固体理论 第一部分 多电子理论 第二章 格林函数方法

17版权归作者所有，请勿翻印第二章格林函数方法从前一章的讨论中，我们看到处理多粒子系统中的一个关键问题是如何考虑粒子间的相互作用。由于相互作用引起各个粒子运动的相互关联，“牵一发而动全身”。如何由粒子间的相互作用出发求出粒子体系的关联函数是多粒子理论的一个核心问题，解决了这个问题就了解了多粒子系统的各种基本性质。本章将介绍一种把粒子间相互作用当作微扰，对多粒子系统作微扰处理的重要理论方法⎯⎯格林函数方法。它是由处理单粒子运动的数学物理中的格林函数方法发展而来的，是一种可以有效地分析微扰论级数中任何一项的场论方法。首先介绍单粒子问题中的格林函数方法。§2.1单体问题中的格林函数一不含时函数描述单粒子运动的力学量通常可以用线性厄米算符来表示。设有一个不含时的线性厄米算符ˆ()Lr，它的本征态方程为ˆ()nnnLϕλϕ=r。(2.1.1)对应于算符ˆL，就可定义出它的格林函数(,,')Gzrr，ˆ[()](,,')(')zLGzδ−≡−rrrrr。(2.1.2)显然，G可以用正交完备的本征函数集nϕ来表示1ˆnnnnGzzLϕϕλ==−−∑或*()(')(,,')nnnnGzzϕϕλ=−∑rrrr。(2.1.3)如果算符ˆL是哈密顿算符H，nλ就是能量本征值nE。如果算符ˆL的所有本征态nϕ已知，则从(2.1.3)式可以得到对应于ˆL的格林函数。厄米算符ˆL的本征值nλ是实数，它的谱有分立的和连续的两种。在计算格林函数时，对分立谱可以直接用(2.1.3)式中的求和，而对连续谱则需要将求和过渡到积分。如果是分立谱，则G在nzλ=有孤立奇点；如果是连续谱时，则G在实轴上出现割缝，如图2.1.1所示，上(下)岸分别对应着由上(下)半平面趋近于实轴时定义的格林函数±G，18版权归作者所有，请勿翻印*0()(')(,,')liminnSmnGSϕϕλλλ±→≡−±∑rrrr。(2.1.4)如果算符ˆL是哈密顿算符H，则上下岸之差为*(,,')(,,')2i()(')()nnnnGEGEEEπϕϕδ+−−=−−∑rrrrrr。(2.1.5)当'=rr时，上、下岸的虚部分别为2Im(,,)()()nnnGEEEπϕδ±=−∑rrr∓。(2.1.6)所以其虚部的对角元之和为3dIm(,,)()()nnrGEEENEπδπ±=−=∑∫rr∓∓，(2.1.7)其中()NE是态密度。以上是在坐标表象中的格林函数，在一般的表象中，格林函数可写成算符形式，()()zHGzI−=，（I是恒同算符）1()GzzH=−，(2.1.8)Tr[Im(i)]()GESNEπ+=−，(2.1.9)其中Tr是求秩（对角元之和）的意思。格林函数的用途主要有三处：1)描述它所对应的齐次本征态方程的性质。我们看到极点的位置对应于本征值，留数对应于本征函数，岸秩虚部对应于态密度。因此，求出了格林函数也就得到了对本征态的完整的描述。2)可以利用对应于齐次方程的格林函数来解非齐次方程ˆ[()]()()zLuf−=rrr，可以把方程的解()ur用格林函数来表示(a)本征态分布(b)谱值示意图2.1.1本征态的连续谱与分立谱示意19版权归作者所有，请勿翻印{}33(,,')(')d',,()(,,')(')d'(),,nGzfrzuGzfrCzλϕλ±⎧≠⎪=⎨+=⎪⎩∫∫rrrrrrrr(2.1.10)其中,,()Gλϕr分别是对应于ˆ()Lr齐次方程的格林函数、本征值和本征函数，C是一个常数。3)由已知的对应于0ˆ()Lr的格林函数0G，求出对应于01ˆˆˆ()()()LLL=+rrr的格林函数G，从而给出关于ˆ()Lr问题的解的性质(详见下节)。二含时函数对于含有时间微商的方程，我们可以定义相应的含时格林函数。例如，一级含时格林函数的定义是[i](,;',')(')(')HGtttttδδ∂−≡−−∂rrrr。(2.1.11)它与不含时的格林函数(2.1.3)式有密切的关系。