2009年高考数学二轮复习专题课件：专题三 三角函数解答题的解法

专题三三角函数解答题的解法你身边的高考专家考题剖析＞＞试题特点＞＞0313三角解答题的解法应试策略＞＞071.近三年高考各试卷三角试题考查情况统计2005年高考各地的16套试卷中，出现三角函数解答题的有7道.在这7道三角函数解答试题中，涉及三角函数求值的试题有6道，其中，关联三角形求值的试题有4道；以求三角函数的最值或值域为目标的有2道；与向量综合的有3道；和导数综合的有3道.2006年高考各地的18套试卷里，有18道三角函数解答题（江苏没有三角函数解答题，上海有2道，其中的一题是三角函数的应用性问题），其中，有4道和向量综合；求最值的有8道；和三角形结合的有6道.试题特点三角解答题的解法2007年高考各地的19套试题中，有17道三角题，其中有8道涉及到三角形中的三角问题.而山东、海南卷涉及到三角应用，另有7道直接涉及三角函数的图象和性质.2008年高考各地的试题中，有15道三角题.由此不难得知，三角函数解答试题是高考命题的一个常考的基础性题型.其命题热点是章节内部的三角函数求值、图象的性质问题以及三角形中的三角问题，命题冷点是跨章节的学科综合问题.试题特点三角解答题的解法2.主要特点(1)保持稳定.一是体现在分值上，三角函数部分试题的分数将继续保持在占全卷总分12%左右；二是体现在试题的难度上，这几年，三角函数部分的解答题一般都放在解答题的前三道题，属于中档难度的试题，难易适当，得到了考生和高校的认可，因此，今后必将保持现有的难易度；三是体现在试题的解题过程中，即先进行三角恒等变形，再利用三角函数的图象和性质解题，这样的题目既能全面地考查三角函数这部分的知识内容，又达到了考查考生演绎推理的能力的目的.试题特点三角解答题的解法试题特点(2)稳中求活.一是体现在题目的形式上，将会尽量出一些考生感到新颖的题目形式；二是体现在知识的综合应用上，无论何种难度档次的题，都将更加注重与其他知识的综合应用，特别是中档解答题，应引起考生的足够重视.(3)变中求新.三角试题在稳中求变，在变中求新，主要体现在与其他新增内容的有机整合，一是和解三角形知识有机联系；二是与向量巧妙结合；三是与导数等内容相结合.突出了在知识的交汇处设计试题，使得试题形式更加活泼，内容更加新颖，解法更加灵活，有利于考查学生的能力，因此，在复习中要加强训练三角解答题的解法应试策略1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对三角函数内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强。从近几年考查的内容看，主要是以下五类问题(1)与三角函数单调性有关的问题；(2)与三角函数图象有关的问题；(3)应用同角变换、诱导公式和两角和与差的三角函数公式求值、化简和等式证明问题；应试策略三角解答题的解法(4)与周期和奇偶性有关的问题；(5)与向量、导数等内容结合的问题.2.重视数学思想方法的复习和运用.三角函数也是函数，所以，复习时要注意函数思想对三角函数学习的指导意义，同时注意三角函数自身的特点，如关于对称问题，要利用y=sinx的对称轴为x=kπ＋，k∈Z，对称中心为(kπ，0)等基本结论解决问题，同时还要注意对称轴与函数图象的交点的纵坐标特征等.应试策略2π三角解答题的解法3.掌握三角变换的基本思路和解题规律.三角变换的基本解题规律为：观察差异(或角、或函数、或运算)，寻找联系(借助于熟知的公式、方法或技巧)，分析综合(由因导果或执果索因)，实现转化.在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为一个三角函数表达式的形式求解.应试策略三角解答题的解法4.重视三角函数图象与性质的掌握.由于近几年高考已逐步抛弃对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到三角函数的图象与性质的考查以及对基础知识和基本技能的考查上来，因此，在复习中首先要打好基础，要注意三角函数的图象和性质的系统掌握.应试策略三角解答题的解法5.注意对三角形中问题的复习.由于教材的变动，有关三角形中的正、余弦定理、解三角形等内容提到高中来学习，近年来又加强了数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形问题伸展，因此，要求掌握三角函数的有关基本知识、概念，深刻理解其中的基本数量关系.6.三角函数与向量、导数等内容的结合将成为新的命题热点，在复习中要注意加强训练.应试策略三角解答题的解法考题剖析1.（2007·湖北黄石模拟题）已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),|a＋b|=2|a－b|.（1）求cos（α－β）的值；（2）若，求sinα的值.考题剖析135sin02π,2π0且［解析］（1）∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),|a|=1,|b|=1，由已知|a＋b|=2|a－b|,得：a·b=53)cos(,53三角解答题的解法考题剖析（2）∵∴0α－βπ∵cos(α－β)=,∴sin(α－β)=由sinβ=－得cosβ=∴sinα=sin［(α－β)＋β］=sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ=02π,2π0535413513126533135·531312·54［点评］本题是一个简单的三角与向量综合的题，解题时应注意角的变换.三角解答题的解法2.（2007·湖南郴州调研题）已知向量m=(sinx,a＋1),n=(2cos(x＋),1).函数f(x)=m·n(a∈R且a为常数）.