2010年数模A题获奖论文

1储油罐的变位识别与罐容表标定摘要：当储油罐倾斜时，由于油液面的偏转使油位计读数不准确，不能真实反映油罐中的油量。在本次建模过程中我们首先通过求解没有变位的油罐模型，发现我们可以对其作V—H拟合，得到的预测误差为10-7，为下文作曲线拟合提供了可靠的依据。问题一中，我们在求解模型时，采取理论推导，主要运用积分学推导出倾斜油罐的剩余油量与油位计读数之间的等式关系，随后进行了一次误差检测，得到误差中位数为0.03825。但是在误差分析中，我们认为浮子对整个模型产生了系统误差，利用油罐储油量差值对高度的变化率，进行二次拟合，得到体积波动与高度的关系，加入此部分的误差处理后，模型的精度得到进一步的提高（误差中位数为0.016273），因此我们将此模型作为模型一得改进模型。同时我们通过观察V—H之间的理论等式关系，发现V—H之间的关系不仅仅是简单的一次关系，更有复杂的三角函数关系，我们猜想V—H之间符合三次方的关系，但是这并能作为我们进行拟合的严格的理论依据，于是对于给定的实验数据中的无变位进油进行了数据拟合，然后用无变位出油进行了数据检验，发现拟合出的数据与实际数据之间的误差中位数为0.000493，由此我们认为进行三次拟合是可行的，因而采用了最高次项为三次多项式曲线拟合，得到精度更高的模型二（三次曲线拟合模型，得到的误差中位数为0.000757）。为此我们选择模型二作为罐容表标定的V-H关系函数，解决问题一的油罐容量的标定。问题二中，模型一分析及解决方法与问题一大致相同，但是与问题一不同的是，问题二中的变位参数及初始储油量为未知量，在对题目进行分析后，我们将纵向倾斜角度和横向偏转角度合成测量杆的实际偏转角θ，利用积分原理，进行理论推导，从而最终确定油罐储油体积V与杆的实际偏转角θ及油位高度h的定量关系。在建立问题二的模型二时，要采用拟合的方法，必须确定纵向倾斜角度和横向偏转角度的具体数值，于是我们分析所给的实际数据，利用cosθ=当前出油量/(前一次油罐显示体积-当前油罐显示体积)确定出θ的具体数值为7.143025度，然后通过数据拟合的方法反求变位参数纵向倾斜角度和横向偏转角度，=3.76o,=6.08o。求出，后，就可对油罐储油量与高度的进行拟合，最终的的误差中位数为0.0002，这样的效果相当好，据此我们对第二问中的罐容值进行了标定，得到了罐容表。关键字：倾斜油罐定积分曲线拟合中位数检测误差分析2一、问题的重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。附图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。附图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，附图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。需要解决的问题：（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，请根据所给的实验数据建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（已给出），根据问题，建立的数学模型，确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用题目给出的实际检测数据来分析检验所建模型的正确性与方法的可靠性。二、问题分析问题一中考虑到要研究罐体变位对罐容的影响，并由油位高度得出一个标定的罐容表，我们分析认为首先需得到油罐储油量与油位高度的定量关系。方法一根据积分的概念，表示出不同位置体积元与高度的关系，然后对体积元进行加和，便可得到一个油罐储油量与油位高度的理论式子，由此式子即可得不同油位高度相对应的罐容值，从而得到题目要求的罐容表。方法二为了使用理论推导建立的模型更加符合实际，可把已建立的模型作为基础，对实际数据进行一个数据拟合，确定一组与实验数据相符合的系数，从而实现对模型的改进。问题二中，解题思路与问题一大致相同，方法一仍根据积分推导出油罐储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系，方法二则有所不同，因为所给的数据中没有油的初始体积，而且较第一问少了变位参数值。鉴于此种情况，我们认为可根据所提供的实际数据得到变位参数的值以及油罐的初始储油量，如此便可根据进出油的量确定相对应高度值的油罐储油量，对油罐储油量和油位高度进行回归分析，得到二者关系的系数，从而确定它们之间的定量关系，即可得不同油位高度相对应的罐容值，得到题目要求的罐容表。3三、模型假设1、油罐形状不随温度压强等的变化而改变，即保持不变。2、油面所处位置在可测范围，不会到达极值处。3、测量杆与油罐不发生相对运动。4、在椭球冠中油面近似看成平面。5、浮子在测量时处于静止状态，不起伏。四、符号说明V——油罐中油的体积F——油罐的凸头长度H——油位探针的读数l和h——油面的与坐标系中y轴的交点数值L——油罐柱体部分的长度S——液面的截面面积R——圆柱体油罐柱身的半径五、模型的建立与求解5.1问题一的求解首先我们从没有变位的椭圆油罐开始分析。假设椭圆的方程为则有（取正值）因为液面是等高的，设为m。故液体的体积为：因为，带入上式得到液体的体积与探针的显示值之间的关系。通过观察我们可得到V—H呈三次曲线关系。所以我们想到尝试用曲线拟合。4我们对没有变位的油罐的数据进行拟合。（结果见附表）我们可以发现拟合程度很好，误差为10-7。所以对V—H作曲线拟合可以得到很好的结果。故以后我们可以通过曲线拟合的方式进行计算。