同济大学线性代数课件共5份(1)

线性代数线性代数LinearAlgebraLinearAlgebra任课教师任课教师::邓辉文邓辉文线性代数线性代数LinearAlgebraLinearAlgebra同济大学数学系同济大学数学系((第五版第五版)){{高等数学、线性代数、概率与数理统计高等数学、线性代数、概率与数理统计}}高等教育出版社高等教育出版社,2007,2007前言前言一一..代数最早就是求解方程或方程组代数最早就是求解方程或方程组..线线性代数需要解决的性代数需要解决的第一个问题就是求解第一个问题就是求解线性方程组线性方程组..代数代数就是在所考虑的对象之间规定一些就是在所考虑的对象之间规定一些运算后得到的一种数学结构运算后得到的一种数学结构..运算运算运算运算二二..线性代数的研究对象是线性代数的研究对象是线性空间线性空间,,包括其包括其上的线性变换上的线性变换线性代数线性代数涉及的运算主要是称为加减和数乘涉及的运算主要是称为加减和数乘的的线性运算线性运算，这些线性运算须满足一定的性，这些线性运算须满足一定的性质进而构成质进而构成线性空间线性空间..线性运算线性运算线性运算线性运算LinearSpace从从广义广义的角度看，线性代数研究的是的角度看，线性代数研究的是““线性线性问题问题””..直观地讲，对所考虑的变量是一次的问题就直观地讲，对所考虑的变量是一次的问题就是线性问题是线性问题..即使是大量出现的非线性问题有时也会转换即使是大量出现的非线性问题有时也会转换成线性问题进行处理，如高等数学中的微分成线性问题进行处理，如高等数学中的微分等等..三三..矩阵和向量是重要的代数工具矩阵和向量是重要的代数工具..在一定的意义上，它们以及其上的一些在一定的意义上，它们以及其上的一些运算本身就构成线性空间运算本身就构成线性空间..线性代数的主要内容分别是线性方程组、线性代数的主要内容分别是线性方程组、矩阵代数、向量空间、以及与线性变换矩阵代数、向量空间、以及与线性变换密切相关的方阵的特征值和二次型这种密切相关的方阵的特征值和二次型这种线性空间之间特殊的双线性函数等线性空间之间特殊的双线性函数等(See(Seebelow).below).以线性方程组为以线性方程组为主线主线、以矩阵和向量为、以矩阵和向量为工具工具..线性方程组矩阵行列式向量特征值特征向量二次型代数几何四四..线性代数的特点是内容较抽象、概线性代数的特点是内容较抽象、概念和定理较多，前后联系紧密，环环相念和定理较多，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透扣，相互渗透..五五..为何学习线性代数为何学习线性代数..––线性化是重要的数学方法，在高等数学特别是优线性化是重要的数学方法，在高等数学特别是优化问题的讨论中会用到化问题的讨论中会用到..––在计算机程序设计语言特别是在计算机程序设计语言特别是MATLABMATLAB中，矩阵是中，矩阵是最基本的数据结构最基本的数据结构..––在高等数学、微分方程、离散数学、算法分析与在高等数学、微分方程、离散数学、算法分析与设计、计算机图形图像处理等课程中矩阵、向量、设计、计算机图形图像处理等课程中矩阵、向量、线性变换是经常要用的知识线性变换是经常要用的知识..––随着计算机的普及，线性代数在理论和实际应用随着计算机的普及，线性代数在理论和实际应用中的重要性更加突出，这使得诸如计算机专业、中的重要性更加突出，这使得诸如计算机专业、电子信息专业、自动控制专业以及经济管理专业电子信息专业、自动控制专业以及经济管理专业等对线性代数内容从深度和广度方面都提出了更等对线性代数内容从深度和广度方面都提出了更高的要求高的要求..六六..学习线性代数要达到的目的学习线性代数要达到的目的..通过线性代数的学习，一方面可以进一通过线性代数的学习，一方面可以进一步培养抽象思维能力和严密的逻辑推理步培养抽象思维能力和严密的逻辑推理能力，为进一步学习和研究打下坚实的能力，为进一步学习和研究打下坚实的基础，另一方面为立志报考研究生的同基础，另一方面为立志报考研究生的同学提供必要的线性代数理论知识、解题学提供必要的线性代数理论知识、解题技巧和方法技巧和方法..七七..线性代数的主要内容线性代数的主要内容Chapter1Chapter1线性方程组线性方程组Chapter2Chapter2矩阵代数矩阵代数Chapter3Chapter3向量空间向量空间Chapter4Chapter4特征值与特征向量特征值与特征向量Chapter5Chapter5二次型二次型八八.MATLAB.MATLAB程序设计语言程序设计语言MATLAB:matrixlaboratory.MATLAB:matrixlaboratory.MATLAB(1)MATLAB(1)强大的数值计算强大的数值计算和和(2)(2)符号符号计算功能计算功能、、(3)(3)卓越的数据可视化能力卓越的数据可视化能力和和(4)(4)适用于各行各业的不同的工具箱适用于各行各业的不同的工具箱..基本基本教学工具教学工具..是攻读学位的是攻读学位的理工科理工科,,甚至文科甚至文科大学生、大学生、硕士生和博士生必须掌握的基本技能硕士生和博士生必须掌握的基本技能..本书介绍了使用本书介绍了使用MATLABMATLAB求解线性代数求解线性代数问题的一些常见命令，希望能引起大家问题的一些常见命令，希望能引起大家学习兴趣，较早进入学习兴趣，较早进入MATLABMATLAB世界世界..九九..