分析力学基础(一)

分析力学基础（一）华中科技大学CAD中心华中科技大学CAD中心张云清2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析分析力学基础（一）分析力学基础（）概一．经典力学概论二．分析力学的基本概念三．虚位移原理、达朗伯原理四动力学方程的三种形式四．动力学方程的三种形式五．分析力学的变分原理2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析经典力学概论经典力学概论•经典力学的研究对象是速度远小于光速的宏观物典力学研象于体的机械运动；•牛顿力学牛力学•拉格朗日力学•变分原理变原•哈密尔顿力学•分析力学（拉格朗日力学和哈密尔顿力学）析力学（格力学和密尔力学）•运动稳定性•刚体动力学学•多体系统动力学是经典力学的在现代工程需求下的进一步发展2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析牛顿力学•1687年牛顿（Newton）《自然哲学的数学原理》出版-------〉牛顿力学；牛力学；•牛顿贡献--发现了制约物质宏观机械运动的普遍规律：–万有引力定律–动力学基本规律–研究这些规律的方法—微积分力学的概念速度加速度力力矢量牛力学矢量–力学的概念—速度、加速度、力、力矩-----矢量------〉牛顿力学----矢量力学；–牛顿力学----天体运动的观测资料归纳产生的力学理论，研究对象是不受牛顿力学天体运动的观测资料归纳产生的力学理论，研究对象是不受约束的自由质点；•1743年，法国的达朗贝尔（D’Alembert）--D’Alembert原理；•1755年、1765年，瑞士的欧拉（Euler）将牛顿定律推广到刚体和理想流体，矢量力学------Newton－Euler力学；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析拉格朗日力学•18世纪，机器产生，为受约束机械系统的运动分析，约束作用可以归结为力的作用，未知约束力（未知变量）的增多，用归为力作用，未约束力（未变）增多，矢量力学处理不便；•1788年拉格朗日（Lagrange）----《分析力学》（1755年，拉格朗日19岁写出）；•以虚位移原理、达朗贝尔原理为基础，引入标量形式的广义建坐标、能量、和功等物理量，采用纯分析方法使力学建立在统一的数学基础上--------产生了拉格朗日力学----分析力学-避免了约束力；避免了约束力；•拉格朗日没有认识到非完整系统的存在；•1894年赫兹（Hertz）将约束系统分为完整系统与非•1894年，赫兹（Hertz）-----将约束系统分为完整系统与非完整系统；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析变分原理变分原理牛学朗学变•与牛顿力学及拉格朗日力学不同，变分原理则从另一种方式解释物质的机械运动规律，变分原理是将真实发生的能发生的并能将发生的运动与可能发生的一点加以比较，并提供能将真实运动从可能运动中甄别出来的准则，变分原理分为变变为微分型变分原理、积分型变分原理；•微分型变分原理―――1829年高斯（Gauss）原理为代表；•积分型变分原理―――1834年哈密尔顿（Hamilton）积分型变分原理年哈密尔顿（）原理为代表；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析哈密尔顿力学与分析力学将哈密尔原由导出的哈密尔则方称为哈密•将哈密尔顿原理以及由此导出的哈密尔顿正则方程称为哈密尔顿力学；分析力学包含拉格朗日力学和哈密尔顿力学•分析力学包含拉格朗日力学和哈密尔顿力学•拉格朗日力学和哈密尔顿力学是分析力学的两个组成部分；不仅适用于离散机械系统而且也适用于更广泛的领域：不仅适用于离散机械系统，而且也适用于更广泛的领域：–连续介质力系统、–机电耦合系统、机电耦合系统、–控制系统和微观物质系统•对量子力学和统计力学的发展也起到了推动作用，是经典力学向现代物理学过渡的桥梁；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析运动稳定性矢量力学或分析力学方法建立运动微分方程必须对微分方程积分求解才能•矢量力学或分析力学方法建立运动微分方程，必须对微分方程积分求解才能确定机械系统的运动规律。分析力学的优点之一是有可能在一些特殊情况下直接提供方程的初积分。