中国矿业大学计算力学复习概要

计算力学复习概要第一章里兹法步骤：①由原问题建立变分原理，求得泛函Π(u)；②选取适当的试探函数，即设试解；③将试解代入泛函，求其一阶变分驻值（即使泛函的变分等于零）；④求其待定系数并代入试解。有限单元法步骤：①划分单元，输入结点和单元信息；②单元分析：eeNKP、、；③整体分析，1,eneeeeKGKG1eneeePGP引入位移边界条件得到：KaP；④求解方程得到解a；⑤对位移a结果进行有关整理、计算单元或结点的应力、应变。里兹法与有限元法的区别与联系：联系：有限元法是单元内的里兹法；区别：①应用区域不同，里兹法在整个研究与内设试解，有限元法需划分网格，在单元内设试解；②试解的形式不同，里兹法可以设各种形式的试解，而有限元法试解形式为多项式；③收敛性条件不同，里兹法的收敛条件是试探函数具有完备性和连续性；有限元法要求泛函具有完备性和协调性。最小势能原理：第一步：写出泛函总位能表达式：第二步：写出其离散形式即单元位能泛函：即：第三步：识别矩阵：得到有限元形式：第四步：泛函取驻值得有限元方程：第二章三角形单元编号规则：典型三结点三角形结点编号为i、j、m，以逆时针方向编码为正向（顺时针编号则计算面积为负值）。三角形单元的广义坐标为什么为6个：三个结点，每个结点有两个位移，广义坐标用6个结点位移表示。位移模式为什么是线性的：线性的才能满足常应变条件。形函数个数如何确定：几个结点就有几个形函数。形函数的两个重要性质（P59）：①0-1特性；②规一性。为什么三角形单元为常应力（变）单元：三角形单元的位移模式是线性的，应变即位移的一阶导数，故在单元内应变是常数，所以三角形单元为常应变单元（或答[B]和[D]为常数）。刚度系数的物理意义（P64）：单元刚度矩阵中每一个元素反映了单元刚度的大小，称为刚度系数。元素的Kij物理意义：当单元的第j个结点位移为单位位移而其他结点位移为零时，需在单元第i个结点位移方向上施加的结点力大小。单元刚度大，则使结点产生单位位移所需施加的结点力就大。为什么刚度矩阵是奇异的（P65）：考虑刚度矩阵的对称性，刚度矩阵的每一行（列）元素和为零；另外，单元可发生刚体位移并处于平衡。综上，3结点三角形单元6*6阶刚度矩阵只有3行（列）是独立的，因而刚度矩阵是奇异的。单元刚度矩阵有哪些性质（P65）：①对称性；②奇异性；③主元恒正；④平面图形相似性（弹性矩阵D、厚度t相同的矩阵，单元刚度矩阵相同）；⑤结点编号对应性（局部结点编号与整体结点编号对应）。求等效结点载荷:图示6节点三角形单元的1-4-2边上作用有均布侧压力q，单元厚度为t，求单元的等效节点载荷。st1:利用面积坐标求出6结点三角形单元的插值函数。各结点的面积坐标321LLL，，为：1（1,0,0）2（0,1，0）3（0,0,1）4（21,21，0）5（0，21，21）6（21，0，21）各边的方程为:1-4-2：03L；2-5-3：01L；3-6-1：02L5-6：123L；6-4：121L；4-5：122L用划线法求得插值函数为：)12(111LLN)12(222LLN)12(333LLN2144LLN3254LLN1364LLNst2:求单元等效结点载荷qqx0yq补充：面积坐标积分公式lbabadsLLbjlai1!!0则：qltllqtdsLdsLqtqtdsLLtdsqNPllllxx61)!101(!0!1)!102(!0!222)12(00121101011同理得到：qltPx6120653xxxPPPqltPx324而0yq，故0iyP。所以，等效结点载荷为：TeqltP112000003200061061总刚度矩阵的集成：具体写出刚度矩阵eK][中的哪些元素对总体刚度矩阵[K]中的下列行和列有贡献（1）59行61列；（2）38行39列；（3）59行59列；（4）37行37列。解：编号为i的结点对第2i-1和第2i行（列）有贡献。则单元刚度矩阵中的行（列）编号与总刚矩阵行（列）编号有下表中的对应关系：节点号1/192/303/314/20总刚3738596061623940单元刚阵12345678由此可以看出：以上四个位置分别对应于：11332735,,,KKKK。总刚矩阵的性质：对称性；奇异性；主元恒正；④带状稀疏性产生带状稀疏性的原因：只有建立联系的结点对应的位置才不为零；结点编号具有连续性，相邻结点号码差别不大。