傅里叶级数展开

§1.函数的傅里叶级数展开一.傅里叶级数的引进在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波),它是形如的波,其中是振幅,是角频率,是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来.这就是说,设是一个周期为的波,在一定条件下可以把它写成其中是阶谐波,我们称上式右端的级数是由所确定的傅里叶级数tAsinAtfT10sinnnntnAAtf10sincosnnntnbtnaAtnbtnatnAnnnnsincossinnT2tf二.三角函数的正交性设是任意实数,是长度为的区间,由于三角函数是周期为的函数,经过简单计算,有利用积化和差的三角公式容易证明还有c2,cc2kxkxsin,cos2,2,1,0sinsin,0coscos220220kkxdxkxdxkxdxkxdxcccc1,2,1;0coscos0sinsin0cossin222llklxdxkxlxdxkxlxdxkxcccccc2我们考察三角函数系其中每一个函数在长为的区间上定义，其中任何两个不同的函数乘积沿区间上的积分等零，而每个函数自身平方的积分非零。我们称这个函数系在长为的区间上具有正交性。,2,121sin22cos1coscos22222202022kdxkxdxdxkxkxdxkxdxcccccc3,sin,cos,,2sin,2cos,sin,cos,1nxnxxxxx222,1见3见三、傅里叶系数设函数已展开为全区间设的一致收敛的三角级数现在利用三角函数系数的正交性来研究系数与的关系。将上述展开式沿区间积分，右边级数可以逐项积分，由得到即又设是任一正整数，对的展开式两边乘以沿积分，由假定，右边可以逐项积分，由和，得到xfkxbkxaaxfkkksincos210,2,1,,0kbaakkxf,10022aadxxfdxxfa10nxfnxcos,2,13即同样可得因此得到欧拉-傅里叶公式nnkkkanxdxanxdxkxbnxdxkxanxdxanxdxxf210coscossincoscoscos2cosnxdxxfancos1nxdxxfbnsin1,2,1,0sin1kkxdxxfbk,2,1,0cos1kkxdxxfak自然，这些系数也可以沿别的长度为的区间来积分。以上是在已展开为一致收敛的三角级数的假定下得到系数的表达式的。然而从欧拉-傅里叶公式的形式上看，只要周期为的函数在区间上可积和绝对可积（如果式有界函数，则假定它是可积的。这时它一定式绝对可积的；如果是无界函数，就假定他是绝对可积，因而也是可积的，这样，不论在哪一种情形，都是可积和绝对可积了），就可以按欧拉-傅里叶公式来确定所有的数，从而作出三角级数2xf2xf,xfxfkkba,10sincos2kkkkxbkxaa我们称这级数是关于三角函数系的傅里叶级数，而称为的傅里叶系数，记为xf,sin,cos,1xxkkba,xf10sincos2~kkkkxbkxaaxf四、收敛判别法傅里叶级数的收敛判别法。设函数在上可积和绝对可积若在点的左右极限和都存在，并且两个广义单侧导数都存在，则的傅里叶级数在点收敛。当是的连续点时它收敛与，当是的间断点（一定是第一类间断点）时收敛于xf,10sincos2~kkkkxbkxaaxfxfx0xf0xfxxfxxfxxfxxfxx0lim,0lim00xfxxxfxfxxf0021xfxf例1在上展开函数为傅里叶级数。例2在上展开函数为傅里叶级数。例3在上展开为傅里叶级数。,xxf,xcxcxf0,0,212,0xxf例4将在上展开为余弦级数。例5将以下函数展开为正弦级数xxf,0lxxlxxf21,0210,sin五、傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的阶谐波可以用复数形式表示。