极坐标题型归纳总结

1坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·xλ＞0，y′＝μ·yμ＞0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．3．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ；ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.1．若点P的直角坐标为(3，－3)，则点P的极坐标为______．2．圆ρ＝5cosθ－53sinθ的圆心的极坐标为________．3．在极坐标系中A2，－π3，B4，2π3两点间的距离为________．4．在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝π3(θ∈R)的距离是________．2考点一平面直角坐标系下图形的伸缩变换基础送分型考点——自主练透[考什么·怎么考]1．求椭圆x24＋y2＝1经过伸缩变换x′＝12x，y′＝y后的曲线方程．2．求双曲线C：x2－y264＝1经过φ：x′＝3x，2y′＝y，变换后所得曲线C′的焦点坐标．3．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆x29＋y24＝1的一个伸缩变换公式为φ：X＝axa0，Y＝byb0，求a，b的值．考点二极坐标与直角坐标的互化重点保分型考点——师生共研[典题领悟]在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsinθ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ＜2π)．(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．[冲关演练]1、将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．①y2＝4x；②θ＝π3(ρ∈R)；③ρ＝12－cosθ.2、在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为2，π4，直线的极坐标方程为ρcosθ－π4＝a，且点A在直线上，求a的值及直线的直角坐标方程．33、圆心C的极坐标为2，π4，且圆C经过极点．(1)求圆C的极坐标方程；(2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程．4、已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρ·cosθ－π4＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．考点三曲线的极坐标方程的应用重点保分型考点——师生共研[典题领悟]1、在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2cos(22sinxy为参数），M为1C上的动点，P点满足2OPOM，点P的轨迹为曲线2C．（I）求2C的方程；（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与1C的异于极点的交点为A，与2C的异于极点的交点为B，求|AB|．2、(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为2，π3，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．4[冲关演练]1、在直角坐标系中，曲线C1：sincostytx（t为参数，t≠0），其中0≤απ，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：sin2，C3：cos32。（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值。2、在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为sincos1yx(为参数)。以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是ρ(sinθ＋3cosθ)＝33，射线OM：θ＝π3与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长。3、(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．1．在极坐标系中，求直线ρcosθ＋π6＝1与圆ρ＝4sinθ的交点的极坐标．52．在极坐标系中，已知圆C经过点P2，π4，圆心为直线ρsinθ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．3．设M，N分别是曲线ρ＋2sinθ＝0和ρsinθ＋π4＝22上的动点，求M，N的最小距离．4．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝acost，y＝1＋asint(t为参数，a0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.5．(2018·洛阳模拟)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是2ρsinθ＋π6＝53，射线OM：θ＝π6与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．6．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．(1)求C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．67．(2018·福建质检)在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，曲线C3：θ＝π6(ρ0)，A(2,0)．(1)把C1的普通方程化为极坐标方程；(2)设C3分别交C1，C2于点P，Q，求△APQ的面积．8．(2018·贵州适应性考试)在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ.(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)过原点且倾斜角为απ6＜α≤π4的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点(A，B异于原点)，求|OA|·|OB|的取值范围．