一次函数和二元一次方程组

19.2.3一次函数与方程、不等式一次函数与二元一次方程组第二课时教学目标1、知识和技能使学生理解二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标,并能通过图象法来求二元一次方程组的解.2、过程和方法通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的探究,引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系,发展学生的辩证思维能力.3、情感态度和价值观在探究活动中,让学生体会数学知识的融会贯通,发现数学的美,以激发学生学习数学的兴趣和克服困难的信心.教学重难点【重点】1.理解一次方程、一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系.2.掌握用图象求解方程、不等式的方法.【难点】根据一次函数的图象求解方程和不等式.教学过程一、新课导入探究一次函数与方程组的关系思路一探究:1号探测气球从海拔5m处出发,以1m/min的速度上升.与此同时,2号探测气球从海拔15m处出发,以0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1h.(1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y(单位:m)关于上升时间x(单位:min)的函数关系;(2)在某个时刻两个气球能否位于同一高度?如果能,这时气球上升了多长时间?位于什么高度?引导学生从实际问题中抽象出具体的数学问题,并应用所学方法求解.帮助学生建立函数模型,得到不同的解决方法,并展示规范解答.解:(1)两个气球所在位置的海拔高度y(m)与上升时间x(min)的函数关系分别是:1号气球:y=x+5;2号气球:y=0.5x+15.自变量x的范围是0≤x≤60.追问:“在某个时刻两个气球位于同一高度”说明它们两个函数关系式中的x和y的值要满足什么关系?如何求出x和y的值?学生思考后总结.在某时刻两个气球位于同一高度,就是说对于x的某个值,函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.由此容易想到解二元一次方程组.解:(2)由题意得解得当上升20min时,两个气球都位于海拔25m的高度.追问:在同一直角坐标系中,画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象,观察这两条直线有交点吗?并思考:交点坐标是不是的解?为什么?学生画图后发现,这两条直线的交点为(20,25),说明当上升20min时,两个气球都位于海拔25m的高度.也就是说交点坐标也就是方程组的解.教师引导学生归纳总结:(1)一般地,因为每个含有未知数x和y的二元一次方程,都可以改写成y=ax+b的形式,所以每个这样的方程都对应一个一次函数,于是也对应一条直线,这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解.同样,任意一个二元一次方程组都对应着两个一次函数和两条直线,这两条直线的交点坐标是该二元一次方程组的解.(2)从“数”的角度看:解二元一次方程组,相当于求自变量为何值时两个函数的函数值相等,以及这个函数值是多少.从“形”的角度看:解二元一次方程组,相当于确定两条相应直线的交点.[设计意图]通过活动,从数和形两个角度认识了一次函数与二元一次方程组的关系.思路二1.一次函数与二元一次方程的关系.(1)对于方程3x+5y=8如何用x表示y?是不是任意的二元一次方程都能转化成一次函数呢?(2)在平面直角坐标系中画出一次函数y=-x+的图象.(3)在一次函数y=-x+的图象上任取一点(x,y),则x,y一定是方程3x+5y=8的解吗?为什么?学生独立完成后同桌交流,教师再引导学生归纳总结:方程3x+5y=8的解点(s,t)在一次函数y=-x+的图象上2.一次函数与二元一次方程组的关系.观察在同一直角坐标系中的y=2x-1与y=-x+的图象,两条直线的交点坐标是.方程组的解是.小组讨论,完成填空后,进行验证.教师说明:(1)任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合;(2)求方程组的解就是求两个函数值相等时,自变量的值和函数值;(3)根据方程组的解的意义和函数的观点,就是当x取什么数值时,两个一次函数的y值相等?它反映在图象上,就是求直线y=2x-1与直线y=-x+的交点坐标.教师引导归纳:[设计意图]通过问题解决,由特殊过渡到一般,从数和形两个角度认识了一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系.4.例题讲解(补充)某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元,销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元.(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润;(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍.设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.①求y关于x的函数关系式;②该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大?(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调m(0m100)元,且限定商店最多购进A型电脑70台.