北京四中---高中数学高考综合复习 专题二十二 抛物线

1高中数学高考综合复习专题二十二抛物线一、知识网络二、高考考点1.抛物线定义的应用；2.抛物线的标准方程及其几何性质；焦点、准线方程；3.抛物线的焦点弦引出的问题；4.直线与抛物线相交（或相切）引出的求法或范围问题；5.抛物线与三角形（或四边形）问题。三、知识要点（一）定义与推论1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.这一定义为抛物线上任意一点M的焦点半径与水平线段（或垂直线段）的等价转换奠定理论基础.2.推论：抛物线的焦点半径公式设为抛物线上任意一点，则2设为抛物线上任意一点，则其它情形从略。（二）标准方程与几何性质1.标准方程设抛物线的焦点F到准线l的距离为p（焦参数），则在特定直角坐标系下导出抛物线的标准方程：①②③④认知：上述标准方程中的一次项的功能：一次项本身决定抛物线的形状与位置.其中，一次项所含变元对应的数轴为对称轴（焦点所在数轴）；一次项系数的符号决定焦点所在半轴（或开口方向）：系数为正，焦点在相应的正半轴上（或开口朝着对称轴正向），反之，焦点在负半轴上（或开口朝着对称轴负向）；一次项系数的绝对值决定抛物线开口大小（形状）：恰等于焦点参数的2倍.2.几何性质对于抛物线（1）范围：这条抛物线在y轴右侧，且向右上方和右下方无限延伸；（2）对称性：关于x轴对称轴为这条抛物线的轴.认知：抛物线的准线与其对称轴垂直（抛物线主要共性之一）（3）顶点：原点O（0，0）（抛物线方程为标准方程的必要条件之一）（4）离心率：（抛物线主要共性之二）（三）挖掘与引申1.抛物线方程的统一形式（1）顶点在原点，以x轴为对称轴的抛物线方程为，其焦点参数（一次项系数绝对值的一半）；焦点，准线；3顶点在原点，以y轴为对称轴的抛物线方程为，其焦点参数（一次项系数绝对值的一半）；焦点，准线；（2）顶点在，对称轴垂直y轴的抛物线方程为：，其焦点参数；顶点在，对称轴垂直x轴的抛物线方程为：，其焦点参数；2.抛物线的焦点弦设且PQ为抛物线的一条经过焦点的弦.（1）弦端点同名坐标的关系（课本P119）（推导上述命题的副产品：，其中k为直线PQ的斜率）（2）焦点弦长公式（Ⅰ）（课本P118例3引申）。（Ⅱ）设直线PQ的倾斜角为，则故有：（3）的面积公式：4；（4）焦点半径与的关系（定值）（5）平行与垂直关系的其它定值结论请读者通过课本习题去认知：P1236，P1332。（四）直线与抛物线直线与抛物线的位置关系，理论上由直线方程与抛物线方程的联立方程组实解的情况来确定，实践中往往归纳为对相关一元二次方程的判别式△的考察：直线与抛物线交于不同两点直线与抛物线交于一点（相切）或直线平行于抛物线的对称轴；直线与抛物线不相交四、抛物线经典例题例1、（1）抛物线的焦点坐标为；（2）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的点到焦点F的距离为5，则抛物线方程为；（3）经过抛物线的对称轴上一点作直线l与抛物线交于A、B两点，若A点纵坐标为，则B点纵坐标为.分析：（1）将抛物线方程化为标准方程切入当时，抛物线标准方程为，此时，焦参数，焦点；5当时，抛物线标准方程为，此时，焦参数，焦点；∴综上可知，不论a的正负如何，总有焦点坐标为.（2）这里.注意到焦点半径在不同标准方程下的不同形式，运用抛物线标准方程的统一形式也不能避开讨论，故而爽直地从标准方程的讨论入手。①注意到点A在x轴下方，因此，（Ⅰ）当抛物线焦点在x轴正半轴上时，设抛物线方程为，则①又点A在抛物线上，则②∴由①，②得：或∴由①得：p=9或p=1∴抛物线方程为：或（Ⅱ）当抛物线焦点在x轴负半轴上时，设抛物线方程为，则，且仿（Ⅰ）解得p=1或p=9∴抛物线方程为或（Ⅲ）当抛物线焦点在y轴负半轴上时，设抛物线方程为，则，∴p=4∴此时抛物线方程为于是综合（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）抛物线方程为或或.（3）为推导出其普通性的结论，我们将所给问题定义升级6经过抛物线的对称轴上一定点作抛物线的弦AB，若设，寻找点A、B的同名坐标之间的联系。