鸡兔同笼

鸡兔同笼(储冬生)公开课视频（优质课、示范课）在反思与追问中生成新的智慧——对传统名题“鸡兔同笼”的一次深度开发尝试江苏省海安县实验小学储冬生选题：在争议中坚持前不久，我们县教育学会组织了一次“小学数学教研精品展示活动”，邀请北京的李烈、华应龙，南京的阎勤、余颖、贲友林、张齐华等名师来我县讲学，同时我县也提供两节研究课，其中一节课的任务就交给了我。根据各位名师提供的课题，组委会考虑整个活动的课型与学段的分布，要求我上一节高年级的数学复习课或者活动课。我花了近一周的时间斟酌选题，最终我选择了六年级数学活动课：鸡兔同笼问题。当我提出选题时，却遭到了大家的一致否定，概括起来就是三个核心问题：第一、人人学有用的数学，鸡兔同笼问题“有用”吗？第二、数学活动课，鸡兔同笼问题能让孩子们“动起来”吗？第三、除了教学假设法，鸡兔同笼问题还能上出什么“新意”？针对这三个问题，我开始了自己的思考：●鸡兔同笼问题“有用”吗？学习“有用的数学”是课程标准的基本理念之一，怎样理解“有用的数学”，对于改善课堂教学具有重要意义。人们认为鸡兔同笼问题没有价值，大概是觉得这种问题情境在我们的生活中很少存在。数学必须与生活相联系，但数学的生活化并不等同于生活。我们理解“有用的数学”，应避免功利主义、实用主义。数学本身具有高度抽象、简化的特点，从某种意义上讲数学不摆脱研究对象的“外壳”，不从现实中抽象出来就不会有今天的数学。我们强调数学走进生活的目的是为了帮助孩子理解数学，并体验数学的价值、形成正确的数学观。鸡兔同笼问题的现实意义在哪里？如果你仅仅把它当作鸡和兔同笼来理解，也许真会觉得它毫无价值，但是如果你把它当作一个典型问题，当作一个类似于模型的东西来审视，你就会发现生活中还真有不少问题都类似这个“模型”，譬如：12张乒乓球台上同时有34人正进行乒乓球比赛，正在进行单打和双打比赛的球台各有几张？这不就是一个生活中的“鸡兔”同笼问题吗？如果你把“鸡兔同笼”当作一个模型来理解，它就具有了现实意义，它就是“有用的数学”！●鸡兔同笼问题能让孩子“动起来”吗？数学活动应该让孩子“动起来”，但是“动”不一定就是外显的动作。数学活动包括外显的动作，但更重要的是内隐的思维活动，让思维动起来比形式上的“动”更重要！前苏联著名教育家托利亚尔在他所著的《数学教育学》一书中指出：“数学教学是数学活动的教学（思维活动的教学）。”学生数学学习中的活动更多是指智力活动，它的一个重要目标就是发展学生的思维能力，开发智力。我觉得活动课可以是“安安静静”的活动课，因为“数学活动归根到底应该是思维的活动”！课改之后，热热闹闹的课多了，安安静静的课少了。数学课堂缺少学生静静的思考，缺少学生内心的独自省悟，缺少学生对数学问题的静思与顿悟，甚至老师都不敢让学生静静地做作业，静静地长时间思考。其实热闹的课堂并不一定是真正的活跃，安静的课堂中也可能有活跃的思维，静静地思考更是一种激烈的思维活动过程，它的丰富内涵，足以让每一个孩子收获颇丰。鸡兔同笼问题应该可以让孩子“动起来”，让孩子的“思维动起来”！我就想上一节“安静”的活动课，表面可能是安静的，但是那里却有着“静悄悄的革命”！！所谓“静能生慧”，当我们的课堂能让学生静静地思考数学问题，这样的课堂才可能真正发挥它的育人功能。●鸡兔同笼问题能上出什么“新意”？大家都了解鸡兔同笼问题，甚至不少老师都教过这个内容：多数老师是在三、四年级用它给孩子们讲假设法；特级教师徐斌曾尝试在二年级教鸡兔同笼问题，用它讲画示意图解题；在中学里，老师则用它来讲二元一次方程组。同一个载体鸡兔同笼问题，不同的老师，在不同的学段可以教出不同的知识点。教材其实只是个载体，同一个题材你可以赋予它不同的使命，这也许就是大家常挂在嘴边的“用教材教”。鸡兔同笼问题这个题材只是我们教学的基本凭借，而不是唯一。我们应该以它为抓手，主动寻求适合学生特点的一切有利于教学的因素，充分调动学生的学习积极性，培养学生自主学习的习惯。我们钻研教材，除了研究教材所蕴含的知识，更要深入地了解知识的来源及其背景。