2020年浙江省杭州市高考数学模拟试卷(4月份)答案解析

2020年浙江省杭州市高考数学模拟试卷（4月份）答案解析一．选择题（共10小题）1．已知R为实数集，集合A＝{x|y＝1g（x+3）}，B＝{x|x≥2}，则∁R（A∪B）＝（）A．{x|x＞﹣3}B．{x|x＜﹣3}C．{x|x≤﹣3}D．{x|2≤x＜3}【解答】解：∵R为实数集，A＝{x|y＝lg（x+3）}＝{x|x＞﹣3}，B＝{x|x≥2}，∴A∪B＝{x|x＞﹣3}，∴∁R（A∪B）＝{x|x≤﹣3}．故选：C．2．复数z＝上的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：∵＝，∴复数上的虚部为．故选：A．3．已知实数x，y满足线性约束条件，则z＝2x+y的最小值为（）A．﹣1B．1C．﹣5D．5【解答】解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：z＝2x+y，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点的坐标为：A（1，﹣1），据此可知目标函数的最小值为：z＝2x+y＝2﹣1＝1．故选：B．4．已知公比为q的等比数列{an}的首项a1＞0，则“q＞1”是“a5＞a3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：依题可知，a1＞0，∴a3＞0，∴q＞1或q＜﹣1，故选：A．5．一个正方体被截去一部分后所剩的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．6B．C．7D．【解答】解：由题意，该几何体是由一个边长为2的正方体截去一个底面积为1，高为2的一个三棱锥所得的几何体，如图，所以V＝23﹣＝，故选：D．6．已知函数f（x）＝sinωx﹣，x∈R）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的命题中正确的是（）A．函数g（x）是奇函数B．g（x）的图象关于直线对称C．g（x）在上是增函数D．当时，函数g（x）的值域是[0，2]【解答】解：f（x）＝sinωx﹣＝2sin（），由题意知函数周期为π，则，ω＝2，从而f（x）＝2sin（），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数g（x）＝2sin（），g（x）不是奇函数，A错；g（x）在[]是单调递增，C错；时，函数g（x）的值域是[1，2]，D错；g（x）的图象关于直线对称，B对；只有选项B正确，故选：B．7．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A、C区域涂色不相同的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，分4步进行分析：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E，与A、B区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域D、C，若D与B颜色相同，C区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，C区域有2种颜色可选，则区域D、C有3+2×2＝7种选择，则不同的涂色方案有5×4×3×7＝420种，其中，A、C区域涂色不相同的情况有：若A，C不同色，则ABCE两两不同色，涂色方案有5×4×3×2种，涂D时只要和AEC不同色即可，有2种，故共有240种，∴A、C区域涂色不相同的概率为p＝＝．故选：D．8．下列函数图象中，函数f（x）＝xαe|x|（α∈Z）的图象不可能的是（）A．B．C．D．【解答】解：A图象中函数的定义域为R，函数是偶函数，则α为正偶数时，满足对应图象，B图象中函数的定义域为{x|x≠0}，函数是偶函数，则α为负偶数时，满足对应图象，C图象中函数的定义域为R，函数是奇函数，则α为正奇数，函数为增函数，且递增的速度越来越快，故C不满足条件．D图象中函数的定义域为R，函数是奇函数，则α为正奇数，函数为增函数，且递增的速度越来越快，故D满足条件．故选：C．9．设点M是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AD的中点，点P在面BCC1B1所在的平面内，若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等，则点P到点C1的最短距离是（）A．B．C．1D．【解答】解：如图，过点P作D1M的平行线交BC于点Q、交B1C1于点E，连接MQ，则PQ是平面D1PM与平面BCC1B1的交线，MQ是平面D1PM与平面ABCD的交线．EF与BB1平行，交BC于点F，过点F作FG垂直MQ于点G，则有，MQ与平面EFG垂直，所以，EG与MQ垂直，即角EGF是平面D1PM与平面ABCD的夹角的平面角，且sin∠EGF＝，MN与CD平行交BC于点N，过点N作NH垂直EQ于点H，同上有：sin∠MHN＝，且有∠EGF＝∠MHN，又因为EF＝MN＝AB，故EG＝MH，而2S△EMQ＝EG×MQ＝MH×EQ，故MQ＝EQ，而四边形EQMD1一定是平行四边形，故它还是菱形，即点E一定是B1C1的中点，点P到点C1的最短距离是点C1到直线BE的距离，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，E（2，1，2），B（2，0，0），C1（2，2，2），＝（0，1，2），＝（0，2，2），∴点P到点C1的最短距离：d＝||•＝2×＝．故选：A．10．函数f（x）＝4lnx﹣ax+3在两个不同的零点x1，x2，函数g（x）＝x2﹣ax+2存在两个不同的零点x3，x4，且满足x3＜x1＜x2＜x4，则实数a的取值范围是（）A．（0，3）B．（2，3）C．（2，4e）D．（3，4e）【解答】解：函数f（x）＝4lnx﹣ax+3的零点即为函数与函数y＝m图象交点的横坐标，函数g（x）＝x2﹣ax+2的零点即为函数与函数y＝m图象交点的横坐标，，令m′（x）＝0，则，当时，m′（x）＞0，当时，m′（x）＜0，故，由双勾函数性质可知，函数h（x）在单调递增，在单调递减，在同一坐标系中作出图象如下图所示，由图象可知，要使x3＜x1＜x2＜x4，则需．