双曲线的简单几何性质(2)学案

2.2双曲线的简单几何性质（二）出题人：李秋天陈继波邹玉超【学习目标】：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质奎屯王新敞新疆2．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念奎屯王新敞新疆3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题奎屯王新敞新疆4．通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养奎屯王新敞新疆【学习重点】：双曲线的渐近线、离心率奎屯王新敞新疆【学习难点】：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系奎屯王新敞新疆一、自主学习1．范围、对称性由标准方程12222byax，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线奎屯王新敞新疆双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心奎屯王新敞新疆2．顶点顶点：特殊点：实轴：21AA长为,a叫做半实轴长奎屯王新敞新疆虚轴：21BB长为，b叫做虚半轴长奎屯王新敞新疆双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异奎屯王新敞新疆3．渐近线过双曲线12222byax的两顶点21,AA，作Y轴的平行线ax，经过21,BB作X轴的平行线by，四条直线围成一个矩形奎屯王新敞新疆矩形的两条对角线所在直线方程是xaby（0byax），这两条直线就是双曲线的渐近线奎屯王新敞新疆4．等轴双曲线定义：等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相；（3）离心率奎屯王新敞新疆等轴双曲线可以设为：)0(22yx，当0时交点在轴，当0时焦点在轴上奎屯王新敞新疆5．共渐近线的双曲线系xyQB1B2A1A2NMO如果已知一双曲线的渐近线方程为xaby)0(kxkakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222kkbykax或写成2222byax奎屯王新敞新疆6．双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线奎屯王新敞新疆7．离心率概念：双曲线的焦距与实轴长的比acace22，叫做双曲线的离心率奎屯王新敞新疆范围：1e双曲线形状与e的关系：1122222eacaacabk，因此e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔奎屯王新敞新疆(1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；(2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约奎屯王新敞新疆8．离心率相同的双曲线(1)计算双曲线19422yx的离心率0e(2)离心离为0e的双曲线一定是19422yx吗？举例说明奎屯王新敞新疆如果存在很多的话，它们能否用一个特有的形式表示呢？(3)离心率为213的双曲线有多少条？分析：2222)(1)(1kakbababaace的关系式，并从中发现只要实现半轴和虚半轴各与a=2,b=3有相同的比k：1(k0)的双曲线，其离心率e都是213奎屯王新敞新疆9．共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线奎屯王新敞新疆如191622yx与116922xy奎屯王新敞新疆注意的区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同奎屯王新敞新疆通过分析曲线发现二者其具有相同的渐近线奎屯王新敞新疆此即为共轭之意奎屯王新敞新疆1）性质：共用一对渐近线奎屯王新敞新疆双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上奎屯王新敞新疆2）确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1奎屯王新敞新疆3）共用同一对渐近线kxy的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为)0(1222kyx，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上奎屯王新敞新疆二、合作探究：例1求双曲线14416922xy的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高55m．选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m)．B'C'CBA251213A'xOy分析：本题建立合适的坐标系是关键。注意到通风塔有三个特殊的截口圆：上口、下口、最小的一个截口。显然，最小截口圆的圆心是双曲线的中心，直径是双曲线的实轴，所以以最小截口直径所在直线为X轴，圆心为原点建立坐标系，则双曲线的方程具有最简单的形式。奎屯王新敞新疆xyO．解这类题目时，首先要解决以下两个问题：(1)选择适当的坐标系；(2)将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来．三、课堂练习：1.方程mx2＋ny2＋mn=0(mn0)所表示的曲线的焦点坐标是(A)(0,mn)(B)(0,nm)(C)(mn,0)(D)(nm,0)2.下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是(A)x23-y2=1和y29-x23=1(B)x23-y2=1和y2-x23=1(C)y2-x23=1和x2-y23=1(D)x23-y2=1和92x-32y=13.与双曲线116922yx有共同的渐近线，且经过点A}32,3(的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是()（A）8（B）4（C）2（D）14.以xy3为渐近线，一个焦点是F（0，2）的双曲线方程为()（A）1322yx（B）1322yx（C）13222yx（D）13222yx5.双曲线kx2+4y2=4k的离心率小于2，则k的取值范围是()（A）（-∞,0）（B）(-3,0)（C）(-12,0)（D）(-12,1)6.已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为(A)1.5(B)3(C)0.5(D)3.5四、能力拓展1.已知双曲线b2x2－a2y2=a2b2的两渐近线的夹角为2，则离心率e为()(A)arcsin(B)cosba(C)sec(D)tg22.一条直线与双曲线两支交点个数最多为()(A)1(B)2(C)3(D)43.双曲线顶点为（2，－1），（2，5），一渐近线方程为3x－4y＋c=0，则准线方程为()(A)5162x(B)5162y(C)592x(D)592y4.与双曲线xmyn22=1(mn0)共轭的双曲线方程是()(A)xmyn221(B)xmyn221(C)xmyn221(D)xmyn221奎屯王新敞新疆五、课堂小结我的收获：解例2这类应用题时，首先要解决以下两个问题：（1）选择适当的坐标系（通常是把题中的特殊直线或线段放在坐标轴上，特殊点放在原点）；（2）将实际问题中的条件借助于坐标系用数学语言表达出来（如把实物上的特殊点、线用坐标描述出来）奎屯王新敞新疆我的困惑