设弦AB所直线方程为①由①与联立，消去x：∴②∴③（Ⅱ）应用上述结论，当a=p，时，由②得∴B的纵坐标为—4p例2、已知抛物线，点A(2,3)，F为焦点，若抛物线上的动点到A、F的距离之和的最小值为，求抛物线方程.分析：在解析几何中，关于到两个定点的距离之和的最小值（或距离之差的最大值）问题，运用纯代数方法解，导致复杂运算，因而常运用几何方法与相关曲线的定义。解：注意到抛物线开口大小的不确定性（1）当点A和焦点F在抛物线的异侧时，由三角形性质得∴∴，解得p=2或p=6。注意到p=6时，抛物线方程为，此时若x=2，则，与点A所在区域不符合；当p=2时，抛物线方程为，当x=2时，，符合此时的情形。（2）当点A和焦点F在抛物线的同侧时（如图），作MN⊥准线l于点N，，7得∴∴，解得易验证抛物线符合此时情形。于是综合（1）、（2）得所求抛物线方程为或.点评：求解此题有两大误区：一是不以点A所在的不同区域分情况讨论，二是在由（1）（或（2））导出抛物线方程后不进行检验。事实上，在这里不论是A在什么位置，总得成立，本题进行的检验是必要的.例3、经过抛物线的焦点作弦AB.（1）若弦AB被焦点F分成的线段之比为3：1；求该弦所在直线的方程；（2）求证：直线AB不会是这条抛物线任意一条弦CD的垂直平分线.分析：对于比较复杂的抛物线的焦点问题，常采用对交点坐标“设而不解”的策略.解：（1）设由题意知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB方程为①将①代入消去x得：由韦达定理得：②又由题意得（或）∴③∴由③得：④∴将②代入④解得：8∴所求直线方程为：或.（2）证明：由题意抛物线焦点，准线；假设直线AB为弦CD的垂直平分线.则⑤注意到C，D两点在抛物线上∴过C，D分别作于G，于H则又有⑥∴由⑤、⑥知，即四边形CDHG为矩形∴轴∴轴∴这与直线AB与抛物线有两个交点矛盾。于是可知，直线AB不是弦CD的垂直平分线。点评：（Ⅰ）本例（1）的求解特色，一是利用三角形相似转化已知条件；弦AB被焦点F分成的线段比为3：1（或）；二是以为基础构造并寻觅出和的关系式，从而为利用①式创造了条件.（Ⅱ）对于（2）等否定性命题，常常用反证法证明.请大家在解题过程中注意领会和感悟反证法的思路与策略.例4、如图，已知抛物线的焦点为F，直线l过定点A(4,0)，且交抛物线于P、Q两点。（1）若以PQ为直径的圆经过原点，求p的值；（2）在（1）的条件下，若，求动点R的轨迹方程。分析：注意到直线l过定点A(4,0)，引入新参数k，故考虑对P、Q坐标“既设又解”。解：（1）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为①9把①代入抛物线方程得由题意：恒成立且②∴③由题设得④∴②、③代入④得：∴此时p=2当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=4，将x=4代入抛物线方程得：.∴由得∴此时亦p=2于是综合以上讨论得p=2.（2）解法一（既设又解）：设动点R坐标为（x,y），由（1）知p=2，F(1,0)∴∴由得：⑤∴由②、⑤得：⑥⑦由⑥、⑦消去参数得：当直线l垂直于x轴时，有，从而点满足因此，所求动点R的轨迹方程为.10解法二（设而不解）：由（1）所设.得：⑧又∴两式组合得：，即∴当时得：⑨注意到得四边形PRQF为平行四边形.∴线段PQ与FR互相平分设FR中点为M，由⑧得再注意到P、Q、M、A四点共线∴∴⑩∴由⑨、⑩得：而当时，适合⑩式于是可知，所求动点R的轨迹方程为.点评：对于（2）解法一“既设又解”的思路，过程简略，不需认知条件几何意义，便可导出动点R的条件，的几何意义以及P、Q、M、A四点共线的特殊性质，解题具有较高的技术含量。例5、直线l与抛物线交于A、B两点，O为原点，且有.（1）求证：直线l恒过一定点；（2）若，求直线l的斜率的取值范围.（3）设抛物线焦点为F，，试问：角能否等于？若能，求出相应的直线l的方程；若不能，试11说明理由。分析：鉴于问题的复杂性，考虑对A、B坐标“既设又解”，注意到大前提有三个小题，故从大前提的认知与延伸切入.