模型一：求倾斜油罐储油量与油位高度的关系，根据积分学的原理，选好坐标系，选择较易积分的面积元，然后对面积元进行长度方向或高度方向的积分，得出油罐储油量与油位高度的关系。具体如下：我们以油罐的中心轴线为直角坐标系的Z轴，低位端罐头中心为原点建立坐标系。如图一：油罐中液面的截面如二图所示：我们设椭圆长半轴为a，短半轴为b，则椭圆的方程为：由椭圆方程可得到：(取正值)则有阴影部分的面积为：用软件Maple解此方程可得：从油罐的侧面做关于ZOY平面的投影，我们可以看到液位的大小y与z线性相关。设在低位端截面罐头截面的液面高为h。则液面在ZOY平面的投影直线的方程为：，其中α为罐体倾斜角。并且有关系式：讨论：经过观察，我们得知根据液位的不同，液面的形状不同，则积分情况也不同。我们将其分为如下三种情况：1、倾斜油罐高端无液体，如图所示：5整体液体体积应该是沿Z轴方向从管道低端的液面的中心开始到液体体积刚好为零处的积分，即：又，带入体积积分式中得到：积分可得此时h的大小应该满足：2、倾斜管高端有液体、低端未充满液体，如图所示：在这种情况下，倾斜管内液体体积的计算与前述基本一致，不同的是积分的区间发生了变化。此时，积分区间应该是[0，L]，L为油罐的长度。即：进行换元积分，此时积分得到：解得此时液体的体积为：此时h的大小应该满足：63、倾斜管高端有液体、低端位全部充满液体在这种情况下，我们将油罐上管线与液面的交点的横坐标作为积分得分界点，先求出左半部分全部充满液体是的体积，然后再求有半部分的体积。○1左半部分充满的液体的体积求解：此时液体截面的面积为=此时积分区间为则有体积由积分变换得：积分可得：○2右半部分液体体积求解：此时积分区间为，则有体积同上用积分变换得到：积分可得：故此时油罐内所有液体的体积为7此时h的大小应该满足：同时，我们还发现当h的范围在时，这时候的油位探针的读数为零，范围在油位探针的读数已经到达顶点，即，此时探针显示不出准确油位高度。在第一个范围内，探针读数一直为零，但此时油罐中也许还储存着油。另外，当在第二个范围内，探针读数不变，显示最高值，但是油的体积可能比显示的要大。所以我们在利用罐容表读取油量体积时应该注意这些误差。从附表一中所给的数据，我们观察到表中数据符合第二种情况，所以我们可以用这些数据来检验模型的精确度，以便得到一个准确的罐容表。通过EXCEL软件计算，我们得到模型对数据的预测与实际值相比较得到预测误差的中位数为：0.03825如上图所示，在油罐倾斜的情况下比在没有变位的情况下，油浮子的中心点由于吃油的位置不同而上升，通过近似拟合可以减小由于油罐倾斜带来的误差。模型二：根据模型一所得出的V—H关系等式，我们可以看出V和H的关系式相当复杂，不但和H的三次方、平方有关系，还和H的平方根以及反三角函数有关。如此复杂的关系方程式在生产实际中几乎没有使用价值，且求解很困难，怎样才能简单易行呢?这实际上是一个曲线拟合问题。在工程数学中，复杂的非直线的实验曲线大多处理成多参数方程，即将因变量处理成是自变量的n次方的多项式，形式如然后用最小二乘法求出各参数值，在工程数学中，m值取得越大，曲线拟合的越好。考虑到使用的方便性及计算的复杂程度，可以确定油罐储油量是关于油位高度最高项为三次方的一元多项式，利用MATLAB对所给的实验数据进行曲线拟合，最终得到的系数(次数由高到低)：8P=[-0.0000024972，0.00539373，0.4490962884，42.10407087]即V与h的关系为：V=-0.0000024972*h^3+0.00539373*h^2+0.4490962884*h+42.10407087将油位高度数据代入此式得出的油罐储油量的计算值，我们考虑一个预测误差度量的中位数，最后得到的误差中位数为：Median=0.000757可以知道拟合效果非常好，因此我们最终选择模型二的式子作为最后油罐罐容标定的依据（罐容标定结果及求解程序详见附录）5.2问题二的求解模型一的建立及求解：与问题一中模型一的求解方式相同，利用积分的原理，推导出油罐储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度），分别作用在测量杆上和油桶纵向偏转上和横向偏转角度，则只作用在测量杆偏转上。利用三余弦定理将和合成测量杆的实际偏转角θ，即cos(θ)=cos()*cos()通过观察易知，在油桶中心高度左右的某一位置上，倾斜和不倾斜的液面面积可以达到相等。所以把所有测量高度时对应的真实容差与显示容差做比，中位数即θ的真实余弦值。cos（θ）=0.992239推导过程便与上个问题相同，具体如下：问题二中的油罐与问题一中的相比较在油罐两头多了椭圆形封头。由于油罐的倾斜角度不会很大，所以我们假设在椭圆形封头里的液面是一样高的。则我们先计算在没有变位的情况下椭圆形封头内液体体积与液面高度的函数关系。其在空间直角坐标系的立体图如图所示，其在XOY面的投影方程为其标准方程为，其中F为油罐的凸头长度。则积分可得：9将带入得到体积为同时此时油面的截面积为。设此时y轴与液面的交点的数值为l。则有：○1倾斜油罐高端无液体此时不同液位的油量为○2倾斜管高端有液体、低端未充满液体此时不同液位的油量为○3倾斜管高端有液体、低端位全部充满液体此时不同液位的油量为10模型二：我们打算用拟合的方法对实际的数据进行回归分析，得到回归系数，但是与第一问不同的是，此问的纵向倾斜角度和横向偏转角度（即转换后的θ）未知，油罐初始储油量未知，于是我们对题目所给的实际数据进行分析，有：根据上面的分析过程，我们得到转换后的θ=，油罐初始储油量32674.4/L将此数据与题目中的进出油量结合计算，得到某一油位高度所对应的油罐储油量，其系数为（次数由高到低）：P=[-0.0000029314,0.01418541,5.20693