（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期；（2）若f(x)在［0,］上的最大值与最小值的和为2，求a的值.考题剖析6π2π［解析］f(x)=m·n=2sinx·cos(x＋)＋a＋1=cos2x＋sinxcosx＋a=sin2x＋a=sin(2x＋（1）f(x)=sin(2x＋,T=π6π32322cos1x21)6πa21)6πa三角解答题的解法（2）∵0≤x≤,∴当；当考题剖析2π6π76π26πx23,6π,2π6π2maxayxx时即ayxxmin,2π,6π76π2时即41,223aaa［点评］求三角函数的单调性、最值、定义域、周期问题，一般是将三角函数式转化为单角单名（如y=Asin(ωx＋φ)）的形式，再利用y=Asin(ωx＋φ)进行处理.这也体现了一种转化的思维.三角解答题的解法3.（2007·安徽省合肥市模拟题）已知函数y=Asin(ωxφ),x∈R,A0,ω0,|φ|，若该函数图象一个最高点坐标为(,3)，与其相邻的对称中心的坐标是(－,0).（1）求函数y=Asin(ωx＋φ)的解析式；（2）求函数的最小值，并写出函数取得最小值时自变量x的集合.考题剖析2π6π12π［解析］（1）由题意知A=3,，所以T=π，ω＝＝2,y=3sin(2x＋φ），又由,k∈Z,得φ=2kπ＋,k∈Z，因为|φ|，所以φ=.∴y=3sin(2x＋),x∈R4π)12π(6π41TTπ22ππ26π2k6π2π6π6π三角解答题的解法（2）由（1）知，函数的最小值为－3；由2x＋,k∈Z∴函数取得最小值时自变量x的集合为{x|x=kπ－,k∈Z}.考题剖析3ππ,2ππ26πkxkk得Z3π［点评］本题主要考查y=Asin(ωx＋φ)的图象和性质，对函数y=Asin(ωx＋φ)图象的最值、对称性要非常熟悉.三角解答题的解法4.（2007·福建示范性高中3月质检）已知函数x∈R.试求：（1）函数f(x)的最大值；（2）函数f(x)的图象与直线y=1交点的横坐标.考题剖析,32cos32)2πcos()(2xxxf［解析］（1）=所以函数f（x）的最大值是2.3)cos1(3sin)(xxxf))(3πsin(2cos3sinRxxxx三角解答题的解法（2）解法1：令则或即就是所求的函数f（x）的图象与直线y=1交点的横坐标.考题剖析21)3πsin(1)3πsin(2xx得π26π53ππ26π3πkxkx或π26π53πkx)π(22ππ26πZkkxkx或三角解答题的解法考题剖析（2）解法2：函数f（x）的最小正周期是2π,令得所以，函数f（x）的图象与直线y=1交点的横坐标是21)3πsin(π),2,0[3πxx由2π6π,6π53π6π3πxxxx或即或)π(22ππ26πZkkxkx或三角解答题的解法5.设，其中α、β∈A.(1)若α＋β=，且a=2b，求α、β的值；(2)若a·b=，求tanαtanβ的值.考题剖析3π225[解析](1)∵α＋β=，∴由a=2b，得sin(α－)=0，∴3π2))3πsin(3,21()),3πsin(,1(ba3π)(3ππ,3ππZkkka三角解答题的解法)2sin3,2(cos),2sin,2cos2(},,2ππ|{baZ已知kkxxA)2sin3,2(cos),2sin,2cos2(},,2ππ|{baZ已知kkxxA(2)∵a·b=∴即cos(α＋β)=cos(α－β)整理得－5sinαsinβ=cosαcosβ，∵α、β∈A，∴tanαtanβ=－.考题剖析2sin3)2(cos2222)cos(13)cos(1)cos(23)cos(25,25)cos(23)cos(2551三角解答题的解法236.（2007·北京东城区模拟题）已知函数f(x)=－cosx,g(x)=ax－π.(1)求函数h(x)=g(x)－f(x)(x∈［－］)的单调区间;(2)证明:对任意的x∈R,都有|f′(x)|≤|x|;(3)若a=2,x1=α(α∈［),g(xn＋1)=f(xn),求证:考题剖析2π,2π4π3,4π*)(2π|2π||2π||2π|21Nnxxxn三角解答题的解法［解析］(1)∵h(x)=ax－π＋cosx,∴h′(x)=a－sinx,当a≥1时,h′(x)≥0,∴h(x)在［－］上单调递增;当a≤－1时，h′(x)≤0,∴h(x)在［－］上单调递减；当－1a1时，x∈［－,arcsina),h′(x)0,h(x)单调递增；x∈(arcsina,］,h′(x)0,h(x)单调递减；考题剖析2π,2π2π,2π2π2π三角解答题的解法考题剖析（2）∵f(x)=－cosx,f′(x)=sinx;设F1(x)=sinx－x,则F′1(x)=cosx－1≤0,所以F1(x)在R上是减函数，故当x≥0时，F1(x)≤F1(0)=0,即sinx≤x=|x|；又设F2(x)=sinx＋x,则F′2(x)=cosx＋1≥0，所以F2(x)在R上是增函数，故当x≥0时，F2(x)≥F2(0)=0，即sinx≥－x=－|x|；∴当x≥0时，－|x|≤sinx≤|x|，即有|f′(x)|=|sinx|≤|x|；同理可证，当x0时，|f′(x)|=|sinx|≤|x|，故结论成立；三角解答题的解法（3）由g(xn＋1)=f(xn)，得2xn＋1－π=－cosxn，根据（2），有所以不等式成立.考题剖析|)2πsin(|21|cos|21|2π|1nnnxxx*)(|2π|21Nnxn|2π|21|2π|1nnxx|,2π|)21(|2π|)21(1122xxnn|2π|])21()21(211[|2π||2π||2π|1221nnxxx]),4π3,4π[(2π|2π|2|2π|211)21(1n三角解答题的解法考题剖析三角解答题的解法三角解答题的解法考题剖析