2014届中考数学第一轮夯实基础《第32讲 轴对称与中心对称》

第32讲┃轴对称与中心对称第32讲┃考点聚焦考点聚焦考点1轴对称与轴对称图形轴对称轴对称图形定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形____，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，叫对称点如果一个图形沿某一直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做____________，这条直线叫做它的对称轴．这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称区别轴对称是指________全等图形之间的相互位置关系轴对称图形是指具有特殊形状的________图形重合轴对称图形两个一个第32讲┃考点聚焦联系①如果把轴对称的两个图形看成一个整体(一个图形)，那么这个图形是轴对称图形；②如果把一个轴对称图形中对称的部分看成是两个图形，那么它们成轴对称轴对称的性质(1)对称点的连线被对称轴________(2)对应线段________(3)对应线段或延长线的交点在________上(4)成轴对称的两个图形________垂直平分相等对称轴全等第32讲┃考点聚焦考点2中心对称与中心对称图形中心对称中心对称图形定义把一个图形绕着某一点旋转________后，如果它能与另一个图形________，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，该点叫做________把一个图形绕着某一点旋转________，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么我们把这个图形叫中心对称图形，这个点叫做________区别中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系中心对称图形是指具有特殊形状的一个图形180°重合对称中心180°对称中心第32讲┃考点聚焦联系①如果把中心对称的两个图形看成一个整体(一个图形)，那么这个图形是中心对称图形；②如果把一个中心对称图形中对称的部分看成是两个图形，那么它们成中心对称中心对称的性质(1)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心________(2)成中心对称的两个图形________平分全等第32讲┃归类示例归类示例►类型之一轴对称图形与中心对称图形的概念命题角度：1.轴对称的定义，轴对称图形的判断；2.中心对称的定义，中心对称图形的判断．B例1[2013·丽水]在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是()A．①B．②C．③D．④图32－1第32讲┃归类示例[解析]如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．第32讲┃归类示例(1)把所要判断的图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形；(2)把所要判断的图形绕着某个点旋转180°后能与自身重合的图形是中心对称图形．►类型之二图形的折叠与轴对称命题角度：图形的折叠与轴对称的关系．第32讲┃归类示例[解析]∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠CEF＝70°，∠CEF＋∠EFD＝180°，∴∠EFD＝110°.由折叠可知∠EFD′＝∠EFD＝110°，故∠GFD′＝∠EFD′－∠GFE＝110°－70°＝40°.例2[2013·宿迁]如图32－2，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G.若∠CEF＝70°，则∠GFD′＝________°.图32－240矩形的折叠是几何中的轴对称变换，折叠后图形的形状与大小没有改变，这是解决本题的关键所在．另外，如何综合地利用所学知识进行解答，即利用矩形的性质、平行线的性质求相关的角的度数，也是正确解答的基础．第32讲┃归类示例►类型之三轴对称与中心对称有关的作图问题例3[2013·广州]如图32－3，⊙P的圆心P(－3，2)，半径为3，直线MN过点M(5，0)且平行于y轴，点N在点M的上方．(1)在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′，根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系；(2)若点N在(1)中的⊙P′上，求PN的长．第32讲┃归类示例命题角度：1.利用轴对称的性质作图；2.利用中心对称的性质作图；3.利用轴对称或中心对称的性质设计图案．第32讲┃归类示例图32－3第32讲┃归类示例[解析](1)根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等找出点P′的位置，然后以3为半径画圆即可；再根据直线与圆的位置关系解答；(2)设直线PP′与MN相交于点Q，在Rt△QP′N中，利用勾股定理求出QN的长度，在Rt△QPN中，利用勾股定理列式计算即可求出PN的长度．第32讲┃归类示例解：(1)作图如下．⊙P′与直线MN相交．(2)连接PP′并延长交MN于点Q，连接PN、P′N，由题意可知：在Rt△P′QN中，P′Q＝2，P′N＝3，由勾股定理可求出QN＝5.在Rt△PQN中，PQ＝3＋5＝8，QN＝5，由勾股定理可求出PN＝82＋（5）2＝69.此类作图问题的关键是根据轴对称与中心对称坐标特征求出对称点的坐标．第32讲┃归类示例第32讲┃回归教材“输气管线路最短”问题的拓展创新回归教材如图32－4，点A、B在直线l同侧，点B′是点B关于l的对称点，AB′交l于点P.(1)AB′与PA＋PB相等吗？为什么？(2)在l上再取一点Q，并连接AQ和QB，比较AQ＋QB与AP＋PB的大小，并说明理由．图32－4第32讲┃回归教材解：(1)AB′＝AP＋PB.因为点B′是点B关于l的对称点，所以PB′＝PB.所以AB′＝AP＋PB′＝AP＋PB.(2)AQ＋QBAP＋PB.如图32－5，连接QB′.AQ＋QB＝AQ＋QB′，在△AQB′中，AQ＋QB′AB′，由(1)，AB′＝AP＋PB，从而AQ＋QBAP＋PB.图32－5第32讲┃回归教材中考变式[2013淮安](1)观察发现如图32－5，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP＋BP的值最小．作法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P；再如图32－6，在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP＋PE的值最小．作法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP＋PE的最小值为________3第32讲┃回归教材(2)实践运用如题图32－7，已知⊙O的直径CD为4，AD的度数为60°，点B是AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP＋AP的值最小，并求BP＋AP的最小值；(1)观察发现图32－5图32－6图32－7图32－8第32讲┃回归教材(3)拓展延伸如图32－8，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB＝∠APD.保留作图痕迹，不必写出作法．第32讲┃回归教材(2)如图：作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接OA、OB、OE，连接AE交CD于一点P，连接PB，此时AP＋BP最小．因为AD的度数为60°，点B是AD的中点，所以∠AOB＝∠BOD＝30°.因为B关于CD的对称点为E，所以∠BOE＝60°，所以△OBE为等边三角形，所以∠BOE＝∠OEB＝60°.则∠AOE＝90°.又因为OA＝OE＝12CD＝2，所以△OAE为等腰直角三角形，所以AE＝22.即BP＋AP的最小值为22.第32讲┃回归教材(3)如图，找B关于AC的对称点E，连接DE并延长交AC于点P即可．