2014高考数学典型试题解析2-8函数的图像

一、选择题1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是()[答案]B[解析]在B中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短．2．函数f(x)＝2|log2x|的图像大致是()[答案]C[解析]f(x)＝2|log2x|＝x，x≥1，1x，0x1.结合解析式，易知C正确．3．函数y＝(12)x＋1的图像关于直线y＝x对称的图像大致是()[答案]A[解析]该题考查反函数的图像关系及函数图像的平移．作y＝(12)x的图像，然后向上平移1个单位，得y＝(12)x＋1的图像，再把图像关于y＝x对称即可．已知f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝(12)x＋1，则f(x)的反函数的图像大致是()[答案]A[解析]本题主要考查利用奇偶性求解析式及函数与反函数图像，当x0时，f(x)＝(12)x＋1，设x0，则－x0，f(－x)＝(12)－x＋1＝2x＋1，∴f(－x)＝－f(x)＝2x＋1，∴f(x)＝－2x－1，∴f(x)＝12x＋1x0－2x－1x0，作出函数f(x)图像，再作关于直线y＝x图像，可以得出选A.4．设ab，函数y＝(x－a)2(x－b)的图像可能是()[答案]C[解析]当xb时，y0，由数轴穿根法可知，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有C正确．5．设函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图像可能是下面的()[答案]D[解析]由y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，知y＝f(x)·g(x)为奇函数，且在x＝0处无定义．(理)(2012·安庆一模)函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图像大致是()[答案]C[解析]本题主要考查函数图像的平移．利用函数的平移可画出所给函数的图像，函数f(x)＝1＋log2x的图像是由f(x)＝log2x的图像向上平移1个单位得到；而g(x)＝2－x＋1＝2－(x－1)的图像是由y＝2－x的图像右移1个单位而得．6．已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图像与函数y＝|lgx|的图像的交点共有()A．10个B．9个C．8个D．1个[答案]A[解析]本题考查了函数图象，函数性质，数形结合思想等．根据题意画出函数示意图(x0)．由lg10＝1知，交点共有10个．二、填空题7．一个体积为V的棱锥被平行于底面的平面所截，设截面上部的小棱锥的体积为y，截面下部的几何体的体积为x，则y与x的函数关系可以表示为__________(填入正确的图像的序号)．[答案]③[解析]因为x＋y＝V，所以y＝－x＋V，所以由y＝－x＋V图像可知应填③.8．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图像如图，则不等式f(x)0的解集是________________．[答案]{x|－2x0或2x≤5}[解析]由奇函数的图像特征可得f(x)在[－5,5]上的图像，由图像可解出结果．三、解答题9．(1)已知f(x)＝23x－1＋m是奇函数，求常数m的值；(2)画出函数y＝|3x－1|的图像，并利用图像回答：k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？[解析](1)∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即23－x－1＋m＝－23x－1－m，解得m＝1.(2)当k0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解；当0k1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有两个不同交点，所以方程有两解.一、选择题1．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝a，a－b≤1，b，a－b1，设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A．(－1,1]∪(2，＋∞)B．(－2，－1]∪(1,2]C．(－∞，－2]∪(1,2]D．[－2，－1][答案]B[解析]依题意可知f(x)＝x2－2，－1≤x≤2，x－1，x－1或x2，作出其示意图如图所示．由数形结合知，实数c需有1c≤2或－2c≤－1，故选B.对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝a，a－b≤1，b，a－b1，设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A．(－∞，－2]∪(－1，32)B．(－∞，－2]∪(－1，－34)C．(－1，14)∪(14，＋∞)D．(－1，－34)∪[14，＋∞)[答案]B[解析]由已知得f(x)＝x2－2－1≤x≤32x－x2x－1或x32.如图要使y＝f(x)－c与x轴恰有两个公共点，则－1c－34或c≤－2.故应选B.2．函数f(x)＝4x－4x≤1x2－4x＋3x1的图像和函数g(x)＝log2x的图像的交点个数是()A．4B．3C．2D．1[答案]B[解析]由图像易知有3个交点．已知f(x)是以2为周期的偶函数．