线性空间的定义讲解

2第七章线性空间与线性变换一、线性空间的定义:),;,,(;,,,;,,,,.,RVVVRVVRV设运算规律两种运算满足以下八条并且这记作的积与称为与之对应总有唯一的一个元素与任一元素数又对于任一记作的和与称为之对应与总有唯一的一个元素意两个元素如果对于任为实数域是一个非空集合设23第七章线性空间与线性变换;0,,)4(;0,;0)3();())(2(;)1(使的负元素都有对任何都有对任何中存在零元素在VVVV34第七章线性空间与线性变换,)()8(;))(7(;)()()6(;1)5(那么，就称为（实数域上的）向量空间（或线性空间），中的元素不论其本来的性质如何，统称为（实）向量．简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称为向量空间．VRV45第七章线性空间与线性变换.00,0)4(;00;)1(;00)3(;,)2(;)1(或则如果作的负元素记一的任一元素的负元素是唯零元素是唯一的二、线性空间的性质56第七章线性空间与线性变换三、子空间定义设是一个线性空间，是的一个非空子集，如果对于中所定义的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间，则称为的子空间．VLVVVLL定理线性空间的非空子集构成子空间的充分必要条件是：对于中的线性运算封闭．VLVL67第七章线性空间与线性变换.,,,,,,,,,)2(;,,,)1(:,,,,,21212121的维数称为线性空间个基的一就称为线性空间那么性表示线总可由中任一元素线性无关满足个元素如果存在中在线性空间VnVVnVnnnn定义.,Vnnn记作维线性空间的线性空间称为维数为四、线性空间的维数、基与坐标78第七章线性空间与线性变换定义.),,,(,,,,,,,,,,,,,,,,,21212122112121TnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxVV并记作这个基下的坐标在这组有序数就称为元素使总有且仅有一组有序数任一元素对于的一个基是线性空间设9第七章线性空间与线性变换一般地，设与是两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间与同构．VUVU线性空间的结构完全被它的维数所决定．任何维线性空间都与同构，即维数相等的线性空间都同构．Rnn10第七章线性空间与线性变换式可表示为量和矩阵的形式利用向个有序元素记作这把个基中的两是线性空间及设)1(,),,,(,,)1(,,,,,,,,112211222211221221111111nnnnnnnnnnnnnnnnpppppppppV五、基变换11第七章线性空间与线性变换.,,,,.,,,,,,,)2()1()2(.),,,(),,,(2121212121212121222121211121故过渡矩阵可逆线性无关由于的过渡矩阵到基称为由基矩阵称为基变换公式或或nnnnnnTnnnnnnnnPPPppppppppp12第七章线性空间与线性变换则有坐标变换公式若两个基满足关系式下的坐标为在基下的坐标为在基中的元素设PxxxxxxVnnnTnnTnn),,,(),,,(,)',,','(,,,,),,,(,,,,212121212121六、坐标变换13第七章线性空间与线性变换.''','''211212121xxxPxxxxxxPxxxnnnn或.),,,(),,,(,,2121Pnn式则两个基满足基变换公换公式满足上述坐标变若任一元素的两种坐标反之14第七章线性空间与线性变换).(,)(),(,,,,,,ATTBABABA或记作或映射的变换到集合合这个对应规则称为从集那么和它对应中一个确定的元素总有按照一定规则元素中的任一如果对于设有两个非空集合七、线性变换的定义15第七章线性空间与线性变换.)(,)()(),(,,.,,,)(,BATATATATTATTTTA显然即记作象集称为象的全体所构成的集合的源集称为变换下的源在变换称为下的象在变换称为变为把元素就说变换设变换的概念是函数概念的推广．