为了书写简化，引进()(')(,;','),ggttGttτ≡−≡rr(2.1.12)并做傅氏展开id()e()2πggωτωτω∞−−∞=∫，(2.1.13)代入(2.1.11)式就得到[]()('),Hgωωδ−=−rr(2.1.14)把它与(2.1.2)式对比，就可看出含时格林函数的傅氏系数()gω就是不含时的格林函数(,,')GErr，其中Eω=。所以把不含时的格林函数(,,')GErr代回(2.1.13)式就可推出含时的格林函数.)(τg但是应该注意的是，由于)(ωg在ω的实轴上有奇点或割缝，所以(2.1.13)式中对ω的积分只能沿着“岸”进行，这样视积分路径沿上岸或下岸之不同，就可以得到两个含时的格林函数i'1d()(,,')e2gGωτωτωπ∞±±−−∞=∫rr，(2.1.15)从中还可以定义ggg+−≡−。(2.1.16)+g有时写作Rg，−g有时写作Ag，分别称为推迟的或趋前的格林函数，它们的积分路径如图2.1.2所示。图2.1.2含时格林函数的积分路径20版权归作者所有，请勿翻印显然，它们的表达式分别是*i(')R()(')1()de()()2iEttnnnnggEgEESϕϕτθττπ−−+≡==−+∑∫rr，*i(')A()(')1()de()()2iEttnnnnggEgEESϕϕτθττπ−−+≡==−−−−∑∫rr，i(')*i()()(')e,nEttnnngτϕϕ−−=−∑rr(2.1.17)其中()xθ是阶梯函数，当0x时()1xθ≡，当0x时()0xθ≡。在计算这些积分时，当0τ时只能用下半平面的无穷半圆积分连接∞∞-,；而0τ时只能用上半平面连∞∞-,形成回路积分。可以引入一个演化算符来理解含时格林函数的物理意义，定义演化算符(,')Utt为()(,')(')tUtttψψ≡。由薛定谔方程可写得/)'(ie)',(ttHttU−−=，这样)(~τg可以写成i/i/iii()ee(,')nEHnnngUtthτττϕϕ−−=−=−=−∑。(2.1.17’)在坐标表象可以用格林函数来表示波函数3(,)i(,;',')(',')dtgtttrψψ=∫rrrr，(2.1.18)很显然它表示出粒子波函数由(',')tr到(,)tr的传播(演化)。因此格林函数有时又称为propagator(传播子)。以上考虑的是一级含时格林函数，它与Schrodinger方程的形式相应，广泛用于单电子量子力学问题。同样，我们还可以定义出二级含时格林函数2221ˆ[()](,',)(')()Lgctτδδτ∂−−≡−∂rrrrr，(2.1.19)它可用于描述电磁波和处理Klein－Gorden方程。概况起来，含时格林函数的主要用处有：1)由初始态00(,)tφr解齐次方程ˆi()(,)Lttφφ∂=∂rr，得到解300000(,)i(,;,)(,)dtgtttrφφ=∫rrrr。2)解非齐次方程ˆi(,)()(,)(,)tLtfttψψ∂−=∂rrrr，21版权归作者所有，请勿翻印可以得到3(,)(,)dd'(,';')(,')tttrtgttftψφ−∞=+−∫∫rrrrr。(2.1.20)3)由对应于0ˆ()Lr的已知0()gτ解含时的微扰方程01ˆˆi()0LLttψψψ∂−−=∂。4)将()gτ±与场算符联系起来推广应用于场论和多体问题。昀后两点我们将在下面讨论。§2.2单体格林函数的微扰论一不含时的格林函数在微扰计算时，将哈密顿量写成非微扰项0H和微扰项1H之和01HHH=+，(2.2.1)其中与0H对应的格林函数)(0zG已知，现在要求解对应于H的格林函数)(zG。我们利用关系式()()zHGzI−=，00()()zHGzI−=，(2.2.2)得到10001()()()()GzzHzHHGz−=−−−，001()()()()GzGzGzHGz=+。