研究的目的除了找出重点、难点和关键，更重要的是挖掘数学知识中的数学思想方法，为寻找适合的教法提供依据。以此为依据，我在小学高年级教学这一内容，应该可以教出不同的重点，上出我的“新意”。我能留给孩子些什么呢？我想到了解题策略、数学模型、数学文化……澄清了对这三个问题的认识，我果断地选择了坚持：有挑战才有突破！设计：在追问中完善活动主题：追问“鸡兔同笼”目标预设：1、在掌握基本解法的基础上，比较和梳理各种解法的特点。2、数形结合，渗透数学建模的思想。3、应用鸡兔同笼问题的解题策略解决简单的实际问题，促进模型的进一步内化。4、渗透数学文化，关注学生的探究精神等情意目标的达成。活动预设：一、梳理解法1、自主探索：让学生自己去尝试：从“会做”到“会用不同的方法做”。2、比较梳理：交流解法，教师作适当补充，梳理各种解法的特点。3、资料介绍：补充一些关于鸡兔同笼问题的资料。二、建构模型1、初步提炼：从“鸡兔同笼”到日本人说的“龟鹤问题”，再到“人和狗”的民谣，逐步提炼出鸡兔同笼问题的基本特征。2、首次追问：生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？3、游戏建模：猜硬币游戏，利用2分、5分的硬币，数形结合拓展鸡兔同笼问题的内涵，从四只脚的兔子到“五只脚的兔子”实现认识上的飞跃，进一步逼近问题本质。三、拓展应用1、再次追问：生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？2、应用模型：利用模型解决实际问题，同时也促进模型的进一步内化。3、自主设计：创设生活情境，引导学生自主设计类似的问题。四、反思小结1、深度追问：生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？2、总结延伸：完善板书，小结全课，注重学法指导，引领孩子学会反思和追问。在设计和构架整个活动的过程中，涉及到一些具体问题，让我不得不思考：●怎样面对孩子算法的多样化？数学是一种客观存在，但孩子的认知方式却不是千篇一律的，每个孩子都可能有自己个性化的“发现问题、提出问题、解决问题”的策略。在教学中应该以“发散——聚合”的辩证观点，正确处理好“个性与共性”、“多样与统一”的关系，力求既放得开，又收得拢。面对孩子探索中出现的多样化的算法，具体情况具体分析：基于不同认知角度的多样化，要认可；基于群体的多样化，要深化；基于个体的多样化，要优化。我设计的第一个教学环节就是让孩子们在独立尝试的基础上交流自己的解法，面对孩子多样化的解法，我该怎么办呢？设计中，我引导孩子通过交流促进算法的多样化，但算法的多样化只是个过程目标，而不是最终目的。多样化的最终目的是为了优化，为了帮助孩子梳理各种解法的特点，学会灵活地选用恰当的解法，从而在优化中深化认识。叶澜教授说：“没有聚焦的发散是没有价值的，聚焦的目的是为了促进学生的发展。”让孩子从小学会“多中择优，择优而用”，这种思想方法也正是为孩子综合素质的全面发展服务的。●怎样帮助孩子建构简单的数学模型？数学的生命力就在于它能够有效地解决现实世界向我们提出的各种问题，而数学模型正是联系数学与现实世界的桥梁。如何将现实问题转化为数学模型，是对学生解决问题能力的检验，也是数学教育的重要任务之一。数学建模教学通俗地讲，就是指在课堂内外增加一些有生活背景的实际问题，并通过这些实际问题让学生领悟数学工作者是怎样“发现、提出、抽象、简化、解决、处理”问题的整个思维过程。新课标明确提出：“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”这节课的设计中，我先设计了从“鸡兔”、“龟鹤”到“人狗”的过程，作出初步的事物对象的提炼，然后通过猜硬币的游戏突出数量差异的变化，从而提炼出简单的问题模型。最后，将模型演绎到各种生活现象和问题情境中促进模型的进一步内化，完成模型的建构与应用。整个过程中将“数形结合”作为帮助孩子建构模型的重要策略。●怎样让数学变得更丰富多彩？