平面向量专题练习

重点难点重点：①掌握平面向量基本定理，会进行向量的正交分解②理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算难点：向量的正交分解与平面向量基本定理知识归纳1．平面向量基本定理(1)如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数a1、a2，使得a＝.我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．a1e1＋a2e2(2)直线的向量参数方程式：A、B是直线l上两点，O为l外一点，点P在直线l上的充要条件是OP→＝(1－t)OA→＋tOB→(t为参数)．(3)OM→＝12(OA→＋OB→)⇔M是线段AB的中点．2．已知两个非零向量a与b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做a与b的夹角．(0°≤θ≤180°)当θ＝0°时，a与b方向；当θ＝180°时，a与b方向；当θ＝90°时，称a与b.3．如果基底的两个基向量互相垂直，则称其为正交基底，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．相同相反垂直4．平面向量的直角坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则实数对(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，其中x，y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等向量．5．平面向量的直角坐标运算(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)非零向量a的单位向量为±a|a|.误区警示已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时，一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标．本节易忽略点有二：一是易将向量的终点坐标误为向量坐标，二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆．a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，当a、b都是非零向量时，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.解题技巧证明共线(或平行)问题的主要依据：(1)对于向量a，b，若存在实数λ，使得b＝λa，则向量a与b共线(平行)．(2)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若x1y2－x2y1＝0，则向量a∥b.(3)对于向量a，b，若|a·b|＝±|a|·|b|，则a与b共线．分析：据向量坐标与向量的始点、终点坐标的关系及数乘向量的定义求解．[例1]已知A(－2,4)、B(3，－1)、C(－3，－4)且CM→＝3CA→，CN→＝2CB→，求点M、N及MN→的坐标．解析：∵A(－2,4)、B(3，－1)、C(－3，－4)，∴CA→＝(1,8)，CB→＝(6,3)，∴CM→＝3CA→＝(3,24)，CN→＝2CB→＝(12,6)．设M(x，y)，则有CM→＝(x＋3，y＋4)，∴x＋3＝3y＋4＝24，∴x＝0y＝20∴M点的坐标为(0,20)．同理可求得N(9,2)，因此MN→＝(9，－18)．故所求点M、N的坐标分别为(0,20)、(9,2)，MN→的坐标为(9，－18)．总结评述：向量的坐标表示是给出向量的又一种形式，只与它的始点、终点的相对位置有关，三者中给出任意两个，都可以求出第三个，必须灵活运用．(文)(09·浙江)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()A.79，73B.－73，－79C.73，79D.－79，－73解析：设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，a＋b＝(3，－1)．∵(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，∴2(y＋2)＝－3(x＋1)且3x－y＝0.∴x＝－79，y＝－73，故选D.答案：D(理)(09·北京)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：依题知d＝a－b＝(1，－1)．又c＝ka＋b＝(k,1)．∵c∥d，∴1×1－(－1)·k＝0，∴k＝－1.又k＝－1时，c＝(－1,1)＝－d，∴c与d反向．故选D.答案：D解析：a＋b＝(2，－1)＋(－1，m)＝(1，m－1)，c＝(－1,2)，∵(a＋b)∥c，∴1－1＝m－12，∴m＝－1.[例2](2010·陕西)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.答案：－1点评：通过客观题考查向量的线性运算及平行垂直的坐标表示是高考命题的主要方式之一，复习这一部分内容，选题不宜过难，但要有一定的综合性，涉及多个知识点且入手较易的题是理想的选择．解析：解法一：∵a∥b，∴存在实数λ，使b＝λa，∴(－3，k)＝(6λ，2λ)，∴6λ＝－32λ＝k，∴k＝－1.解法二：∵a∥b，∴－36＝k2，∴k＝－1.(文)(2010·江苏苏北四市)已知向量a＝(6,2)，b＝(－3，k)，若a∥b，则实数k等于()A．1B．－1C．－2D．2答案：B(理)如图所示，在▱ABCD中，已知AE→＝13BC→，AC与BE相交于点F，AF→＝λAC→，则λ＝________.解析：设BA→＝a，BC→＝b.则BE→＝BA→＋AE→＝a＋13b.而AC→＝b－a，所以AF→＝λAC→＝λ(b－a)．故BF→＝BA→＋AF→＝a＋λ(b－a)＝(1－λ)a＋λb.