(2.2.3)可以用迭代的办法解得001001010()()()()()()()GzGzGzHGzGzHGzHGz=+++，(2.2.4)也可以写成000()()()()()GzGzGzTzGz=+，其中1101111()()()TzHHGzHHHGzH≡++=+110101()()()()HHGzTzHTzGzH=+=+。(2.2.5)在坐标表象可以得到301011101(,,')(,,')d(,,)()(,,')GzGzrGzHGz=+∫rrrrrrrrr33120110122012dd(,,)()(,,)()(,,')rrGzHGzHGz++∫∫rrrrrrrr(2.2.6)22版权归作者所有，请勿翻印)(zG在实轴上的孤立奇点对应着H的分立谱，而割缝对应着连续谱，H的态密度由(2.1.7)式给出。对H的本征函数ψ，也可以用同样的迭代法求解01()EHHψψ−=，0EE=，1001001()()EHHGEHψψψψψ±−±±±=+−=+。(2.2.7)二含时格林函数在含时的情况下，需要解方程01i()HHtψψ∂=+∂，(2.2.8)其中的微扰部分1H中可能含有时间。假设01=H时的解φ是已知的，这样可以把(2.2.8)式写成非齐次方程的形式01(i)HHtψψ∂−=∂。设齐次方程的解为()tφ，由(2.1.20)式可以得到01()()d'(')(')(')ttttGttHttψφψ+++−∞=+−∫，(2.2.9)迭代解出101111()()d()()()ttttGttHttψφφ++−∞=+−∫120111012122dd()()()()()tttGttHtGttHttφ++−∞+−−+∫。(2.2.10)如果tt0时01=H，可把0tt=时系统的状态记为ϕ，则由(2.1.18)式得到00()i()tGttφϕ+=−。因此此时可以把(2.2.10)式写为0010111010()i()id()()()ttGtttGttHtGttψϕϕ++++−∞=−+−−∫12011101212020idd()()()()()tttGttHtGttHtGttϕ+++−∞+−−−+∫0(,)Attϕ≡，(2.2.10')其中00010111010(,)i[()id()()()tAttGtttGttHtGtt+++−∞≡−+−−∫])()()()()(ddi02021210111021+−−−++∞−++∫ttGtHttGtHttGttt。(2.2.11)23版权归作者所有，请勿翻印它可以用图来表示(2.2.12)从(2.2.11)式不难看出，nmttAϕϕ),(0代表由于1H的作用在0tt−时间内由本征态nϕ跃迁(散射)到mϕ态的概率幅度。通常定义00000,exp(i)(,)exp(i)limttHHStAttt→∞→−∞≡−，称为散射()S矩阵，nmSϕϕ是矩阵元。§2.3多体系统的单粒子格林函数(T=0)－定义多体系统的单粒子格林函数是前面讲过的含时单粒子格林函数的发展，它描写在一个多体系统中在不同时刻放入和取出一个粒子的传播几率，其定义是00ˆˆ(,,;',',')iT{(,,)(',',')}GttNttNξξφψξψξφ+≡−rrrr，(2.3.1)其中r和ξ分别是电子的空间与自旋坐标，以后我们用x来统一代表，ˆψ和ˆψ+是二次量子化表象下的场算符，N0φ表示有N个粒子的基态。格林函数定义在海森堡表象，所以场算符会随时间变化。算符T是时序乘积(编时)算符，对费米系统其定义是ˆˆ()('),';ˆˆT[()(')]ˆˆ(')(),',ttttttttttψψψψψψ+++⎧⎪≡⎨−⎪⎩(2.3.2)'tt的情况描写的是在't时刻在'x处放入的一个粒子，在t时刻传播到x的几率振幅；而'tt的情况是描写在t时刻在x处放入的一个空穴，在't时刻传播到'x的几率。二Lehmann表示如果用1+Nmφ表示有1+N个粒子的多体系统的本征态，)1(+NEm为其本征能量，则对于'tt情况，由定义式(2.3.1)式格林函数可表示为i(')/*(,;',')i()(')emttmmmGxtxtfxfxε−−=−∑，(2.3.3)