3第三章微分模型

预备知识一元函数微积分．学习目标1.掌握建立（一元、多元）函数最值模型的方法；2.掌握用求函数驻点的方法求函数的最值.3.1微积分模型在实际生产和生活中，常常遇到求“成本最低”、“产量最大”、“收入最高“、“利润最大”、“效率最高”、“用料最省”、“时间最短”等问题．这类问题在数学上就是求函数的最大值、最小值问题，统称为最值问题．它是数学上一类常见的优化问题，这类问题可以表示为max(min)()fx其中f(x)为目标函数，max(min)分别表示求最大（最小）值．求解此类问题可以利用微积分中的导数知识或借助Matlab求解．问题1【水果的最佳收获时间模型】又是一个苹果成熟的季节,老王正为采摘和出售苹果的时间犯愁．如果本周采摘，每棵树可采摘约10kg苹果，此时，批发商的收购价格为3元/kg．如果每推迟一周，则每棵树的产量会增加1kg，但批发商收购苹果的价格会减少0.2元/kg．8周后，苹果会因为熟透而开始腐烂.问老王第几周采摘，收入最高．一、模型准备此题为求第几周采摘，老王每棵苹果树的收入最高，其中收入=产量×单价.二、模型的假设与符号说明1.假设采摘按整周考虑，不考虑分期采摘的情形.2.假设老王采摘苹果后立即卖给批发商．3.假设本周每棵树可采摘苹果10kg，且最近8周内每推迟一周，一棵苹果树会多长出等质的苹果1kg.4.假设第x周采摘时每棵树的收入为R（x）元，x=0对应本周.三、模型建立第x周采摘时每棵树可采摘的苹果数量为()10Qxx此时，苹果的销售单价为xxp2.03)(xxp2.03)()()()(xpxQxR)2.03()10(xx22.030xx所以第x周采摘时,农户所得收入为三、模型求解4000n4000n)4000(3)4000%(106000602%8npnpnnp令得驻点将收入函数求导，得xxR4.01)(xxR4.01)(0)(xR5.2x方法一：方法二：symsxy=30+x-0.2*x^2;ezplot(y,[-20,40])图3-1利用Matlab求解.由于Matlab的函数命令fminsearch是求函数的最小值，故需要把函数转换成．从图3-1可以观察出，在第3周左右采摘,老王获得的收入最高．因此选择为初始点，在其周围寻找最小值．22.030)(xxxR22.030)(xxxR30xfval=2.5000x=-31.2500y=@(x)-30-x+0.2*x^2;[fval,x]=fminsearch(y,3)运行结果如下：用Matlab求解如下：因31.2元，所以第2周或第3周采摘获利最佳，此时每棵苹果树的收入为31.2元.)3()2(RR拓展思考:1.如果本周采摘，每棵树可采摘约15kg，问题1的其它条件不变．问第几周采摘,老王的收入最高？2.分析苹果现有产量与采摘周数之间的关系.3.如果考虑分期采摘，是否会提高收入?1.在理清变量关系的基础上，弄清问题的目标，建立所求问题的目标函数．建立和求解最值模型的一般步骤2.求解：用求导的方法得驻点,若在问题考虑的范围内得到唯一驻点,分析实际问题的最值又存在，则驻点即为最值点;或用Matlab求出所求问题的最值点问题2【光纤收费标准模型】某地有多家有线电视公司.有线电视公司A的光纤收费标准为14元/（月、户），目前它拥有5万个用户．某位投资顾问预测，若公司每月降低1元的光纤收费，则可以增加5000个新用户．（１）请根据这一预测，为公司制定收费标准，以获得最大收益．（２）如果公司每月每户降低1元的光纤收费，只增加1000个新用户，问该如何制定收费标准？一、模型假设与符号说明1.假设该地的用户数远远大于5万．2.假设只考虑公司降价而不考虑提价的情况．3.若公司每月每户降低1元的光纤收视费，可增a个新用户．公司每月每户降低x元的光纤收视费，公司的月收益为元．)