∵BE→与BF→共线，且a与b不共线，∴1－λ1＝λ13，∴λ＝14.答案：14[例3]如图，在△ABC中，AMAB＝，ANAC＝，BN与CM交于P点，且AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示AP→.分析：由已知条件可求AM→、AN→，∵BN与CM相交于点P，∴B、P、N共线，C、P、M共线，因此，可以设PN→＝λBN→，PM→＝μCM→，利用同一向量的两种a，b的线性表示及a、b不共线求解；也可以设BP→＝λBN→，用a、b，λ来表示CP→与CM→，利用CP→与CM→共线及a、b不共线求解．解题方法很多，但无论什么方法，都要抓住“共线”来作文章．解析：由题意知：AM→＝12AB→＝13a，AN→＝14AC→＝14b.BN→＝AN→－AB→＝14b－a，CM→＝AM→－AC→＝13a－b设PN→＝λBN→，PM→＝μCM→，则PN→＝λ4b－λa，PM→＝μ3a－μb.∴AP→＝AN→－PN→＝14b－(λ4b－λa)＝λa＋1－λ4b，AP→＝AM→－PM→＝13a－(μ3a－μb)＝1－μ3a＋μb，∴λa＋1－λ4b＝1－μ3a＋μb，而a，b不共线．∴λ＝1－μ3且1－λ4＝μ.∴λ＝311.因此AP→＝311a＋211b.(文)在△OAB中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC交于点M，设OA→＝a，OB→＝b，以a、b为基底表示OM→，则OM→＝________.分析：显然a、b不共线，故可设OM→＝ma＋nb，由A、M、D三点共线及B、M、C三点共线利用向量共线条件求解．解析：设OM→＝ma＋nb(m，n∈R)，则AM→＝OM→－OA→＝(m－1)a＋nb，AD→＝OD→－OA→＝12b－a因为A、M、D三点共线，所以m－1－1＝n12，即m＋2n＝1又CM→＝OM→－OC→＝m－14a＋nb，CB→＝OB→－OC→＝－14a＋b，因为C、M、B三点共线，所以m－14－14＝n1，即4m＋n＝1由m＋2n＝14m＋n＝1，解得m＝17n＝37，所以OM→＝17a＋37b.答案：17a＋37b(理)如图所示，在△ABO中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC相交于点M.设OA→＝a，OB→＝b.(1)试用a和b表示向量OM→；(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设OE→＝λOA→，OF→＝μOB→，当EF为AD时，λ＝1，μ＝12，此时1λ＋3μ＝7；当EF为CB时，λ＝14，μ＝1，此时1λ＋3μ＝7，有人得出如下结论：不论E、F在线段AC、BD上如何变动，1λ＋3μ＝7总成立．试问他的这个结论对吗？请说明理由．解析：(1)解法1：设OM→＝ma＋nb，则AM→＝OM→－OA→＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb，AD→＝OD→－OA→＝12OB→－OA→＝－a＋12b.∵A、M、D三点共线，∴AM→与AD→共线．故存在实数t，使得AM→＝tAD→，即(m－1)a＋nb＝t(－a＋12b)，∴m－1＝－tn＝t2，消去t得m－1＝－2n，即m＋2n＝1①∵CM→＝OM→－OC→＝ma＋nb－14a＝(m－14)a＋nb，CB→＝OB→－OC→＝b－14a，又C、M、B三点共线，∴CM→与CB→共线．同理可得4m＋n＝1.②由①②解得m＝17，n＝37.∴OM→＝17a＋37b.(2)1λ＋3μ＝7这个结论是对的．∵E、F、M三点共线，由直线的向量参数方程式可知存在实数k，使得OM→＝kOE→＋(1－k)OF→，即17a＋37b＝λka＋μ(1－k)b，又∵OA→、OB→不共线，即a、b不共线，∴17＝λk37＝μ1－k，消去k整理得1λ＋3μ＝7.[解析]∵a∥b，∴x4＝32，∴x＝6.一、选择题1．(文)(2010·烟台市诊断)已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x的值是()A．6B．－6C．9D．12[答案]A(理)(2010·山东聊城模考)已知向量a＝(1,3)，b＝(3，n)，若2a－b与b共线，则实数n的值是()A．3＋23B．9C．6D．3－23[答案]B[解析]2a－b＝(－1,6－n)，∵2a－b与b共线，∴－1×n＝3×(6－n)，∴n＝9.2．(2010·福建省龙岩市质检)已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c＝()A．(2,1)B．(1,0)C．(32，12)D．(0，－1)[答案]A[解析]设c＝(x，y)，由(c＋b)⊥a，(c－a)∥b可得x＋1－y－2＝0y＋1＝2x－1，解得x＝2y＝1，因此c＝(2,1)．3．不共线向量OA→、OB→，且2OP→＝xOA→＋yOB→，若PA→＝λAB→(λ∈R)，则点(x，y)的轨迹方程是()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0[答案]A[解析]由PA→＝λAB→得，OA→－OP→＝λ(OB→－OA→)，即OP→＝(1＋λ)OA→－λOB→.又2OP→＝xOA→＋yOB→，∴x＝2＋2λy＝－2λ，消去λ得x＋y＝2，故选A.4．(2010·合肥市质检)如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设AB→＝a，AC→＝b，AF→＝xa＋yb，则(x，y)为()A.12，12B.23，23C.13，13D.23，12[解析]设CF→＝λCD→，∵E、D分别为AC、AB的中点，∴BE→＝BA→＋AE→＝－a＋12b，BF→＝BC→＋CF→＝(b－a)＋λ(12a－b)＝12λ－1a＋(1－λ)b，∵BE→与BF→共线，∴12λ－1－1＝1－λ12，∴λ＝23，∴AF→＝AC→＋CF→＝b＋23CD→＝b＋2312a－b＝13a＋13b，故x＝13，y＝13.[答案]C1．已知向量OA→，OB→满足|OA→|＝|OB→|＝1，OA→·OB→＝0，OC