解：（1）设，则有由得①∴②注意到这里，由①得：，故由②得，③（Ⅰ）当直线l与x轴不垂直时，设其方程为，将其与抛物线方程联立，消去x得：由题意：④且⑤∴由③，⑤得：∴直线l的方程为，可见直线l过定点(2,0)。（Ⅱ）当轴时可得，直线l方程为，亦过定点(2,0)。综上可得，直线l恒过定点(2,0)。（2）由（1）得：∴由得：12∴所求k的取值范围为（3）设，则有⑥又⑦而由抛物线定义知：，⑧∴将⑦，⑧代入⑥解得：，这与且矛盾。并注意到当轴时，综上可知，。点评：若直线与抛物线交于不同两点A、B，且，则弦AB具有与焦点弦相似的性质：（Ⅰ）弦端点同名坐标之积为定值：（Ⅱ）直线AB经过抛物线的轴上一定点.例6、已知抛物线.设AB是抛物线上不重合的两个任意点，且，（O13为坐标原点）（1）若，求点M的坐标；（2）试求动点M的轨迹方程。分析：注意到这里解题头绪的繁多，故考虑对A、B坐标“既设又解”或“解而不设”，以“求解”来化解解题的难度。解：设，则且.∴由得①解法一（既设又解）：由得又故得②∴由①、②得∴③∴（或）④于是再由已知条件得∴此时点M坐标为(4p,0).（2）设动点M(x,y)，则由得⑤14又由①得：∴⑥∴由⑤、⑥得：整理得：∴所求动点M的轨迹方程为.解法二（对A、B坐标解而不设）：由题意，设直线OA的方程为，则直线OB：.设M(x,y)，得由解得由解得∴由得⑦（1）由得：∴，即∴当时或时，均由⑦得点；15（2）注意到，由⑦得∴消去参数k，得即∴所求动点M的轨迹方程为.点评：（1）本题已知条件：，四边形OAMB为矩形.（2）对解法一、解法二进行比较：（Ⅰ）对交点坐标“解而不设”思路简捷，过程明朗，通俗易懂。因此，当直线方程或曲线方程比较简单时，要注意适时运用这一策略。（Ⅱ）细细品味，解法一中对A、B坐标的“既设又解”，与前面解决直线与椭圆（或双曲线）相交问题时，对交点坐标的“只设不解”有着明显不同。其中，前面解决直线与椭圆（或双曲线或抛物线）相交问题时，设出交点坐标之后，解“直线方程与曲线方程联立的方程组”，解题中途运用韦达定理；而本题中设出A、B坐标之后，解的是“关于所设交点坐标的等式所成的方程组”，而且是一解到底，直到解出所设交点坐标，前后的“既设又解”，一样说法，两种风情，其中的区别与缘由，需要我们细细品味。五、高考真题（一）选择题（1）（2005·全国卷）已知双曲线（）的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.分析：抛物线的准线为∴对于双曲线有：①∴②16∴由①，②得：∴由②得于是：，应选D.（2）（2004·全国卷）设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A.B.[-2，2]C.[-1，1]D.[-4，4]分析：抛物线的准线方程为∴点Q坐标为（-2，0）由题意，设直线l的方程为代入得：①可知，k=0符合已知条件；②∴当时，由①得③∴由②，③得应选C.（3）（2005·上海卷）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A.有且只有一条B.有且只有两条C.有无穷多条D.不存在分析：抛物线的焦点F（1，0）.若直线轴，则A、B横坐标之和等于2，与题意不合，故AB不垂直于x轴，于是由抛物线关于x轴的对称性知，这样的直线有两条，故选B.（二）解答题1.（2005·全国卷）设两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线.（1）当且仅当取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；17（2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围.分析：从线段AB的垂直平分线的性质切入（1）直线l经过F又l为弦AB的垂线平分线，问题由此可以突破（2）以A、B关于直线l对称的条件突破难点。解：（1）抛物线∴焦点∵∴即，∵，∴，即当且仅当时，直线l经过抛物线的焦点F.（2）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程为