故选：D．二．填空题（共7小题）11．已知直线l1：ax+2y﹣3＝0和直线l2：（1﹣a）x+y+1＝0．若l1⊥l2，则实数a的值为﹣1或2；若l1∥l2，则实数a的值为．【解答】解：直线l1：ax+2y﹣3＝0和直线l2：（1﹣a）x+y+1＝0；当l1⊥l2时，a（1﹣a）+2×1＝0，化简得a2﹣a﹣2＝0，解得a＝﹣1或a＝2；当l1∥l2时，a﹣2（1﹣a）＝0，解得a＝．故答案为：﹣1或2，．12．随机变量X的取值为0、1、2，P（X＝0）＝0.2，DX＝0.4，则P（X＝1）＝0.6；若Y＝2X，则DY＝1.6．【解答】解：∵随机变量X的取值为0、1、2，P（X＝0）＝0.2，DX＝0.4，∴设P（X＝1）＝x，则P（X＝2）＝0.8﹣x，0≤x≤0.8，则EX＝0×0.2+x+2（0.8﹣x）＝1.6﹣x，DX＝（x﹣1.6）2×0.2+（x﹣0.6）2x+（x+0.4）2（0.8﹣x）＝0.4，整理，得：x2﹣0.2x﹣0.24＝0，解得x＝0.6或x＝﹣0.4（舍），P（X＝1）＝0.6，∴EX＝1.6﹣x＝1.6﹣0.6＝1．D（Y）＝D（2X）＝4D（X）＝1.6故答案为：0.6；1.6．13．已知（a≠0），若展开式中各项的系数和为81，则a＝，展开式中常数项为10．【解答】解：中，令x＝1，得（a+1）•35＝81，解得a＝﹣；所以（﹣x+）•（2x+1）5＝（﹣x+）•（1+10x+…），其展开式中的常数项为•10x＝10．故答案为：10．14．已知椭圆M：+＝1（a＞b＞0），双曲线N：﹣＝1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为2．【解答】解：椭圆M：+＝1（a＞b＞0），双曲线N：﹣＝1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：，可得，可得e4﹣8e2+4＝0，e∈（0，1），解得e＝．同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，可得：，即，可得双曲线的离心率为e＝＝2．故答案为：；2．15．已知单位向量两两的夹角均为θ（0＜θ＜π，且θ≠），若空间向量满足，则有序实数组（x，y，z）称为向量在“仿射”坐标系O﹣xyz（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作有下列命题：①已知，则•＝0；②已知其中xyz≠0，则当且仅当x＝y时，向量，的夹角取得最小值；③已知；④已知，则三棱锥O﹣ABC的表面积S＝，其中真命题有②③（写出所有真命题的序号）【解答】解：①若＝（2，0，﹣1），＝（1，0，2），则•＝（2﹣）•（+2）＝2+3•﹣2＝3cosθ，∵0＜θ＜π，且，∴•≠0；②，，其中xyz≠0，向量的夹角取得最小值，两向量同向存在实数λ＞0，满足＝λ，根据仿射坐标的定义，易知②为正确；③已知＝（x1，y1，z1）θ，＝（x2，y2，z2）θ，则＝（x1﹣x2）+（y1﹣y2）+（z1﹣z2），④，，已知，则三棱锥O﹣ABC为正四面体，棱长为1，∴表面积为S＝4×．故答案为：②③．16．已知、、是平面内三个单位向量，若，则的最小值是．【解答】解：先简化本题，将2看成一个整体，仍记为，则本题化为已知、、是平面内三个单位向量，若，求||+|6|的最小值，根据题意设，，2对应的点C在单位圆上，∵||2＝，||2＝5+4，∴||＝|2|，∵|2|表示C点到（﹣2，0）的距离，|6|表示点C到（6，4）的距离，而单位圆与以点（﹣2，0），（6，4）为端点的线段相交，所以||+|6|的最小值为（﹣2，0）和（6，4）两点的距离4，故答案为：4．17．设a∈R，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是[4﹣6，4+6]．【解答】解：|x3+|+|x3﹣|+ax≥4x﹣8恒成立，即为|x3+|+|x3﹣|+8≥（4﹣a）x恒成立，当x＞0时，可得4﹣a≤|x2+|+|x2﹣|+的最小值，由|x2+|+|x2﹣|+≥|x2++x2﹣|+＝2x2+＝2x2++≥3＝6，当且仅当x3＝2即x＝取得最小值6，即有4﹣a≤6，则a≥4﹣6；当x＜0时，可得4﹣a≥﹣[|x2+|+|x2﹣|﹣]的最大值，由|x2+|+|x2﹣|﹣≥2x2+＝2x2++≥3＝6，当且仅当x3＝﹣2即x＝﹣取得最大值﹣6，即有4﹣a≥﹣6，则a≤4+6，综上可得4﹣6≤a≤4+6，故答案为：[4﹣6，4+6]．三．解答题（共5小题）18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinB＝bsin（A﹣）．（1）求A；（2）D是线段BC上的点，若AD＝BD＝2，CD＝3，求△ADC的面积．【解答】解：（1）由正弦定理可得asinB＝bsinA，则有bsinA＝b（sinA﹣cosA），化简可得sinA＝﹣cosA，可得tanA＝﹣，因为A∈（0，π），所以A＝．（2）设∠B＝θ，，由题意可得∠BAD＝θ，∠ADC＝2θ，∠DAC＝﹣θ，∠ACD＝﹣θ，在△ADC中，，则＝，所以＝，可得sinθ＝cosθ，又因为sin2θ+cos2θ＝1，可得sinθ＝，cosθ＝，则sin2θ＝2sinθcosθ＝，所以S△ADC＝sin∠ADC＝＝．19．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点E是DC的中点，将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，连结DB、DC、EB．（1）求证：平面ADE⊥平面BDE；（2）求AD与平面BDC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：AE2+BE2＝+＝16＝AB2，∴AE⊥EB，又平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面ADE，∴平面ADE⊥平面BDE；（2）解：如图所示，建