每章都有精选习题，有些选自每章都有精选习题，有些选自历年历年的研究生入学考试线性代数题目的研究生入学考试线性代数题目..线性代数参考书线性代数参考书魏战线魏战线,,工程数学工程数学《《线性代数线性代数》》((第第22版版))，，辽宁大学出版社辽宁大学出版社,2000,2000((全国高等教育自学考试教材全国高等教育自学考试教材))((有同步辅导有同步辅导//同步训练配套教材同步训练配套教材))第第11章章线性方程组线性方程组线性方程组是线性代数的基本内容线性方程组是线性代数的基本内容,,是贯是贯穿线性代数的一条主线穿线性代数的一条主线.(.(线性代数最早线性代数最早的重点内容就是求解线性方程组的重点内容就是求解线性方程组.).)学习线性方程组的重要性学习线性方程组的重要性..线性方程组线性方程组行列式消元法矩阵向量空间1.11.1线性方程组与矩阵的有线性方程组与矩阵的有关概念关概念1.1.11.1.1线性方程组的有关概念线性方程组的有关概念521yxyx1123223821952zyxzyxzyx1248125.00dcbadcbaddcba对所考虑的未知量来说，和式中每项次对所考虑的未知量来说，和式中每项次数最高是一次的方程称为数最高是一次的方程称为线性方程线性方程(linearequation)(linearequation)，否则称为，否则称为非线性方非线性方程程(nonlinearequation).(nonlinearequation).对于未知量对于未知量xx,,yy,,zz::√√5432zyx523zyxy0eexyyzyx2sin32在高等数学中，对于未知函数在高等数学中，对于未知函数yy((xx))以及以及未知函数未知函数yy((xx))的导数来说，最高是一次的导数来说，最高是一次的微分方程称为的微分方程称为线性微分方程线性微分方程..)()()('''xfyxQyxPy)(3'xfyy每个方程均是线性方程的方程组称为每个方程均是线性方程的方程组称为线线性方程组性方程组(systemoflinearequations).(systemoflinearequations).nn元线性方程组的一般形式为元线性方程组的一般形式为mmnn线性方程组线性方程组..aaijij系数与系数与bbii常数常数..mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111mm和和nn是任意正整数，其关系可能为下是任意正整数，其关系可能为下列三种情况之一列三种情况之一::––mm==nn((恰定恰定线性方程组线性方程组::properlydeterminedequationsproperlydeterminedequations).).––mmnn((超定超定线性方程组线性方程组:overdetermined:overdeterminedequationsequations).).––mmnn((欠定欠定线性方程组线性方程组:underdetermined:underdeterminedequationsequations).).对于对于nn元线性方程组，应该讨论元线性方程组，应该讨论::(1)(1)解的存在性性解的存在性性..(2)(2)求出其所有解，包括讨论解的个数求出其所有解，包括讨论解的个数..1.1.21.1.2矩阵的有关概念矩阵的有关概念11、矩阵、矩阵在讨论在讨论nn元线性方程组的有关问题时，元线性方程组的有关问题时，矩阵是一个很方便的工具矩阵是一个很方便的工具..33阶幻方阶幻方::44阶幻方阶幻方??49235781649235781655阶幻方阶幻方??1141541276981110513231615219623221411810921135171682512432072411矩阵就是由一些数，也可以是一些表示矩阵就是由一些数，也可以是一些表示数的符号，按一定顺序排成若干行和若数的符号，按一定顺序排成若干行和若干列的一个表格干列的一个表格..Definition1.1Definition1.1mmnn矩阵矩阵(matrixofsize(matrixofsizemmnn).).圆括符圆括符()()或方括符或方括符[][]将其括起来，但不将其括起来，但不能使用能使用{}{}或或||||等符号等符号..mnmmnnaaaaaaaaa212222111211黑体及斜体黑体及斜体((英文或希腊、大写或小写英文或希腊、大写或小写))字母或带下标字母或带下标AA,,BB,,CC,,AA11,,AA22,,AA33,,aa,,bb,,cc,,pp11,,pp22,,pp33,,,,,,,,11,,22,,33等表示矩阵等表示矩阵..第第ii行元素行元素,,第第jj列元素列元素..((ii,,jj))位置元素位置元素aaijij是用是用双下标双下标表示的，第表示的，第一个下标表示该元素所在的行，第二个一个下标表示该元素所在的行，第二个下标表示该元素所在的列，这种表示方下标表示该元素所在的列，这种表示方法本身就有一定的创意法本身就有一定的创意..系数矩阵系数矩阵(coefficientmatrix):(coefficientmatrix):增广矩阵增广矩阵(augmentedmatrix):(augmentedmatrix):最早出最早出现的矩阵现的矩阵!!!!mnmmnnaaaaaaaaa212222111211Ammnmmnnbbbaaaaaaaaa21212222111211B例例1.31.3系数矩阵和增广矩阵分别为系数矩阵和增广矩阵分别为4322107432321323