(xP二、模型建立P（x）=每月每户交纳的收视费×总用户数，即)50000()14()(axxxP，2)5000014(700000axxa140x三、模型求解（１）当时时，求导得5000a2500020000700000)(xxxPxxP1000020000)(得驻点2x，0)(xP令根据实际问题的分析知道，当公司定价为14-2=12元时，公司拥有50000+5000×2=60000户用户，此时公司每月的最大收益为12×60000=720000元=72万元用Ｍatlab作出函数的图形，如图3-2所示，图(1)从0-14，图(2)为放大图形.（1）（2）图3-2（２）当时，1000a2100036000700000)(xxxPxxP200036000)(令，得驻点，而由实际问题知，故与实际情况不吻合，应舍去．此时只有当公司定价为１４元时，方可获得最大月收益5×14=７0万元．0)(xP18x0x求导得用Ｍatlab作出函数的图形,如图3-3所示．2100036000700000)(xxxP图3-3拓展思考：1.在问题（1）中，如果通过调研发现，该公司最多只能拥有5.7万个用户，问该如何制订收费标准．2.试分析最佳收费与每降低1元新增客户数量之间的关系.归纳一类问题的分析处理方法4000n4000n)4000(3)4000%(106000602%8npnpnnp商品的销售量在一定程度上受着商品价格的影响．一般来说，降低商品价格会增加销售量，所以并不是商品价格越高，企业获利越高.科学合理地确定商品的价格会使企业获得最佳收益．问题3【最佳车速模型】小王准备租用一辆载重为5T的货车将一批货物从成都运往都江堰.为节省高速公路收费，他安排司机走老成灌公路．若货车以xkm/h(40x65)的速度行驶，每升0#柴油可供货车行驶km，而此时柴油的价格是5.36元/L，司机的劳务费为30元/h.假设从成都到都江堰的路程为45km，请帮小王确定运输费用最低的货车行驶速度．一、问题准备小王支付的运输费用包括以下两个部分：(1)劳务费(2)燃油费．这里不考虑货车的折旧费和租车费，又因货车走老公路，所以可以不考虑过路费．二、模型假设与符号说明1．假设货车按设定的速度匀速行驶．2．假设货车在途中未发生任何意外.3．假设小王支付的运输费只包括司机的劳务费和汽车的燃油费，不考虑租车费用和货车折旧费．．4．假设车辆走老公路不产生过路费且车程为45km．5．假设货车的车程只考虑从成都到都江堰的车程，不考虑从具体出发地点到公路口的路程．6.设货车行驶的速度为xkm/h，行驶完全程的时间为th．小王支付的劳务费为y1元，柴油费为y2元，运输费为y元．三、模型的分析与建立运输费包括司机的劳务费和汽车的燃油费，其中1．劳务费=行车时间×劳务费单价．劳务费单价为30元/h，货车行驶的时间为t=，所以支付的劳务费为y1=x45.13503045xx36.5809x2.燃油费=使用燃料的总量×燃料价格．全程消耗的柴油为（L），所以柴油费为y2综上分析，运输费为80940045xx36.5809xx603.0xxy603.01350四、模型的求解对总运费求导，得603.013502xy316.47x令，得驻点．因在40与65之间，所以根据实际问题知，当货车以47.316km/h行驶时，小王支付的运输费最低．0y316.47x作出运输费用函数图形，如图3-4所示.图3-4所以当货车以47.316km/h行驶时，小王支付的运输费最低，最低运输费用为57.063元一般地，汽车由于发动机转速的不同，其最佳效率也不一样．若这辆汽车发动机的效率为请为小王确定汽车的最佳速度．200012.0768.0vp，200012.0768.0vp拓展思考：归纳一类问题的分析处理方法4000n4000n)4000(3)4000%(106000602%8npnpnnp在我国，汽车正逐步走进千家万户，汽车行业也正成为我国的一个朝阳产业．