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第二章刚体力学概念总结与例题力矩FrM定轴转动定律tLJMdd刚体转动惯量mrrmJiid22冲量矩21tttMd角动量JL定轴转动的角动量定理112221JJtMttd角动量守恒定律当时CJL0外M刚体转动的物理量和运动规律力矩的功21dMA转动动能221JEk定轴转动的动能定理2121222121JJMd机械能守恒定律当A外+A非保内=0时C221221Jmvmghc刚体转动的物理量和运动规律质点(或刚体质心平动)刚体转动avr,,.1F.3amF.4vmp.5m.2,,角位置,角速度,角加速度J转动惯量M力矩转动定律JMJL角动量tpFdd.6角动量定理tLMdd质点与刚体的物理量和运动规律对比CΣΣ.iiivmF07BAABd.rFA82219mvEk.22212110AB.mvmvACpkEE11.仅保守内力做功CpkEE机械能守恒:仅保守内力矩做功CΣΣJM0角动量守恒力矩的功BAdABMA221JEk转动动能222121ABJJA转动动能定理质点(或刚体质心平动)刚体转动质点与刚体的物理量和运动规律对比例1:一匀质细棒长为l,质量为m,可绕通过其端点O的水平轴转动,如图。当棒从水平位置自由释放后,它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的质量也为m,它与地面的摩擦系数为,相撞后,物体沿地面滑行一距离s而停止;求:相撞后棒的质心C离地面的最大高度h,并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。CO解:可分为三个阶段。第一阶段是棒自由摆落的过程。这时机械能守恒。把棒在竖直位置时质心所在处取为势能零点,用表示棒这时的角速度,则222)31(21212mlJlmg=第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短,冲力极大,物体虽受到地面的摩擦力,但可以忽略。棒与物体相撞时,它们组成的系统对O轴的角动量守恒。用v表示物体碰撞后的速度,则)31()31(22mlmvlml式中'为棒在碰撞后的角速度,它可正可负。'取正值,表示碰后棒向左摆;反之,表示向右摆。第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减速直线运动,加速度由牛顿第二定律求得为由匀减速直线运动的公式得mamgasv202gsv22lgsgl233当'取正值,棒向左摆,其条件:0233gsgl当'取负值,棒向右摆,其条件:0233gsgl棒的质心C上升的最大高度h,与第一阶段情况相似,也可由机械能守恒定律求得:22)31(21mlmghslslh632例2:匀质圆盘,高为h,(m,R)在水平桌面上可绕过圆心并与桌面垂直的轴转动,它与桌面之间摩擦系数为;求:1)从0到停止转了多少圈?2)用了多少时间?Md0rdr取方向为正0dSdfd解法一:1)取环形质元dmrrRmmddd2frMfrMddddmgrMMdd20223RmmgRM=dM=rgrdrhRh2243132mgRMgJRmR根据动能定理:A=Ek2-Ek1RrrgRm02202dd)Δ(d21MMAmgR32gR2083ΔgRN201632Δ20210)Δ(32JmgR解法二:根据转动定律:JM22132mRmgR解得:Rg34Δ2202解得:gR832Δ20202)t0gRt43000003,4或Rttg例3:匀质细杆(m1,L)一端挂在墙上,一端固定有一物体(m2),求:1)转动惯量;2)从图中水平位置无初速落下时的;3)落到铅直位置时的角加速度、角速度。O(m1,L)m2,取方向为正解:1)以m1、m2为系统的转动惯量:222131LmLmJJLgmgLm212解得Lmmgmm)26()36(12122)由JM以m1、m2、地球为系统的机械能守恒,得2211212LgmJgLmgLmLmmgmm)3()36(12123)竖直位置时,棒受重力矩M=0,故此时角加速度'=0例4:匀质圆盘可绕中心竖直轴旋转,轻绳跨过圆盘一端与弹簧相连,另一端与质量为m的物体相连,弹簧另一端固定在地面上,轻绳与盘无滑动,系统处于静止状态,此时一质量为m0的小物块从h高度处自由落下,与m碰撞后粘在一起。求:m下降的最大位移s。smMRm0hk势能零点解:m0的质量很小,整个过程分成两个阶段,第一阶段:m0与m碰撞,但碰撞过程未引起m移动;第二阶段:m0与m一起下降。ghvvmghm22102000RvJRvmmRvmM000取M、m、m0为系统,第一阶段角动量守恒:221MRJM2002022021212121sxkgsmmkxRvJvmmM取M、m、m0、弹簧、地球为系统,只有保守力做功第二阶段机械能守恒(取下落s处为重力势能零点):其中x0为m下降前弹簧的伸长量,且mg=kx0注意:易犯的两个错误:1)不分过程,从小物块m0下落开始,到发生碰撞,再到碰后系统下降的整个过程笼统处理,对全过程应用机械能守恒(完全非弹性碰撞,机械能有损耗)。2)对小物块m0与m的碰撞过程,对M、m、m0系统应用动量守恒。例5:能绕OZ轴旋转的静止匀质圆盘(m1,R),盘底面与水平接触面之间的摩擦系数为,一个质量为m2的子弹以速度v射入盘边缘并嵌在盘边,求1)子弹嵌入盘边后盘的角速度?2)经多少时间停下来?3)盘共转多少角度?ZO)21(21222RmRmvRmRmmvm)2(2122解:1)子弹与圆盘相撞,守恒L2)子弹与盘从到停止转动,运用角动量定理1221LLtMttdMrdrdSd1f2f取方向为正M=M1+M2111mgrMMddRrrgRm022021ddgRm132M2=-fR=-m2gR)21(0)32(212221RmRmtgRmgRmgmmvmt)32(32123)运用功能原理:1221kkEEMMd2212221)21(210)32(RmRmgRmgRm)32)(2(32112222gRmgRmmmvm
本文标题:刚体力学总结
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