由欧拉公式得如果记那么上面的傅里叶级数就化成一个简洁的形式n,2,1sincosntnbtnanniiiiiieeieeiee221sin21cos10sincos2nnntnbtnaa10222ntinnntinnneibaeibaa,2,1,,00ncibacibacannnnnn这就是傅里叶级数的复数形式，为复振幅，与是一对共轭复数tinnnec21ncncnc六、收敛判别法的证明1、狄利克雷积分为了研究傅里叶级数的收敛性问题，我们必须把傅里叶级数的部分和表示为一个特定形式的反常积分——狄利克雷积分。设在上可积和绝对可积，它的傅里叶级数为其中xf,10sincos2~kkkkxbkxaaxf,2,1,0cos1kktdttfak,2,1,0sin1kktdttfbk傅里叶级数的部分和由三角公式当，有公式10sincos2~kkknkxbkxaaxfSdtkxktkxkttfnk1sinsincoscos211dtxtktfnk1cos211212sincos2coscos212sin2nn02sin2sin2212sincos2coscos21nn当时把右边理解为时的极限值，值一等式也就成立。把它应用到的表达式中，得到经过验证知道，被积函数是的周期为的函数，可以把积分区间换为，因此作代换，得00xfSndtxtxtntfxfSn2sin2212sin1t2xx,dtxtxtntfxfSxxn2sin2212sin1uxtduuunuxfxfSn2sin2212sin1duuunuxf2sin2212sin][100duuunuxfuxf2sin2212sin10上面的几种积分表达式都称为狄利克雷积分。xfSn2、黎曼引理黎曼引理设函数在区间上可积和绝对可积，那么以下的极限式成立局部性定理函数的傅里叶级数在点的收敛和发散情况，只和在这一点的充分领近区域的值有关。uba,0coslim,0sinlimpuduupuduubapbapxfxxf3、迪尼判别法及其推论迪尼定理（迪尼判别法）设能取到适当，使由函数以及点所作出的满足条件：对某正数，使在上，为可积和绝对可积，那么的傅里叶级数在点收于。利普希茨判别法（地理判别法的一个推论）如果函数在点连续，并且对于充分小的正数在点的利普希茨条件成立，其中皆是正数，且，那么的傅里叶级数在点收敛于，更一般地，如果对于充分小的成立sxfxsuxfuxfu2hh,0uuxfxsxfxuxhuLuxfuxf0,L1xfxxfuLuxfuxf0同前，那么的傅里叶级数在点收敛于一个重要推论如果在点有有限导数，或是有两个单侧的有限导数,Lxfx200xfxfxfxxf'uxfuxfxfuxfuxfxfuu0'0'limlim甚至只是有更一般的有限导数那么的傅里叶级数在点收敛于或因为这时对于函数在点的的利普希茨条件是成立的。uxfuxfuxfuxfuu0lim,0lim00xfxxf200xfxfxfx1七、傅里叶级数的性质一、一致收敛性1设周期为的可积和绝对可积函数在比更宽的区间上有有限导数，那么的傅里叶级数在区间上一致收敛于。2设周期为的可积和绝对可积函数在比更宽的区间上连续且为分段单调函数，那么的傅里叶级数在区间上一致收敛于。2xfba,ba,xf'xfba,xf2xfba,ba,xfba,xf二，傅里叶级数的逐项求积和逐项求导设是上分段连续函数，它的傅里叶级数是我们并不假定右端级数的和是甚至也不假定它收敛，然而它却可以逐项积分，设和是上任意两点，则有三，最佳平方平均逼近设是任意一个次三角多项式xf,10sincos2~nnnnxbnxaaxfxfcx,1000sincos2nxnnxdtntbntacxadttfxTnnnkkknkxBkxAAxT10sincos2其中都是常数。又设是上可积和平方可积函数，称是用三角多项式在平方平均意义下逼近的偏差。设的傅里叶级数是我们并不假定右端的级数是否收敛以及是否收敛于，但它的次部分和是的最佳平方平均逼近，亦即对任何次三角多项式，都有,2,1,,0kBAAkkxf,dxxTxfTfnn2221,xTnxfxf10sincos2~nnnnxbnxaaxfxfn10sincos2~kkknkxbkxaaxSxfnxTnnnTfSf,,22