在不少人的感觉中，数学似乎总是枯燥的、单调的，其实这是对数学的一种偏见。将数学等同于数学知识、工具和技巧的认识是片面的，它们只是将数学的内涵剥落后的产物。数学不仅是一种思想方法、一种技术手段，它更是一门艺术，是一种文化。大自然中的数学情趣、艺术家的数学美感、科技中的数学威力……你都感受过吗？数学以特有的形式美、结构美、方法美的独特魅力泽被天下，它是人类智慧的不竭源泉。数学是真、善、美的统一体，它就像一棵富有生命力的智慧树，随着人类社会的兴衰而荣枯。数学教育除了提供给学生知识、工具和技巧以外，更应重视发展学生的理智情感和文化意识，提升人格素养。怎样在我们的数学教学中更多地展示数学的多彩、丰富与鲜活？在这节课的设计中我也作了不少的努力：通过介绍古今中外不同时空背景映衬下的有趣资料，让课堂洋溢着文化的气息；通过对现实生活的适度夸张变形，变出了五条腿的“怪兔”，增强了数学学习的趣味性；广采各种场合的生活素材，让数学更直观、更生动……教学：在对话中生成教学现场一、梳理解法师：通过刚才短暂的交流，我发现咱们班的同学特别聪明。下面就让我们向在座的各位老师展示一下你们的智慧！师：请看大屏幕：（课件出示：今有鸡兔同笼，上有8头，下有22足。问：鸡有几只？兔有几只？）师：这是一道什么问题？生：（齐答）鸡兔同笼。师：对，不少同学在兴趣小组活动的时候，在自己的课外阅读中都已经接触过这类问题，今天我们继续来研究它。【板书课题：鸡兔同笼】师：题目你能读懂吗？生：能。师：告诉了我们哪些已知条件？生1：共有八个头，二十二只脚。（师点点头）生2：还有两个条件：鸡有两只脚，兔有四只脚。师：很好！还隐藏着两个条件，同样是读懂了，可是懂的水平不一样了！师：会做吗？生：（齐答）会。师：下面就请大家自己先试一试。（学生试做，老师相机指点，并选择学生的一些典型解法，全班交流。）（说明：开课简洁明快，引导学生“读懂”题意，挖掘隐含条件，以“领悟”代替“分析”。放手让学生独立解决问题，暗含对解题策略个性化、多元化的期待。）师：现在我们看看这位同学做的。（实物投影仪显示：学生作业①）（22—8×2）÷(4-2)=3（只）8-3=5（只）答：鸡有5只，兔有3只。师：说说你是怎么想的？生：我先假设全是鸡就有16只脚，而现在有22只脚，还少6只脚，就说明还有一些兔子被算成了鸡，而每只兔子算成鸡就少两只脚，一共少6只脚，就说明有3只兔子，还有5只鸡。师：不但会做，而且讲得很清楚！再看看这位同学做的，这和刚才的解法联系吗？（实物投影仪显示：学生作业②）（8×4－22）÷（4－2）=5（只）8－5=3（只）答：鸡有5只，兔有3只。生：都是假设的，刚才假设的全是鸡，而这现在假设的全是兔。师：谁能说说他又是怎么想的？（实物投影仪显示：学生作业③）解：设兔有X只，则鸡有（8－X）只。4X+2×（8－X）=22X=38－X=5答：鸡有5只，兔有3只。生：他用的是方程解法，4X代表兔的脚数，2×（8－X）代表鸡的脚数，加起来就应该是一共的脚数22只。师：对！方程和算术方法都是很重要的解题方法。师：这里还有一种解法，谁做的？给大家讲讲你的思路。（实物投影仪显示：学生作业④）解：设鸡有X只，则兔有Y只。2X+4Y=22X=0，Y=832×X=1，Y=730×X=2，Y=628×X=3，Y=526×X=4，Y=424×X=5，Y=322√答：鸡有5只，兔有3只。生：我用的是不定方程的解法，后来解的过程我就是这样依次凑的……师：大部分同学可能没接触过不定方程，不过老师课前曾问过一个一年级的小朋友，他给出的方法和这种不定方程很类似，看看他是怎么做的？（课件出示：鸡的只数兔的只数腿的总数083217302628352644245322）生：他是用列举的方法凑的，他的这种方法和不定方程的解法其实就是同一个意思。师：凑也是一种方法，像他们这样有序地凑就是一种列举，我们可以称它叫列举法。课前老师还问过一个二年级的同学，他也会做这道题，想知道他是怎么做的吗？他是这样做的——（课件动态出示）师：（配合课件解说）先画出8个小圆圈就代表8只小动物，