不仅适于线性系统，还适于时变系统，非线性系统以及非零初始条件下的系统分析求解；(4)用向量、矩阵表达系统的状态空间方程，系统状态空间描述的形式及其求解计算适于计算机处理、分析和设计，直观简单、方法统一；(5)n个一阶微分方程组的求解比一个n阶微分方程的求解简单，并有标准型法、状态分解法等求解方法。(6)输出反馈、状态反馈，可达到极点的任意配置，以及最优控制，所用方法严谨统一，而基于传递函数的根轨迹法、频率响应法等经典设计法，实质为一种试凑法，不能得到某种意义下的最优性能。(7)系统传递函数（微分方程）与状态空间方程两种数学模型之间可相互转换。1、一老式货运汽车的悬挂系统如下图所示，求汽车相对于路面的位移x和悬挂部分的位移y1之间的关系。系统振动方程：三、典型机电系统选讲又令：得状态空间表达式为：2、电动机通过弹性轴联接惯性负载的简化模型振动方程求电动机输出力矩Tm与负载转角θL间关系传递函数取状态变量：非刚性耦合使系统阶次增高，会引起谐振传递至整个系统，带来稳定性等问题。联接轴刚度k无穷大时，可简化为：3、油井钻井平台与钻孔机的简化模型。钻井平台向钻孔机提供驱动力矩，带动钻轴转动，钻头受被钻物体的接触力矩。求输入（驱动）力矩τ2与转角θ2间关系。取状态变量状态空间表达式：具有黏性阻尼的二自由度系统强迫振动：二自由度振动系统：111211212222122222221212()()()()mxccxkkxcxkxFtmxcxkxcxkxFt111221122112222222220()0()mxcccxkkkxFtmxccxkkxFtMXCXKXF为形式：称为振动方程4、多自由度振动系统的状态空间表达.....1111111221221......222221221332332....333332332()()()()(()())(()())()()(()())(()())(()())(()())()()(()())(()())mxtFtkxtcxtkxtxtcxtxtmxtFtkxtxtcxtxtkxtxtcxtxtmxtFtkxtxtcxtxt运用隔离体法，对每个质量块进行分析，可得该三自由度系统的运动微分方程为：三自由度阻尼振动系统1112211221122223322233223333333330000()00()0000()mxcccxkkkxFtmxccccxkkkkxFtmxccxkkxFt多自由度振动系统振动方程转换为相应的状态空间方程可有统一的方法：MXCXKXF系统振动方程变形为：111XMCXMKXMF12,XXXX取111112200XIXFXMKMCMX得状态方程为：至于输出方程，可根据实际的求解要求而容易写出！5、齿轮传动系统以下图中，T为输入转矩，忽略轴的弹性，同轴齿轮的转动惯量和阻尼系数归并。以转轴1的转角θ1为输出量。求T与θ1间的关系。并记：11122221nrTnnrT两转轴的力矩平衡方程为：消元中间变量，得T与θ1间关系：分别为转轴2等效于转轴1后的总的等效转动惯量和阻尼系数。即等效成为：齿轮传动系统可机电比拟于理想变压器系统：比拟关系为根据电压、电流变换关系：可得一次侧的电压、电流微分方程为：6、液位系统下图所示为存在交联作用的复杂液位系统。流量与液面差间近似取线性关系q=h/R，R为阀门液阻。C1、C2为液容，即容器截面积。有方程：消去中间变量，得：比拟于电网络：四、由状态空间方程求系统传递函数（矩阵）xAxBuyCxDu1()()TsCsIABD传函矩阵为：1122mryuyuyu则有：例：得传函为；五、由系统高阶微分方程（传递函数）列写状态空间方程SISO连续（LTI）系统一般可用输入x(t)、输出y(t)函数间的高阶微分方程描述。（一）能控标准型状态方程1、输入函数不含导数项时()(1)(2)121nnnnnyayayayayu取状态变量为：则得到状态方程（可改为）()nbut对应的传递函数？即：记为：矩阵A、B、C的特点以上状态方程为能控标准形输出方程则为：对应有系统方框图：举例：2、输入函数含导数项时()(1)(2)121()(1)(2)0121nnnnnnnnnnyayayayaybubuaybubu其中d=b0引入中间变量x，得如下方框图：则有：（1）（2）其中（1）对应有：由（2），输出方程为：即：对应方框图为：y（二）状态方程的能观标准形能控标准型和能观标准形各矩阵的比较，矩阵间关系。