16第七章线性空间与线性变换.,.,),()(),(,,)2();()()(),(,,)1(,,,21212121的对应的变换变换就是保持线性组合线性简言之的线性变换到就称为从那么有从而任给有从而任给满足如果变换的变换到是一个从间维线性空维和分别是实数域上的设UVTkTkTVkRkVTTTVVTUVTmnUVmnnnnnmnmn17第七章线性空间与线性变换.,,,线性变换中的称为线性空间到其自身的线性变换间是一个从线性空那么如果特别地VVTVUnnnm18第七章线性空间与线性变换.,,,,,,,,3;)(,2;)(,001212122112211反之不然亦线性相关则线性相关若则若mmmmmmTTTTkTkTkTkkkTTT八、线性变换的性质19第七章线性空间与线性变换..,0,05.),()(4的核称为线性变换的子空间也是的全体的使的象空间称为线性变换的子空间是一个线性空间的象集线性变换TSVTVSTTVVTTTnnTnn20第七章线性空间与线性变换.,,,,))(,),(),((,)()(,2121222211121121为单位坐标向量其中表示都可用关系式中任何线性变换eeeaaaaaaaaaeTeTeTARxAxxTTRnnnnnnnnnn九、线性变换的矩阵表示21第七章线性空间与线性变换,)(,)(,)()(,,,,,2211222211221221111121nnnnnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaTTVVT为用这个基线性表示下的象如果这个基在变换一个基中取定在中的线性变换是线性空间设十、线性变换在给定基下的矩阵22第七章线性空间与线性变换.,,,,,,),,,(),,,()),(,),(),((),,,(2121222211121121212121的矩阵下在给定基就称为线性变换那么其中式可表示为上记nnnnnnnnnnnTAaaaaaaaaaAATTTTT23第七章线性空间与线性变换.,.,,一对应的线性变换与矩阵是一在给定一个基的条件下个线性变换也可唯一地确定一由一个矩阵确定一个矩阵可唯一地由线性变换中取定一个基后在TAATVn24第七章线性空间与线性变换.,,,,,,,,,,,,,,,121212121APPBBATVPVnnnnnn那么和的矩阵依次为在这两个基下中的线性变换的过渡矩阵为到基由基与中取定两个基在线性空间同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的，反之，相似矩阵也可以看成是同一线性变换在不同基下的矩阵．十一、线性变换在不同基下的矩阵25第七章线性空间与线性变换.,)(的秩换称为线性变的维数的象空间线性变换TVTTn).(,ARTTA的秩就是则的矩阵是若.,rnSTrTT的维数为的核则的秩为若26第七章线性空间与线性变换习题：空间。线性加法和数乘运算不构成向量，对于数组向量的维有序数组不平行的全体，，、验证：与向量31001T线性空间？的全体向量是否为一个上平面、原点为始点，终点在12zyx。的维数相等，则与若的一个子空间，试证：是线性空间、设VUVUVU327第七章线性空间与线性变换的一个基。成为使中存在元素的一个基，试证：是的一个子空间，维线性空间是、设nnrrnrnrrnrVVVVnV,,,,,,,,,,411121下的坐标。在基中求向量、在TTTTR0,1,32,3,6,5,3,11,7,353213试求坐标变换公式。中，取两个基、在,6,1,1,1,2,5,4,1,3;1,7,3,3,3,2,1,2,163213213TTTTTTR28第七章线性空间与线性变换坐标的向量。）求在两个基下有相同（在后一个基下的坐标；）求向量（基的过渡矩阵；求由前一个基到后一个中取两个基、在3,,,2)1(3,1,6,6,1,2,3,5,0,1,3,0,1,1,1,21,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,174321432143214TTTTTTTTxxxxeeeeR29第七章线性空间与线性变换性变换。中的线是同变换称为合同变换。试证合中的任一元素，变换表示，以阶矩阵维线性空间。给出构成一个对于矩阵的线性运算阶对称阵的全体、VTAPPATVAPnVnTnn)(82130第七章线性空间与线性变换的矩阵。在这个基下求微分运算基中取一个维线性空间，在成对于函数的线性运算构、函数集合DexeexVRaaaeaxaxaVxxxx,,,3,,|93221301201223是线性变换。证明：、设TdxxfxTfbaCxfba,)()(,,)(1031第七章线性空间与线性变换习题答案：3213213214992634181321321321321321812492094171271071391913,,,,,,6;15482335;2yyyxxxxxxyyyyyyxxxTTT或有下的坐标是，，在下的坐标是，，在、设，，、、不是32第七章线性空间与线性变换.1,1,1,1)3(;26937180092391213327912)2(;31011211633165021743212714321TkxxxxyyyyP、）（33第七章线性空间与线性变换。下的矩阵为，，在基、1100120019321D