数列-不动点法求通项公式

1用不动点法求递推数列dtcbtatnnn1(a2+c2≠0)的通项1．通项的求法为了求出递推数列dtcbtatnnn1的通项，我们先给出如下两个定义：定义1：若数列{nt}满足)(1nntft，则称)(xf为数列{nt}的特征函数.定义2:方程)(xf=x称为函数)(xf的不动点方程，其根称为函数)(xf的不动点.下面分两种情况给出递推数列dtcbtatnnn1通项的求解通法.(1)当c=0,时,由dtcbtatnnn1dbtdatnn1,记kda,cdb，则有ctktnn1（k≠0）,∴数列{nt}的特征函数为)(xf=kx+c,由kx+c=xx=kc1,则ctktnn1)1(11kctkkctnn∴数列}1{kctn是公比为k的等比数列,∴11)1(1nnkkctkct11)1(1nnkkctkct.(2)当c≠0时,数列{nt}的特征函数为：)(xf=dxcbxa由xdxcbxa0)(2bxadcx设方程0)(2bxadcx的两根为x1,x2,则有:20)(121bxadcx,0)(222bxadcx∴12)(1xadcxb……(1)222)(xadcxb……(2)又设212111xtxtkxtxtnnnn(其中,n∈N*,k为待定常数).由212111xtxtkxtxtnnnn2121xtxtkxdtcbtaxdtcbtannnnnn212211xtxtkdxtcxbatdxtcxbatnnnnnn……(3)将(1)、（2）式代入(3)式得:2122221121xtxtkaxtcxcxataxtcxcxatnnnnnn212211))(())((xtxtkxtcxaxtcxannnn21cxacxak∴数列{21xtxtnn}是公比为21cxacxa(易证021cxacxa)的等比数列.∴21xtxtnn=1212111ncxacxaxtxt12121111212111211nnncxacxaxtxtcxacxaxtxtxxt.2．应用举例3例1：已知数列{an}中，a1=2，3121nnaa，求{an}的通项。解：因为{an}的特征函数为：312)(xxf,由1312)(xxxxf,∴3121nnaa)1(3211nnaa∴数列{an-1}是公比为32的等比数列,∴an-1=11)32)(1(naan=1+1)32(n.例2已知数列{an}中，a1=3，1241nnnaaa，求{an}的通项。解：因为{an}的特征函数为：124)(xxxf,由2,1023124)(212xxxxxxxxf设212111nnnnaakaa2121241124nnnnnnaakaaaa214233nnnnaakaa21)2()1(23nnnnaakaa23k即21232111nnnnaaaa,∴数列21nnaa是公比为23的等比数列.∴111232121nnnaaaa4∵a1=3,∴123221nnnaa121232322nnnnna.例3已知数列{an}中，a1=2，nnnaaa111，求{an}的通项。解：因为{an}的特征函数为：xxxf11)(,由xxxxf11)(ixixx212,01设iaiakiaiannnn11iaiakiaaiaannnnnn1111iaiakiaiaiaiannnnnn11iaiakiaiaiinnnn)()(11iik11即iaiaiiiaiannnn1111,∴数列iaiann是公比为ii11的等比数列.∴11111nnniiiaiaiaia∵a1=2,∴11122nnniiiiiaia122nnniiiiaia1)2(221)2(nnniiiiiia.例4已知数列{an}的前n项和为nS，211a，)1(2nnanSnn，求{an}的通项。解：∵)1(2nnanSnn……①∴nnanSnn)1()1(121……②5②-①得：)1()1()1(2121nnnnananannn2)2(1nnnaan2221nannann……③因为{an}的特征函数为：222)(nxnnxf,由xnxnnxf222)(x=1.设nnba11nnba，111nnba……④将④代入③得：22)1(211nbnnbnnnnbnnb2121nnbbnn∴13423121nnnbbbbbbbbbb，∵21111ab∴)1(11153423121nnnnbn∴)1(111nnbann。