北师大版八年级数学下册第六章平行四边形

第六章平行四边形八年级（下册）第一单元：平行四边形的性质一．平行四边形的概念1.定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。2.平行四边形：对角、邻角；对边、邻边。3.对角线：不相邻的两个顶点连成的线段叫之4.表示：用符号“□”表示，行四边形ABCD记作□ABCD，读作“平行四边形ABCD”。5.边、角、对角线是平行四边形的基本元素。6.定义的作用：既是性质，又是判定。7.学习（记忆）技巧：一看边、二看角、三看对角线、四看对称性、五看等积。8.平行四边形两组对边分别平行BCDA【例1】如图AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC则图中的平行四边形有（）A.7个B.8个C.9个D.10个复习数线段，数角，数四边形的基本方法——3×3=9个（为什么？）二．平行四边形的性质1.一看边：对边平行且相等。2.二看角：对角相等，邻角互补，内角和1803.三看对角线：对角线互相平分。4.四看对称：中心对称图形。5.五看等积：四个三角形面积相等（大四小四）6.六记周长差：对角线将平行四边形分成四个三角形，相邻两个三角形的周长的差等于平行四边形邻边的差。7.性质的用途：∵□ABCD∴（）BCDAO【例2】1.性质的证明2.□ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且BE=DF①图中共有（）对全等三角形。②请写出一对全等三角形并加以证明。3三.总结ABCD②角①边对边平行且相等对角相等邻角互补知识点（一）：定义及表示方法知识点（二）：性质③对角线互相平分对称性；周长、面积的特征！【典例1】在平行四边形ABCD中，周长为24cm,AD－AB=４cm且∠A:∠B=3:1，１）求AB的长度２）求∠C的度数。CBAD∵AD∥BC解：∴∠A+∠B=180°∴∠A=135°(∠B=45°)∴∠C=135°２）１）∵AD＋AB＝１２AD－AB＝４∴AB＝４cm在□ABCD中，∠ADC=125°∠CAD=21°，求∠ABC，∠CAB的度数结论:分析:1.四边形ABCD是平行四边形结论:AB∥CDAD∥BC2,∠ADC=125°∠CAD=21°∠ACD=34°【典例2】平行四边形ABCD中，若在AD上取一点E，CＢ上取一点F，且AE=CF，试测量比较BE,DF的大小并说明理由。ABDCFE【典例3】【典例4】□ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，经过O点的直线交AB于E点，交CD于F点，求证：OE=OFABCDEF0【典例5】□ABCD中，F是BC的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于E点。求证：AB=BEAECDFB第二单元：平行四边形的判定ABCDO∵OA=OB，OC=OD∴四边形ABCD是平行四边形。一．平行四边形的判定方法1.一看边：2.二看角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。3.三看对角线：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。4.注意：结合图形用“符号语言”叙述。5.性质与判定的联系与区别。两组对边分别品行的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形BCDAO辨析•一组对角相等，一组对边平行的四边形是否平行四边形？（是）•一组对角相等，一组对边相等的四边形是否平行四边形？（不一定是）•一组对边平行，另一组对边相等的四边形是否平行四边形？（不一定）【例1】1.证明判定定理2.□ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2。①求证：AE=CF②求证：四边形EBFD是平行四边形。BACDEF12O【练习】如图，AC∥ED，点B在AC上且AB=ED=BC。找出图中的平行四边形。ACBED二．两条平行线间的距离1.定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离（垂线段的长度）相等，这个距离称为平行线间的距离。2.性质；平行线间的距离处处相等。3.平行四边形的高：从平行四边形一边的对边上任意一点作这边的垂线段，这个垂线段就是这边上的高。【例2】l1∥l2∥l3，L1与l2之间的距离为2，l2与l3之间的距离为3，若点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上，且AC⊥BC，AC=BC，求AB的长。ABCl1l2l3ED如图作辅助线BE、AD证明△ADC≌△CEB---------三．总结类别条件：∵结论：∴性质四边形是平行四边形对应边平行且相等对角相等邻角互补对角线互相平分判定两组对边分别平行四边形是平行四边形两组对边分别相等四边形是平行四边形一组对边平行且相等四边形是平行四边形两组对角分别相等四边形是平行四边形对角线互相平分四边形是平行四边形【典例1】已知：D是△ABC边AB上的一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小和位置关系，并加以证明。ABCDEO【典例2】点A、D、B、E在同一条直线上，AD=BE，AC=DF，AC∥DF，请从图中找出与∠E相等的角,并加以证明。（不再添加其它的字母和线段）ABCDFE证明∠FCB＝∠E【典例3】如果e∥f，那么△ABC的面积与△DBC的面积有什么关系，请说明理由。你能再画几个类似的与△ABC面积相等的三角形吗？efABCC【典例4】四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6厘米，P、Q分别从A、C同时出发，P以1厘米/秒的速度由A点向D点运动，Q以2厘米/秒的速度由C点向B点运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？ABCDPQ→←【典例5】AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，AE=DF，求证：四边形BECF是平行四边形。