但中国汽车市场的竞争依然十分激烈．随着燃油费的不断上涨，汽车的油耗成为了购车族关注的焦点．改进发动机的性能，降低油耗，抑或研发新能源汽车等已成为当前各汽车制造商研发的重点课题．在这些课题研究中，不可避免地要对汽车的各项指标进行定量检测与分析，而这些均离不开数学这一强大的工具．200012.0768.0vp问题4【生产调度模型】佳韵体育专用器材厂收到生产8000个跳水板的订单．公司目前拥有几台生产跳水板的自动化设备，每台机器每小时可以生产30个跳水板，每台机器运转的折旧费是160元，每个跳水板的材料费为20元．生产过程中，需要一个操作人员全程管理这些设备，操作人员的劳务费为30元/h．（1）请表示生产8000个跳水板的总费用？（2）问公司购置几台这样的设备，可使成本最低。一、模型假设与符号说明1.假设公司有足够的钱购买设备．2.假设购置的机器能够同时正常运转．3.假设一个操作员能同时管理所有设备.4.设公司完成这批订单的成本为y元，公司购置了x台设备，生产8000个跳水板共用了h．h二、模型的分析与建立800020公司生产8000个跳水板的总费用（单位：元）=材料费+机器运转的折旧费+操作人员的费用．yx160h3020800030160hxy16000030160hx（3.1）材料费=每个跳水板的材料费跳水板的个数=（元）机器运转的折旧费=每台机器的折旧费×机器台数=（元）,操作人员的费用=劳务单价×操作时间=（元）.因此，可建立总费用模型为其中800030hx即xh308000代入式（3.1），得1600008000160xxy三、模型的求解问题2即求函数的最小值．对求导，得yy28000160xy令，得驻点．由于机器台数只能是整数，所以下面计算和时相应的总费用0y071.750x7x8x当时，元；当时，元．7x162290y8x162300y作出总费用函数图形,如图3-5所示.因此购置7台这样的设备，可使成本最低．最低费用为162290元.图3-5拓展思考：1.若已知每台机器每小时运转的折旧费是60元，则如何求解此题．2.若每台设备各需要一人管理，结果又如何．3.若租用一台设备的费用为a元/天，问公司该如何安排？企业在扩大再生产时，必须进行充分的市场调研和投入产出分析等．若盲目地扩大再生产，必将使企业陷入困境，有时甚至难以维系，最终导致破产．扩大生产规模时究竟需要增加多少设备呢？本题通过建立数学模型和对模型求解给予很好的回答．另外，企业也可以根据临时的订单需要，在可能的情况下，考虑租用一些设备，以解燃眉之急，达到减少成本、降低风险的目的．这时，分析和处理方法与本问题相似．归纳一类问题的分析处理方法问题5【油管铺设模型】某石化公司要铺设一根石油管道，将石油从炼油厂输送到河对岸的石油罐装点，如图3-6所示．炼油厂附近有条宽2.5km的河，罐装点在炼油厂对岸沿河下游10km处．如果在水中铺设管道的费用为6万元/km，在河边铺设管道的费用为4万元/km．试在河边找一点P，使管道铺设费最低．图3-6一、模型假设与符号说明1．假设河床宽度均为2.5km,河岸是铅直的.2．假设炼油厂就在河边，它与河边的距离为0，石油罐装点在河对岸的河边上，到河边的距离也为0．3.设p点距炼油厂的距离为km，管道铺设费为万元．xy二、模型的分析与求解由图3-6知，从炼油厂到石油罐装点的管道铺设费由两部分构成：一部分是从炼油厂到河同岸的P点的管道铺设费万元；一部分是从P点到河对岸的石油罐装点的管道铺设费万元．总铺设费为x4225.2)10(6x225.2)10(64xxy)0(x三、模型的求解对x求导,得222[(10)2.5](4)62(10)6.25xxx'y26(10)4(10)6.25xx令，得