当x∈[0,1]时，f(x)＝x，那么在区间[－1,3]内，关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R且k≠－1)有四个根，则k的取值范围是()A．(－1,0)B．(－12，0)C．(－13，0)D．(－14，0)[答案]C[解析]分别作出两个函数f(x)和y＝kx＋k＋1的图像，结合函数f(x)的周期性作出各个区间内的图像，而函数y＝kx＋k＋1的图像过点A(－1,1)，∴当k∈(kAB，kAC)时，∵B(2,0)，C(1,1)，∴k∈(－13，0)，∴选C.二、填空题3．已知函数f(x)具有如下两个性质：①对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)都有fx2－fx1x2－x10；②图像关于点(1,0)成中心对称图形．写出函数f(x)的一个表达式为________(只要写出函数f(x)的一个表达式即可)．[答案]y＝x－1[解析]由①②知f(x)关于(1,0)成中心对称且当x∈R时，f(x)单调递增，这样的函数不唯一，例如y＝x－1，y＝(x－1)3.4．直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．[答案]1，54[解析]如图，在同一直角坐标系内画出直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a，由图可知，a的取值必须满足a14a－141，解得1a54.三、解答题5．(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证y＝f(x)的图像关于直线x＝m对称；(2)若函数y＝log2|ax－1|的图像的对称轴是x＝2，求非零实数a的值．[解析](1)设P(x0，y0)是y＝f(x)图像上任意一点，则y0＝f(x0)．又P点关于x＝m的对称点为P′，则P′的坐标为(2m－x0，y0)．由已知f(x＋m)＝f(m－x)，得f(2m－x0)＝f[m＋(m－x0)]＝f[m－(m－x0)]＝f(x0)＝y0.即P′(2m－x0，y0)在y＝f(x)的图像上．∴y＝f(x)的图像关于直线x＝m对称．(2)对定义域内的任意x，有f(2－x)＝f(2＋x)恒成立．∴|a(2－x)－1|＝|a(2＋x)－1|恒成立，即|－ax＋(2a－1)|＝|ax＋(2a－1)|恒成立．又∵a≠0，∴2a－1＝0，得a＝12.6．设函数f(x)＝|x2－4x－5|.(1)在区间[－2,6]上画出函数f(x)的图像；(2)设集合A＝{x|f(x)≥5}，B＝(－∞，－2]∪[0,4]∪[6，＋∞)，试判断集合A和B之间的关系，并给出证明；(3)当k2时，求证：在区间[－1,5]上，y＝kx＋3k的图像位于函数f(x)图像的上方．[分析](1)可用图像变换来作图；(2)可利用图像求出集合A，然后判断，并证明集合A，B的关系；(3)将图像的位置关系转化为函数值的大小关系后，利用代数推理证明．[解析](1)(2)方程f(x)＝5的解分别是2－14，0,4和2＋14，由于f(x)在[－2，－1]和[2,5]上单调递减，在[－1,2]和[5，＋∞)上单调递增，因此A＝(－∞，2－14]∪[0,4]∪[2＋14，＋∞]．由于2＋146,2－14－2，∴BA.(3)方法一：当x∈[－1,5]时，f(x)＝－x2＋4x＋5，g(x)＝k(x＋3)－(－x2＋4x＋5)＝x2＋(k－4)x＋(3k－5)＝x－4－k22－k2－20k＋364.∵k2，4－k21，又－1≤x≤5，①当－14－k21，即2k6时，取x＝4－k2，g(x)min＝－14[(k－10)2－64]．∴(k－10)264，(k－10)2－640，则g(x)min0.②当4－k2－1，即k6时，取x＝－1，g(x)min＝2k0.由①②可知，当k2时，g(x)0，x∈[－1,5]．因此，在区间[－1,5]上，y＝k(x＋3)的图像位于函数f(x)图像上方．方法二：当x∈[－1,5]时，f(x)＝－x2＋4x＋5，由y＝kx＋3y＝－x2＋4x＋5得x2＋(k－4)x＋(3k－5)＝0，令Δ＝(k－4)2－4(3k－5)＝0解得k＝2或k＝18，在区间[－1,5]上，当k＝2时，y＝2(x＋3)的图像与函数f(x)的图像只交于一点(1,8)；当k＝18时，y＝18(x＋3)的图像与函数f(x)的图像没有交点．如图可知，由于y＝k(x＋3)过点(－3,0)，当k2时，直线y＝k(x＋3)是由直线y＝2(x＋3)绕点，(－3,0)逆时针方向旋转得到，因此，在区间[－1,5]上，y＝k(x＋3)的图像位于函数f(x)图像的上方．7．某公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2.(注：利润与投资量的单位：万元)图1图2(1)分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？[解析](1)设投资x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元，依题可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2x.由图1，得f(1)＝0.2，即k1＝0.2＝15.由图2，得g(4)＝1.6，即k2×4＝1.6，∴k2＝45.故f(x)＝15x(x≥0)，g(x)＝45x(x≥0)．(2)设B产品投入x万元，则A产品投入10－x万元，设企业利润为y万元，由(1)得y＝f(10－x)＋g(x)＝－15x＋45x＋2(0≤x≤10)．∵y＝－15x＋45x＋2＝－15(x－2)2＋145，0≤x≤10，∴当x＝2，即x＝4时，ymax＝145＝2.8.因此当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元．