ABCDEF【典例5】如图，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形，说明理由.第三单元：三角形的中位线观察猜想在△ABC中，中位线DE和边BC什么关系?DE和边BC关系数量关系：位置关系：DE∥BCDE=BC.21ABCDE演示1三角形的中位线1.定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。2.数量：任一三角形都有三条中位线，且这三条中位线组成一个“中位线三角形”。3.定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。（位置关系和长度关系）。4.两边中点中位线5.用途：证明平行或线段的倍、分、比关系。6.中位线三角形周长等于原三角形周长的一半。7.顺次连接任意四边形四边的中点构成一个平行四边形。位置：平行第三边长度：等于第三边的一半【例1】1.证明三角形中位线定理。2.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？ABCDEFGH中位线定理的证明：如图：在△ABC中，D是AB的中点，E是AC的中点。则有：DE∥BC,DE=BC.21DABCEF分析:延长ED到F,使DF=ED,连接CF易证△ADE≌△CFE，得CF=AE,CF//AB又可得CF=BE,CF//BE所以四边形BCFE是平行四边形则有DE//BC,DE=EF=BC2121【典例1】Rt△ABC中，∠BCA=90°，D、E分别是AC、AD的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF＝∠A，试判断四边形CEDF的形状并加以证明。ABCFDE【典例2】E为□ABCD中DC边的延长线上一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O点，连接OF，判断AB与OF的位置和数量关系，并证明你的结论。ABCDOEFG【典例3】M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，AB=10，BC=15，MN=3。1.求证：BN=DN2.求△ABC的周长。ABCDNN第四单元：多边形的内角和与外角的和多边形有关概念：内角在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。一．多边形的有关概念1.定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。边数最少的多边形是三角形。多边形有几条边就叫几边形。n条边叫n边形。2.概念：多边形的边、顶点、内角、内角和、外角、外角和、对角线与四边形相同。3.本书所研究的多边形是凸多边形：多边形总在任何一边所在直线的同一侧。4.多边形的对角线：连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。三角形没有对角线【例1】图形中是多边形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个ABCD多边形的边数图形从一个顶点引出的对角线条数分割出的三角形的个数多边形的内角和3456…………………………n(n-2)×180º4×180º2×180º3×180º1×180º01122334n－3n－2二．多边形的内角和公式1.从多边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形。2.公式：n边形的内角和等于（n-2)·180°，其中n≥3且为正整数。3.正多边形：在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形。如：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形等。4.正n边形的每一个内角的度数=（n-2）·180°n【例2】在五边形ABCDE中，AE⊥DE，∠A=120°，∠C=60°，∠D-∠B=30°。①求∠D的度数。②AB∥CD吗？请说明理由。EABCD三．多边形的外角及外角和1.外角定义：多边形内角的一边与与另一边的反向延长线组成的角叫做这个多边形的外角2.外角的数量及特征：多边形的每个顶点处有两个外角，这两个外角相等。都是对应内角的补角。3.外角和的定义：每个顶点处都取多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和4.外边和定理：多边形的外角和都等于360°。ABCDEA'C'D'E'B'Oβγδθα12345结论：1，2，3，4，5的和等于360ْ【例3】一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？四．小结1.多边形的内角和2.多边形的外角和3.正多边形4.典例解：设这个多边形的边数为n，由题意得：（n－2）×180＝150×n解之得n＝12答：这个多边形的边数为12。【典例1】已知一个多边形各个内角都相等，都等于150°，求这个多边形的边数.【典例2】填空1.正五边形的每一个外角等于___.每一个内角等于_____,2.如果一个正多边形的一个内角等于120°,则这个多边形的边数是_____3.如果一个正多边形的一个内角等于150°,则这个多边形的边数是_____4.如果一个多边形的每一个外角等于30°,则这个多边形的边数是_____【典例3】如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=？ABCDEFGH【典例4】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和是为720度，那么，原多边形的边数为（）A.5B.5或6C.5或7D.5或6或77【典例5】过正五边形ABCDE的顶点A作直线PQ∥BE则∠QAE的度数为（）°ABCDEPQ36•图形变换全等变换相似变换（形状不变大小变）如：位似变换。对称旋转平移翻折形状大小都不变两次翻折=一次平移中考演练【练一】做一做【练二】【练三】【练四】【练五】【练六】【练七】【练八】【练九】【练十】