但在一般情况下，寻求微分方程的解析积分在数学上存在困难虽然计算机的发展使微分方程的数值积分变得轻而易举但在上存在困难，虽然计算机的发展使微分方程的数值积分变得轻而易举，但在工程实践中需要了解机械运动的定性性质，如判断某特定运动的稳定性问题。对运动工程的定性研究形成了运动稳定性理论。1788年拉格朗日就已提出平衡稳定性的般定理并由狄里克雷（Diihlt•1788年拉格朗日就已提出平衡稳定性的一般定理，并由狄里克雷（Dirichlet）于1846年给出证明；•1892年李雅普诺夫（Lyapunov）对稳定性给出了严格数学定义，并提出了讨论稳定性的直接方法及利用次近似方程判断稳定性的系列定理奠论稳定性的直接方法，以及利用一次近似方程判断稳定性的一系列定理，奠定了现代稳定性理论的基础；•一次近似稳定性理论是工程中使用最为广泛的稳定性理论，劳斯（Routh）-赫尔维茨（Hurwitz）判据和开尔文（Kelvin）－泰特（Tait）－切塔耶夫（Chetayev）定理(简称开尔文定理)是判断线性系统稳定性的有效工具。2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析刚体动力学典学的发展中体动学据重地•经典力学的发展中刚体动力学占据了重要地位。•刚体的一般运动--分解为质心的运动和相对质心的转动，刚体绕定点或质心的转动是刚体动力学的主要内容绕定点或质心的转动是刚体动力学的主要内容。•1758年，欧拉（Euler）建立了刚体定点运动的动力学方程；寻求刚体定点运动微分方程解积分问题曾成为经典力学中延•寻求刚体定点运动微分方程解积分问题曾成为经典力学中延续百年之久的重大课题；•在欧拉拉格朗日柯瓦列夫斯卡雅（Kovalyevskaya）三种•在欧拉、拉格朗日、柯瓦列夫斯卡雅（Kovalyevskaya）三种可积分情形中欧拉、拉格朗日情形的研究成果仍是陀螺仪和航天器姿态运动的理论基础。航天器姿态运动的理论基础。2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析多体系统动力学----是经典力学的在现代工程需求下的进一步发展•虽然经典力学在19世纪已形成完美的科学体系，但经典力学仍在发展，大型空间站、机器人、高速车辆等现代复杂机械系统的出现，要求分析有多个刚体组成的多体系统。典学各建意机械•虽然经典力学提供的各种方法原则上可以建立任意的机械系统的数学模型，但由于系统内刚体数目和自由度的增加刚体间约束关系的复杂化传统的数学推导过程变得极，刚体间约束关系的复杂化，传统的数学推导过程变得极其繁琐。•现代计算技术的发展要求数学模型的建立过程――――》现代计算技术的发展要求数学模型的建立过程》程式化、计算机化；•1960年后，发展了多种多体系统数学模型的建模方法，形年后，发展了多种多体系统数学模型的建模方法，形成新的学科分支――多体系统动力学。2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析分析力学的基本概念分析力学的基本概念•约束及其分类•广义坐标、广义速度、广义加速度广义坐标、广义速度、广义加速度•准速度、准坐标、准加速度•位形空间、状态空间、相空间•虚位移虚位移•理想约束•微分运算与变分运算的交换关系2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析约束及其分类约束及其分类•力学中三种理想模型：质点、质点系、刚体•质点：只有质量，没有大小•质点系：若干质点组成的，有内在联系的集合体种特殊的质系意离变•刚体：一种特殊的质点系，任意两点距离不变•分析力学研究质点系相对某个惯性坐标系的运动。•质点系各质点在空间的位置的有序集合决定了该质点的位置和形状质点系各质点在空间的位置的有序集合决定了该质点的位置和形状，称为该质点系的位形。•自由质点、自由质点系•非自由质点：在空间的位置和运动受到限制某些限制；•非自由质点系•分析力学是运用纯数学分析的方法研究质点系的机械运动•分析力学是运用纯数学分析的方法研究质点系的机械运动。•约束：在系统点的位置和速度上，事先预加的几何的或者运动学特性的限制，我们把这些限制称为约束。2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析约束及其分类约束及其分类•约束方程•非自由质点系在空间位置以及在运动中受非自由质点系在空间位置以及在运动中受到的限制称为约束，用数学方程表述各质点所受的限制条件称为约束方程点所受的限制条件称为约束方程。