若商店保持两种电脑的售价不变,请你根据以上信息及(2)中条件,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.师生共同分析:(1)设出每台A型电脑和B型电脑的销售利润,因为销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元,销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元,可列出二元一次方程组求解.(2)由计划一次购进两种型号的电脑共100台和(1)问中的结论等条件,构建y关于x的函数关系式,再由“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍”求出自变量的取值范围,最后由一次函数的增减性得出销售总利润最大的进货方案.(3)由(2)问中的条件和(3)中信息构建含参数m的一次函数关系式并确定自变量的取值范围,依据m的不同取值范围讨论一次函数的增减性,从而确定m取值范围不同情况下销售总利润最大的进货方案.解:(1)设每台A型电脑的销售利润为a元,每台B型电脑的销售利润为b元,则有:解得即每台A型电脑的销售利润为100元,每台B型电脑的销售利润为150元.(2)①根据题意,得y=100x+150(100-x),即y=-50x+15000.②根据题意,得100-x≤2x,解得x≥33.∵y=-50x+15000中,-500,∴y随x的增大而减小.∵x为正整数,∴当x=34时,y取得最大值,此时100-x=66.即商店购进A型电脑34台,B型电脑66台,才能使销售总利润最大.(3)根据题意,得y=(100+m)x+150(100-x),即y=(m-50)x+15000.由题意得33≤x≤70.①当0m50时,m-500,y随x的增大而减小.∴当x=34时,y取得最大值.即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑才能获得最大利润;②当m=50时,m-50=0,y=15000.即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤70的整数时,均获得最大利润;③当50m100时,m-500,y随x的增大而增大.∴x=70时,y取得最大值.即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑才能获得最大利润.[归纳总结]一次函数的最值问题:考虑一次函数y=kx+b在a≤x≤b时的最大值和最小值的时候,要注意k的符号:当k0时,则在x=a处取最小值,在x=b处取最大值;当k0时,结论正好相反.[设计意图]进一步加强一次函数综合性问题的分析,提高解决问题的能力和应用数学知识的能力.二、课堂小结师生共同回顾本节课所学主要内容.一次函数与方程、不等式的关系:从数的角度看从形的角度看求方程ax+b=0(a,b是常数,a≠0)的解x为何值时y=ax+b的值为0求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标求不等式ax+b0(a≠0)的解集x为何值时,y=ax+b的值大于0直线y=ax+b在x轴上方时所对应的x的取值范围求二元一次方程组的解解二元一次方程组就相当于求自变量为多少时,两个函数值相等,以及这个函数值是多少解二元一次方程组相当于求两条直线交点的坐标三、板书设计19.2.3一次函数与方程、不等式1、一次函数与方程组的关系2、例题讲解四、作业布置一、教材作业【必做题】教材第98页练习第1题;教材第99页习题19.2第10题.【选做题】教材第100页习题19.2第15题.二、课后作业1..一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式:方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费;方式B除收月基费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费.如何选择收费方式能使上网者更合算?答案：.解:设上网时间为x分钟,方式A收费为y=0.1x(元);方式B收费为y=0.05x+20(元).如图所示,两图象交于点(400,40),从图象上可以看出:这表示当x=400时,两个函数的值相等,都等于40.因此上网时间为400分时,两种方式计费相等,都是40元.即当0x400时,0.1x0.05x+20,当x=400时,0.1x=0.05x+20,当x400时,0.1x0.05x+20.因此,当一个月内上网时间少于400分钟时,选择方式A省钱;当上网时间等于400分钟时,选择方式A,B没有区别;当上网时间多于400分钟时,选择方式B省钱.教学反思本节内容的本质是通过研究一次函数与方程、不等式的关系解决与一次函数相关的实际问题.把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的.整节课以“问题情境——分析探究——总结升华”为主线,使学生亲身经历一次函数与方程、不等式的探索,培养学生的数形结合的能力,努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变.在教学过程中,学生对与一次函数与方程、不等式的关系理解有一定的困难,对用函数的观点去解释一次函数与方程、不等式的关系的阐述上不是太清晰,在用图象解决实际问题的方法掌握不牢固.在问题处理环节设计上给学生一个充分从事数学活动的机会,应充分体现学生是数学学习的主人的理念.让学生能充分地参与到探究活动中,大胆发表见解,通过讨论交流深入理解一次函数与方程、不等式的关系,并掌握解决问题的方法.