对偶性原理（三）矩阵A的对角化，对角标准型与约当标准型状态空间表达式为：取状态变量的非奇异变换XPX则可得状态空间表达式为：状态空间方程的非奇异变换，不会改变系统的特征方程和特征值，也不会改变系统输入-输出间关系，故变换前后系统传递函数是保持不变的。XAXBUYCXDUXAXBUYCXDU其中1,APAP1,BPB,CCP若系统矩阵A有n个相异的特征值：对应有n个相异的特征向量：并取变换矩阵为：121,,,,nn121,,,,nnPPPP121[,,,,]nnPPPPP从传递函数形式的变换也可有对角化问题：设：令：则可部分分式展开为：则取对应的时域描述为：可写成：对角标准型状态图为：矩阵A还有多重特征根的情况，设A有m重特征根（而其余根均单值），则对角化处理时，m重特征根对应有约当块矩阵：1满足：从传递函数形式的变换也有同样的问题：如传函可写出状态方程为：系统状态图为：六、线性定常连续系统状态方程的解0()()(),(0)xtAxtbutxx（一）求以下线性定常系统的状态方程的解可与一阶标量系统微分方程的求解相比照，两者有相同的方法。可求得以上状态方程的解为：0()()(0)()()txttxtbud其中()(),()AtAttete第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。（若初始时刻为t0？）为矩阵指数函数，称为状态转移矩阵。22112!!AtiieIAtAtAti进而可直接由输出方程求输出函数。（二）状态转移矩阵的性质：（1）（2）（3）（4）（5）即一个状态的转移过程可以分解为一系列相继连续的转移过程。（6）0(0)AeI()()()(0)tAttAA，并有1()()tt，即状态转移过程在时间上是双向的121221()()()()()tttttt012202110()()()ttttttttt对于任意的、、，有()()ktktk，等于整数（三）φ(t)的计算方法直接利用无穷级数的计算式求解，只适于某些低阶而简单系统矩阵A的情形。其它求解方法有：（1）拉普拉斯变换法对状态方程的一阶微分方程组取拉氏变换，变换为复数域的代数方程组，整理求得状态变量的复数域解，又取拉氏反变换得到状态方程解。该方法可求得低阶状态方程的解析解。（2）本征向量展开法设A阵的互异本征值为，对应的本征向量组成的变换矩阵为11()AtteLsIA1,2,,iin12n则可对A阵做对角化112(,,,)nAdiag1()tAttee可得：其中12(,,,)nttttediageee对于A阵有多重本征值的情况，有同样的处理方法，只是对应有约当标准形及其矩阵指数函数。（3）基于凯利-哈密顿（Cayley-Hamilton）定理的计算方法该方法可得到状态转移阵的解析解为：210121()()()()AxnnexIxAxAxAA阵有n个互异本征值时，n个系数（函数）满足：()1,2,,1)ixin121210111211222211()1()1()1nnxnxnxnnnnxexexe当A阵出现相重本征值及约当型时，仍有以上形式的解析解，只是系数的求解复杂些而已。实例分析：0123A22222222ttttAttttteeeeeeeee010001230A（4）状态方程的MATLAB求解状态空间方程的组合、连接：augstate,append,parallel,series，feedback，cloop，ssdelete，ssselect，时域响应函数：step，impulse，initial，lsim频域响应函数：bode七、线性定常离散系统及其求解线性定常离散系统的状态空间描述为：(1)()()()()()xkGxkHukykCxkDuk0,1,2,3,k系统状态图为：对于SISO线性定常系统，其差分方程和脉冲传函分别为：用变量z置换为变量s，则可成为连续系统的传递函数。故由差分方程或脉冲传递函数求状态方程的方法，可完全采用连续系统传递函数求状态方程的方法。（一）脉冲传函求状态方程如：对应的方框图为：写出能控标准型为：写出能观标准型为：对角线标准形（二）线性定常连续动态方程的离散化认为在一个采样周期T内，u(k)=常量，则有：()()()ytCxtDut连续系统的输出方程离散化后为：()()()ykCxkDuk以上的离散系统状态方程可记为：(1)()()xkGxkHuk离散状态方程的求解，可采用迭代法、z变换法等方法，求