•例如：两个质点在半径为R的球面上运动，且两质点间的距离为L保持不变；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析约束及其分类约束及其分类•完整约束与非完整约束•N个质点组成的力学系统，质点的直角坐标为速度为速度为•几何约束：用点的直角坐标和时间表达的非微分方程，表示的约束。•几何约束的一般形式为：•几何约束的一般形式为：•微分约束：用点的直角坐标为速度为和时间表达的约束。•微分约束的一般形式为：•微分约束的一般形式为：2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析约束及其分类完整约束几何约束和可积分的微分约束称为•完整约束：几何约束和可积分的微分约束称为完整约束；•非完整约束：不可积分的微分约束称为非完整约束；约束；•非完整系统：带有非完整约束的系统称为非完整系统；•线性非完整约束：不可积的微分约束中对速度线性非完整约束：不可积的微分约束中对速度速度是线性的称为线性非完整约束，否则为非线性非完整约束；则为非线性非完整约束；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析约束及其分类•线性非完整约束的一般形式：其中系数是坐其中系数是坐标和时间的函数；•仅具有完整约束的完整系统与具有非完整约束的非完整系统运动性质和研究方法有很大的区的非完整系统运动性质和研究方法有很大的区别，非完整系统比完整系统复杂得多。定常约束如果时间显含约束方程称为•定常约束：如果时间不显含于约束方程，称为定常约束；否则为非定常约束；•双面约束：用等式表示的约束；用不等式表示的约束为单面约束；的约束为单面约束；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析广义坐标广义速度广义加速度广义坐标、广义速度、广义加速度•广义坐标：凡是能够确定系统位置的，适当选取的变量叫广义坐标取的变量叫广义坐标；•当所研究的系统加上约束时，从直角坐标过渡当所研究的系统加上约束时，从直角坐标过渡到广义坐标是特别方便，假设系统有N个质点受d个完整约束可以选n＝3N－d个广义，受d个完整约束，可以选n＝3Nd个广义坐标，系统所有点的直角坐标可用广义坐标和时间t来表达坐标和时间t来表达，定常约束则为•定常约束则为：2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析广义坐标广义速度广义加速度广义坐标、广义速度、广义加速度•广义速度：广义坐标对时间的导数称为广义速度；；•系统中点的速度矢量：2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析广义坐标广义速度广义加速度广义坐标、广义速度、广义加速度重要关系式2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析广义坐标广义速度广义加速度广义坐标、广义速度、广义加速度•广义加速度：广义坐标对时间的二次导数，称为广义加速度；•系统中点的加速度矢量：2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析广义坐标广义速度广义加速度广义坐标、广义速度、广义加速度•非完整约束在广义坐标、广义速度下的表达2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析广义坐标广义速度广义加速度广义坐标、广义速度、广义加速度•非完整约束在广义坐标、广义速度下的表达2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析准速度准坐标准加速度准速度、准坐标、准加速度概非常•在力学系统中引进准坐标的概念和记号非常重要，尤其是非完整力学系统。准坐标的引，学准进与准速度密切相关，准坐标优越广义坐标准速度比广义速度更一般。在准速度准坐，准速度比广义速度更般。在准速度准坐标下，非完整约束写起来非常简单，而且力学系统的运动微分方程具有单结构不依学系统的运动微分方程具有单一结构，不依赖于完整与非完整。2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析准速度准坐标准加速度准速