投篮角度问题

1篮球运动员在中距离投篮训练时被告之，为提高投篮命中率，应以45度投射角投球。请通过建立数学模型说明其中是否有道理。理论模型建立：假设：对于职业篮球运动员而言，投篮时出手点与篮筐基本持平，且球能精确地落入篮筐。设：球出手时的初速率为v（m/s）；球的出手角度为（rad）；球与篮筐的水平距离为d（m）；球的水平位移为x（m），竖直位移为y（m）；投篮示意图由此可知：水平速率为cosxvv；竖直速率为sinyvv。球的运动方程为：212xyxvtyvtgt因此，可知：22tan2cosgxyvx令y=0（且x0），可解得:sin2vxg.由于要保证球能投入篮筐，因此必须满足：sin2vdg，即：sin2gdv由实际经验可知，一个人力气越小，投篮就越费力，球就越难以掌控。因此，为了提高投篮稳定性，必须使人的用力最小，即：球的出手速度尽量小。2因此，整个问题就归结为如下优化模型：2min()..02fvst因此，原问题就等价于如下优化模型：21minsin2..02fst容易求得，问题的解为：4最优。结论：当投篮角度为45度时，篮球落入篮筐时的状态是最稳定的，因此，以45度角投篮时，可以提高投篮命中率。改进：一般化的投篮模型一般情形：球员身高较矮，投篮时球的出手点与篮筐的垂直距离为h（m），求这种一般情形下运动员的最优投篮角度。投篮示意图一、投篮模型的建立：由之前的讨论可知，篮球的运动方程如下：22tan2cosgxyvx由于当篮球的水平位移达到投篮距离d时，篮球必须入筐，因此抛物线过（d，h）点。由此可知球出手时的速率为：222cossin2hgdvd----------------------（*）3利用一开始时的结论，为了使投篮尽量稳定，就等价于确定如下优化问题的解：2min()..02fvst其中：222cos()sin2hgdvd二、理论模型的计算：令d=3.5（m），g=9.8（m/s^2）；分别计算不同高度差时的投篮最优角度，计算结果如下表：高度差h（m）00.20.40.6最优投篮角度（°）4545.0476545.0951445.14247高度差h（m）0.81.01.21.4最优投篮角度（°）45.1896445.2366645.2835345.33024高度差h（m）1.61.82.03最优投篮角度（°）45.376845.4232145.4694745.69851结论：从计算结果可以看出，只要高度差小于2米，最优投篮角度都差不多在45°左右。即使是3米的高度差，最优投篮角度也不会超过46°。（一般而言，正常人投篮时，球与篮筐之间的高度差大概1米多，因此，不论是谁，均可遵循45°的最优投篮角度这一规则。）三、探索性学习：（1）当出手点比篮筐高度还高时，最优投篮角度如下表：高度差h（m）0-0.2-0.4-0.6最优投篮角度（°）4544.9521944.9042344.8561高度差h（m）-0.8-1.0-1.2-1.4最优投篮角度（°）44.8078144.7593644.7107444.66196高度差h（m）-1.6-1.8-2.0-2.2最优投篮角度（°）44.6130244.5639144.5146344.46518结论1：当投篮出手点低于篮筐高度时，最优投篮角度都不小于45°；当投篮出手点高于篮筐高度时，最优投篮角度都不超过45°。结论2：运动员越高，最优投篮角度就越小。（2）高度差与最优投篮角度之间的近似函数关系：下图反映了不同高度差时，对应的最优投篮角度之间的关系：4上图反映了高度差h在[0,30]之间时，最优投篮角度与h之间的函数关系图（横坐标为高度差，纵坐标为最优投篮角度）。事实上，由2min()..02fvst可以直接解得：22arctan1hgd（h0时的解析解）。高度差在[0,300]内的数值解与解析解的比较图如下：（黑点：数值计算结果；红线：解析解）实际应用中，由于高度差一般不会超过三米，因此只要确定高度差在0~3m范围内的最优投篮角度即可：函数图象大致如下：5可见，高度差在0~3m范围内时，h与最优投篮角度之间大致是线性关系，由一元线性回归可得到近似函数关系如下：450.23h（注：这里的角度单位为：度）另一方面，如果利用解析解22arctan1hgd的泰勒展开，可得到：242hgd，转化为角度制后即为：450.2386h。由此可见，解析解的近似值与数值解之间仅有0.0086h的误差，由于3h，故误差值最大仅为0.716°左右（这个误差角度用肉眼都很难分辨出来）。计算程序如下：（R软件）fv=function(t,h){d=3.5;g=9.8v1=2*h*(cos(t))^2+g*d^2v2=d*sin(2*t)(v1/v2)^2}#速度平方函数h=seq(0,2,0.2);n=length(h);th=0for(iin1:n){ff=function(t)fv(t,h[i])opt=optimize(ff,c(0.001,pi/2-0.001),tol=1e-8)theta=opt$minimumth[i]=theta*180/pi}#计算不同高度差时的最优投篮角度