双曲线及其标准方程(第二课时)

双曲线及其标准方程（第二课时）【自学导引】1．双曲线的标准方程形式为)0,0(12222babyax或)0,0(12222babxay．2．求双曲线的标准方程就是根据题目条件求出a、b的值，并由焦点所在的坐标轴确定方程形式．【思考导学】求双曲线的标准方程的常用方法是待定系数法，常通过列方程、解方程(组)解决．【典例剖析】［例1］若一个动点P(x，y)到两个定点A(－1，0)、A′(1，0)的距离差的绝对值为定值a，求点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状．解：∵｜AA′｜＝2，∴(1)当a＝2时，轨迹方程是y＝0(x≥1或x≤－1)，轨迹是两条射线．(2)当a＝0时，轨迹是线段AA′的垂直平分线x＝0．(3)当0＜a＜2时，轨迹方程是4142222ayax＝1，轨迹是双曲线．点评：注意定值的取值范围不同，所得轨迹方程不同．［例2］一炮弹在某处爆炸，在F1(－5000，0)处听到爆炸声的时间比在F2(5000，0)处晚17300秒，已知坐标轴的单位长度为1米，声速为340米/秒，爆炸点应在什么样的曲线上?并求爆炸点所在的曲线方程．解：由声速为340米／秒可知F1、F2两处与爆炸点的距离差为340×17300＝6000(米)，因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上．因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点应在靠近F2处的一支上．设爆炸点P的坐标为(x，y)，则｜PF1｜－｜PF2｜＝6000，即2a＝6000，a＝3000．而c＝5000，∴b2＝50002－30002＝40002，∵｜PF1｜－｜PF2｜＝6000＞0，∴x＞0，所求双曲线方程为222240003000yx＝1(x＞0)．点评：在F1处听到爆炸声比F2处晚17300秒，相当于爆炸点离F1的距离比F2远6000米，这是解应用题的第一关——审题关；根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线，这是解应用题的第二关——文化关(用数学文化反映实际问题)．借助双曲线的标准方程写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关——数学关(用数学知识解决第二关提出的问题)．［例3］在面积为1的△PMN中，tanPMN＝21，tanMNP＝－2，建立适当坐标系，求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程．解：以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，设P(x0，y0)，M(－c，0)，N(c，0)，(y0＞0，c＞0)(如图8—6)则122122100000yccxycxy，解得2333263500cyx设双曲线方程为,1432222ayax将点P(332,635)代入，可得a2＝125∴所求双曲线方程为.13112522yx点评：选择坐标系应使双曲线方程为标准形式，然后采用待定系数法求出方程．【随堂训练】1．“ab＜0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的()A．必要但不充分条件B．充分但不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：若ax2＋by2＝c表示双曲线，即bcyacx22＝1表示双曲线，则abc2＜0，这就是说“ab＜0”是必要条件，然而若ab＜0，c可以等于0，即“ab＜0”不是充分条件．答案：A2．方程kykx51022＝1表示双曲线，则k∈()A．(5，10)B．(－∞，5)C．(10，＋∞)D．(－∞，5)∪(10，＋∞)解析：∵方程kykx51022＝1表示双曲线，∴(10－k)(5－k)＜0，∴5＜k＜10．答案：A3．在双曲线中，25ac，且双曲线与椭圆4x2＋9y2＝36有公共焦点，则双曲线的方程是()A．42y－x2＝1B．42x－y2＝1C．x2－42y＝1D．y2－42x＝1解析：把椭圆的方程写成标准方程4922yx＝1，∴椭圆的焦点坐标是(±5，0)．∵双曲线与椭圆有相同的焦点，∴双曲线的焦点在x轴上，且c＝5，∵25ac，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝1，∴双曲线的方程为42x－y2＝1．答案：B4．过(1，1)点且2ab的双曲线的标准方程为()A．212x－y2＝1B．212y－x2＝1C．x2－212y＝1D．212x－y2＝1或212y－x2＝1解析：当双曲线的焦点在x轴上时，则双曲线的方程为22222ayax＝1，∵点(1，1)在双曲线上，∴22211aa＝1，a2＝21，b2＝2a2＝1，∴双曲线的方程为212x－y2＝1，当双曲线的焦点在y轴上时，同样可求得双曲线的方程为212y－x2＝1．答案：D5．焦点在x轴上，中心在原点且经过点P(27，3)和Q(－7，－62)的双曲线方程是______．解析：依题意可设双曲线方程为：2222byax＝1(a0，b0)∴1)26()7(13)72(22222222baba，即1724919282222baba，解得252522ba∴双曲线的方程为752522yx＝1答案：752522yx＝16．P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝______．