结点编号方法：从短边起沿一个方向编号；求半带宽和存储量：乘大数法引入边界条件（P74）：答：设：jjaa，则令1010,其中，jjjjKK，即：111211211212222222122212222222jnjnjjjjjnjjjjnnnjnnnnkkkkaPkkkkaPkkkkakakkkkaP修改后的第j个方程为112222jjjjjjnnjjjkakakakaka由于得：jjjjjjkaka所以jjaa对于多个给定位移12,,,ljccc时，则按序将每个给定位移都作上述修正，得到全部进行修正后的K和P，然后解方程即可得到包括给定位移在内的全部结点位移值。0()ijjjkijk()jjijkkijPPT式2.5.5必考题（即矩形单元插值函数）：建立局部坐标如图：各点、各边在局部坐标下的坐标或公式为：1（1,1）2（-1,1）3（-1，-1）4（1，-1）0-12-1：0-14-1：013-2：014-3：求解1N需划线：2-3,3-4，得：)1)(1(1kN，将1点代入得：41k。则有：)1)(1(411N)1)(-1(412N)-1)(-1(413N)-1)(1(414N二次单元面积坐标（写形函数、特殊点面积坐标、求等效结点载荷）第三章一维二维拉格朗日形函数：一维xy坐标：jijnijjixxxxxN,1一维0-1坐标（其中，值在0-1间线性插值确定）jijnijjiN,1三角形单元采用面积坐标，四边形单元采用0-1坐标，划线法得结果。Serendipity单元形函数：第四章：等参元的概念和优点：等参变换是对单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值函数进行变换，采用等参变换的单元称之为等参数单元。优点:对单元形状的适应性强；单元特性矩阵的积分求解方便（积分限标准化）；便于编制通用化程序。等参单元的收敛性：等参单元的插值函数与母单元相同，母单元收敛故等参单元收敛。计算二维情形下的雅各比矩阵并证其为常数：对于二维平行四边形有，''''''441131241122''''''443331241144(,)(,)iiiiiiiixyNNNNNNxyxyxyJxyNNNNNNxyxy（7.1）等参变换下取，'iiNN，而在自然坐标下不妨设该平行四边形的四边的方程分别为：①0ab②0c③0ab④0c从而知道：11()()Nkabc；22()()Nkabc；33()()Nkabc44()()Nkabc。其中，114kac，214kac，314kac，414kac解得四个节点的坐标，一并代入方程7.1得：J的四个元素均为常数，故有4节点平行四边形二维单元的雅可比矩阵是常数矩阵。等参变换的条件及|J|=0的条件：等参变换的条件为雅各比行列式不为零，其为零的情况为：0||d或0||d或0),sin(dd。积分点个数的选取：对于空间8节点（线性）六面体单元：(,)iN1,,,,,,,xyzxyyzzxxyzBDB221,,,,,xxyxzxyJ常数所以2m因而积分点数为：222矩阵对于空间20节点（二次）六面体单元：(,)iN2223332222221,,,,,,,,,,,,,,,,,,,xyzxyzxyzxyyzzxxyxyxzxzyzyzxyzBDB41,,,,,xxyxzxJ常数所以4m因而积分点数为：333矩阵。11.52mn12.52mn第九章：轴力杆单元的刚度矩阵：2结点：121,12121NN，则1111lEAKe3结点：121-11-213221NNN，，，则148-1-8-1621214lEAKe4结点：46-266-126-12-26-46612-612lEAKe第十三章：动力学有限元与静力学有限元的区别和联系：相同：网格是相同的；形函数是一样的；几何方程、应力应变关系相同；④刚度系数矩阵一样。不同：动力学问题的位移、应力应变均与时间有关；动力学问题包含质量矩阵和阻尼矩阵，即有限元方程不同；动力学问题将偏微分方程化为了常微分方程；静力学问题将偏微分方程化为了线性方程；④动力学问题方程求解更复杂，时间更长。协调质量矩阵与集中质量矩阵：根据伽辽金法采用位移插值函数导出的质量矩阵称为协调质量矩阵；假定单元质量集中在节点上，得到的对角矩阵称为集中质量矩阵。引入集中质量矩阵的目的：形成对角矩阵，简化计算，使方程解耦。质量矩阵的求法：