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爱上数学剩余定理问题——基础学习一、解答题1、剩余定理基础知识【答案】2、余数特性的基本应用例1:5122除以一个两位数得到的余数是66,求这个两位数?【答案】79【解题关键点】由性质(2)知,除数×商=被除数-余数。5122-66=5056,5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数,得到5056=64×79。由性质1知,除数应大于66,再由除数是两位数,得到除数在67~99之间,符合题意的5056的约数只有79,所以这个两位数是79。【结束】4、多个余数的问题例1(余同):五年级两个班的学生一起排队出操,如果9人一排,多出一人;如果10人排一行,同样多出一个人。这两个班最少共有多少人?()A.51B.71C.91D.101【答案】C【解题关键点】此题为剩余定理问题中余同的情况,即人数减去一人的话就是9和10的公倍数,9和10的最小公倍数是90,因此两个班最少共有90+1=91人。余同取余:用一个数除以几个不同的数,得到的余数相同,此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的余数,称为:“余同取余”。例:“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”,因为余数都是1,所以取+1,表示为60n+1。【结束】5、多个余数的问题例2(和同):袋子里有一百多个小球,五个五个取出来剩余4个,六个六个取出来剩余3个,八个八个取出来剩余一个,问袋子里面有多少个球?()A.109B.119C.129D.139【答案】C【解题关键点】此题为剩余定理问题中典型的和同的情形,份容易得出9是满足以上两个条件的最小自然数,由于袋子里面有一百多个球,因此只需要加上5、6和8的最小公倍数120即可,即袋子里面有9+120=129个小球。和同加和:用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的和相同,此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的和数,称为:“和同加和”。例:“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”,因为4+3=5+2=6+1=7,所以取+7,表示为60n+7。【结束】6、多个余数的问题例3(差同)::把几百个苹果平均分成若干份,每份9个余8个,每份8个余7个,每份7个余6个。这堆苹果共有多少个?()A.111B.143C.251D.503【答案】D【解题关键点】此题为剩余定理问题中差同的情况,即苹果数加上一个,就是7、8和9的公倍数,而7、8和9的最小公倍数数504,正好在几百的范围内,因此这堆苹果有504-1=503个。【结束】7、多个余数的问题例4:一个自然数被6除余4,被8除余6被10除余8,那么这个数最小为多少?()A.58B.66C.118D.126【答案】C【解题关键点】此题为剩余定理问题中典型的差同的情况,这个自然数加上2后,就能够被6、8和10整除,而6、8和10的最小公倍数是120,因此,这个数最小为120-2=118.【例】一个数被4除余1,被5除余2,被6除余3,这个数最小是几?()A.10B.33C.37D.57【答案】D【解题关键点】此题为剩余定理问题中典型的差同的情况,这个数加上3后,为4、5、6的倍数,而4、5、6的最小公倍数为60,因此这个数最小为60-3=57。10、余数关系式和恒等式的应用例1:两个整数相除,商是5,余数是11,被除数、除数、商及余数的和是99,求被除数是多少?()A.12B.41C.67D.71【答案】选D。【解题关键点】余数是11,因此,根据余数的范围(0≤余数<除数),我们能够确定除数>11。除数为整数,所以除数≥12,根据余数的基本恒等式:被除数=除数×商+余数≥12×商+余数=12×5+11=71,因此被除数最小为71,选D。【结束】11、余数关系式和恒等式的应用例2:有四个自然数A、B、C、D,它们的和不超过400,并且A除以B商是5余5,A除以C商是6余6,A除以D商是7余7。那么,这四个自然数的和是?A.216B.108C.314D.348【答案】选C。【解题关键点】利用余数基本恒等式:被除数=除数×商+余数,有A=B×5+5=(B+1)×5。由于A、B均是自然数,于是A可以被5整除,同理,A还可以被6、7整除,因此,A可以表示为5、6、7的公倍数,即210n。由于A、B、C、D的和不超过400,所以A只能等于210,从而可以求出B=41、C=34、D=29,得到A+B+C+D=314,选C。【结束】
本文标题:剩余定理问题
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