数学选修2-2第一章导数及其应用教案(人教B版)

第1页共43页选修2－2第一章导数及其应用教案（人教B版）1．1导数1.1.1函数的平均变化率一．教学目标：了解函数的平均变化率二．教学重点：函数的平均变化率三．教学过程1．客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的昀大的一个创造。2．微积分学的建立从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的昀大值和昀小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的昀大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是昀早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上昀伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，昀后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门第2页共43页学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早10年左右，但是整是公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，昀终导致了第二次数学危机的产生。直到１９世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，後来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西……欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。3．微积分的基本内容研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。微积分是与应用联系着发展起来的，昀初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。4．例子假设图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系。A是出发点，H是山顶。爬山路线用函数y=f(x)表示。自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y=f(x)表示此时旅游者所在的高度。想想看，如何用数量表示此旅游者登山路线的平缓及陡峭程度呢？某旅游者从A点爬到B点，假设这段山路是平直的。设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)，自变量x的改变量为x1－x0，记作△x，函数值的改变量为y1－y0，记作△y，即△x=x1－第3页共43页x0，△y=y1－y0，于是此人从点A爬到点B的位移可以用向量(,)ABxy=ΔΔ来表示，假设向量AB对x轴的倾斜角为θ，直线AB的斜率为k，容易看出1010tanyykxxθ−==−=yxΔΔ。显然，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡。这就是说，竖直位移与水平位移之比yxΔΔ的绝对值越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小段的山坡可视为平直的。例如，山坡DE可近似的看作线段DE，再用对平直山坡AB分析的方法，得到此段山路的陡峭程度可以用比值11()()kkkkfxfxyxxx++−Δ=Δ−近似地刻画。注意各小段的yxΔΔ是不尽相同的。但不管是哪一小段山坡，高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值11()()kkkkfxfxyxxx++−Δ=Δ−来度量。由此我们引出函数平均变化率的概念。一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记△x=x1－x0，△y=y1－y0=f(x1)－f(x0)=f(x0+△x)－f(x0).则当△x≠0时，商00()()fxxfxyxx+Δ−Δ=ΔΔ称作函数y=f(x)在区间[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均变化率。例1．求函数y=x2在区间[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均变化率。解：函数y=x2在区间[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均变化率为2200000()()()2fxxfxxxxxxxx+Δ−+Δ−==+ΔΔΔ.由上式可以看出，当x0取定值时，△x取不同的值，函数的平均变化率不同，当△x取定值，x0取不同的值时，该函数的平均变化率也不一样。例如，x0取正值，并不断增大时，该函数的平均变化率也不断地增大，曲线变得越来越陡峭。例2．求函数1yx=在区间[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均变化率(x0≠0，且x0+△x≠0).解：函数1yx=的平均变化率为00000011()()1()fxxfxxxxxxxxx−+Δ−+Δ==−ΔΔ+Δ例3．已知函数f(x)=xx+−2的图象上的一点)2,1(−−A及临近一点)2,1(yxBΔ+−Δ+−,则=ΔΔxy．解：)1()1(22xxyΔ+−+Δ+−−=Δ+−，∴2(1)(1)23yxxxxxΔ−−+Δ+−+Δ+==−ΔΔΔ例4．求函数322+−=xxy在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,1223和⎥⎦⎤⎢⎣⎡1225,2的平均变化率。第4页共43页变式1：求函数2xy=在区间[]xxxΔ+00,（或[]00,xxxΔ+）的平均变化率，并探索表达式的值（平均变化率）与函数图象之间的关系。变式2：过曲线()3xxfy==上两点P（1,1）和()yxQΔ+Δ+1,1作曲线的割线，求出当1.0=Δx时割线的斜率。相关练习1．设函数()xfy=，当自变量x由0x改变到xxΔ+0时，函数的改变量yΔ为（）A．()xxfΔ+0B．()xxfΔ+0C．()xxfΔ⋅0D．()()00xfxxf−Δ+2．一质点运动的方程为221ts−=，则在一段时间[]2,1内的平均速度为（）A．－4B．－8C．6D．－63．将半径为R的球加热，若球的半径增加RΔ，则球的表面积增加SΔ等于（）A．RRΔπ8B．()248RRRΔ+ΔππC．()244RRRΔ+ΔππD．()24RΔπ4．在曲线12+=xy的图象上取一点（1,2）及附近一点()yxΔ+Δ+2,1，则xyΔΔ为（）A．21+Δ+ΔxxB．21−Δ−ΔxxC．2+ΔxD．xxΔ−Δ+125．在高台跳水运动中，若运动员离水面的高度h（单位：m）与起跳后时间t（单位：s）的函数关系是()105.69.42++−=ttth，则下列说法不正确的是（）A．在10≤≤t这段时间里，平均速度是sm/6.1B．在49650≤≤t这段时间里，平均速度是sm/0C．运动员在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4965,0时间段内，上升的速度越来越慢D．运动员在[]2,1内的平均速度比在[]3,2的平均速度小6．函数()xfy=的平均变化率的物理意义是指把()yfx=看成物体运动方程时，在区间[]21,tt内的7．函数()xfy=的平均变化率的几何意义是指函数()xfy=图象上两点()()111,Pxfx、()()222,Pxfx连线的8．函数8232−−=xxy在31=x处有增量5.0=Δx，则()xf在1x到xxΔ+1上的平均变化率是9．正弦函数xysin=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π和⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ的平均变化率哪一个较大？10．甲、乙两人跑步路程与时间关系以及百米赛跑路程与时间关系分别如图（1）（2）所示，试问：（1）甲、乙两人哪一个跑得较快？（2）甲、乙两人百米赛跑，问接近终点时，谁跑得较快？11．一水库的蓄水量与时间关系如图所示，试指出