解析：由x2－y2＝16知a＝4又∵P在双曲线x2－y2＝16的左支上∴|PF1|－|PF2|＝－2a＝－8即|PF1|－|PF2|＝－8．答案：－8【强化训练】1．已知双曲线的焦距为26，ca2＝1325，则双曲线的标准方程是()A．1692522yx＝1B．1692522xy＝1C．1442522yx＝1D．1442522yx＝1或1442522xy＝1解析：∵2c＝26，ca2＝1325，∴c＝13，a2＝25．∴b2＝132－25＝144．∴双曲线的标准方程为1442522yx＝1或1442522xy＝1．答案：D2．F1、F2为双曲线42x－y2＝－1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是()A．2B．4C．8D．16解析：双曲线42x－y2＝－1的两个焦点是F1(0，－5)、F2(0，5)，∵∠F1PF2＝90°，∴｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2．即｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝20①∵｜PF1｜－｜PF2｜＝±2，∴｜PF1｜2－2｜PF2｜·｜PF1｜＋｜PF2｜2＝4②①－②得2｜PF1｜·｜PF2｜＝16，∴21PFFS＝21｜PF1｜·｜PF2｜＝4．答案：B3．双曲线的焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上，两焦点关于原点对称，35ac，则此双曲线的方程是()A．643622yx＝1B．366422yx＝1C．643622yx＝－1D．366422yx＝－1解析：在方程5x－2y＋20＝0中，令x＝0得：y＝10，∵双曲线的一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上又在y轴上，且两焦点关于原点对称，∴c＝10，∵35ac，∴a＝6，∴b2＝c2－a2＝100－36＝64．∴双曲线的方程为643622xy＝1，即366422yx＝－1．答案：D4．椭圆2224ayx＝1与双曲线2222yax＝1有相同焦点，则a的值是______．解析：∵椭圆2224ayx＝1与双曲线2222yax＝1有相同的焦点∴2242aa即a2＋2＝4－a2，∴a2＝1，即a＝±1．答案：a＝±15．已知F1、F2是双曲线91622yx＝1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值是______．解析：∵双曲线方程为91622yx＝1∴2a＝8由双曲线的定义得|PF2|－|PF1|＝2a＝8①|QF2|－|QF1|＝2a＝8②①＋②得|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝16∴|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝16答案：166．求与圆A：(x＋5)2＋y2＝49和圆B：(x－5)2＋y2＝1都外切的圆的圆心P的轨迹方程．解：∵｜PA｜－｜PB｜＝7－1＝6．∴点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的一支．设P点的坐标为(x，y)，∵2a＝6，c＝5，∴b＝4．故点P的轨迹方程是16922yx＝1(x＞0)．7．已知曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2，求实数k的值．解：(1)由1122kxyyx消y，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0由0)1(8401222kkΔk得k的取值范围为(－2，－1)∪(－1，1)∪(1，2)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)得x1＋x2＝－212kk，x1x2＝－212k又l过点D(0，－1)∴Ｓ△OAB＝Ｓ△OAD＋Ｓ△OBD＝21｜x1｜＋21｜x2｜＝21｜x1－x2｜＝2∴(x1－x2)2＝(22)2即(212kk)2＋218k＝８∴k＝0或k＝±26．8．已知双曲线的焦点为F1(－c，0)、F2(c，0)，过F2且斜率为53的直线交双曲线于P、Q两点，若OP⊥OQ，｜PQ｜＝４，求双曲线的方程．解：设此双曲线的方程为2222byax＝1将②代入①并整理得：(5b2－3a2)x2＋6a2cx－(3a2c2＋5a2b2)＝0③设P(x1，y1)，Q(x2，y2)∵OP⊥OQ，∴2211xyxy＝－1即1)(53)(532211xcxxcx化简得3c(x1＋x2)－８x1x2－3c2＝0⑥将④、⑥及c2＝a2＋b2代入⑥式并整理得3a4＋８a2b2－3b4＝0即(a2＋3b2)(3a2－b2)＝0但a2＋3b2≠0，∴b2＝3a2从而c＝22ba＝2a由｜PQ｜＝４得(x1－x2)2［53(x2－c)－53(x1－c)］2＝４2整理得：(x1＋x2)2－４x1x2－10＝0⑦将④、⑤式及b2＝3a2，c＝2a代入⑦式解得a2＝1同时b2＝3a2＝3所以所求双曲线的方程为：x2－32y＝1．【学后反思】求双曲线的标准方程应先判断焦点所在的坐标轴，其次再确定a、b的值．已知△PF1F2(P为双曲线上的点，F1、F2为双曲线的焦点)的某些元素时，往往利用正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义列出关系式．动圆与定圆相切时，求动圆圆心的轨迹方程可借助相切的条件，确定圆心的轨迹，然后再求方程