复变函数的总结

复变函数总结1复数2区域3复数的表示1.2.1复数的几何表示Proxyxy图1.10xy图1.202πk复数的指数表示定义1.2.6复数的指数表示利用欧拉(Euler)公式icosisine(1.2.13)可以把任意非零复数icosisinzxyr表示为指数形式izre(1.2.14)复数的乘幂与方根(cossin)nnnzzzzzrnin2πi2π2π[cos()isin()],(0,1,2,,1)knnnkkkrernnknw区域邻域的去心称为点集邻域的去心0000:zzzzz简单闭曲线简单非简单如果简单曲线的起点和终点重合，则称为简单闭曲线．单连通与多连通lllABABABllll图1.6(a)（b）(c)复变函数)(zf等价两个二元实函数),(),(yxvvyxuu2z考察函数即xyiyxiyxivu2)(222因此2z对应22yxuxyv2极限和连续性定义：内有定义00zz0zzAzf)(记作Azfzz)(lim0定义：如果则称在处连续．如果在区域内每一点处处连续，则说在内连续)()(lim00zfzfzz)(zf0z)(zfD)(zfD函数可导复变函数的导数与微分.1)()(zfzzfw.)(00处的导数在极限值为时的极限存在，则称此当若zzfzzw．函数解析()()fzDfzD定义：如果函数在区域内内处处可导，则在区域内解析.)()(00奇点的为不解析，则称在如果zfzzzf函数解析的充要条件()(,)(,)(,),(,)fzuxyivxyDuxyvxyD函数在其定义域内解析在柯内西可微—黎，并且满足曼方程：,uvuvxyyxyvyuixvixuzf1)('而且调和函数若函数f(z)=u+iv在区域B上解析，则u,v均为B上的调和函数。22222222,,0!0(uvuvxyyxuvuvxxxyyyyxuuvvxyxy同理）初等解析函数1.幂函数、多项式函数与有理函数12012000(0,1,2,);'()()()nnnnnknnkknkkkmlllwznznzwPzaazazazazazPzwQzaz多项式函数在整个复平面内解析，有理函数在除掉()Qz的零点以外的整个复平面上解析．2.指数函数zwe在整个复平面上解析。并且：'zzee3.三角函数sin,cos22sin'cos,cos'sinizizizizeeeezzizzzz22121212121212(1)sin()sin,cos()cos(2)sincos1(3)sin()sincoscossin((6)4)cos()coscossinsin(sin5)sin(2)sin,cos(,co2)coss1zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzcanbegreaterthansincostan,cot,cossin11sec,csc,cossinzzzzzzzzzz4.双曲函数sinh,cosh,22sinhcoshtanh,coth,coshsinh11sech,csch.coshsinhzzzzeeeezzzzzzzzzzzz22coshsinh1zz恒等式：函数的积分１.积分的定义：xy0za1kzkzknzb图3.1111()()()nnkkkknkkksfzzfznkkknczfdzzf10)(lim)(rzznnnizzdz00002)(10柯西－古萨基本定理如果函数在单连通区域内处处解析．那么函数沿内任何一条封闭曲线的积分为零)(zfD)(zfDC柯西－古萨基本定理：cdzzf0)(推广:解析函数的积分围线收缩过程中不碰到起点,则积分值不变!柯西积分公式如果在有界区域D内处处解析，L为D内的任何一条正向简单闭曲线，且其内部全含于D,为L内的任一点，那么()fz0z001()()d2πiLfzfzzzz1!,1,2,2nnlfnfzdniz复数项级数0120kkk其中通项为：.kkkwuiv部分和：0nnkkSw绝对收敛定义如果复数项级数0kkw各项的模组成的正项级数0kkw收敛,则称复项级数0kkw绝对收敛。绝对收敛级数的判别方法1、D’Alembert（比值）判别法考察复数项级数0kkw，如果1limkkkwlw,则当1l时，级数绝对收敛；当1l时，级数发散；当1l，级数的敛散性需要进一步检验。2、Gauss判别法对于0kkw,若有111kkwOwkk,其中1且为复数。则当Reμ1时级数绝对收敛；当Reμ1时级数发散。一致收敛定义如果对于任意给定的0，存在一个与z无关的自然数N，使得对于区域B内(或曲线L上)的一切z均有:当nN时，1|()|npkknfz(p为任意正整数)则称级数0()nnfz在B内(或曲线L上)一致收敛。幂级数定义各项均为幂函数的复变函数项级数：称为以b为展开中心的幂级数。其中ka为复常数。20120()()()kkkazbaazbazb幂级数的收敛圆及其收敛半径对于幂级数0()kkkkazb，必定存在一以b为圆心，R为半径的圆，在圆内该级数绝对收敛（而且在较小的圆内一致收敛），而在圆外发散。这个圆称为该幂级数的收敛圆，R称为它的收敛半径。确定幂级数的收敛半径可以利用正项级数的比值判别法来确定幂级数的收敛半径：因为11limlimkkkkkkfazbfa，所以有：11lim1kkkazba，　级数收敛；　，　级数发散。k1limkkRa根式判别法：易得幂级数的收敛半径为：1limkkkaRa解析函数的泰勒展开泰勒定理设()fz在区域B内解析，则在B内任一点b的邻域zbR(包含于区域B内)，()fz可以唯一展开为幂级数：0()kkkfzazb。该级数称为泰勒级数，展开系数称为泰勒系数，且()11()2!nnnCffbadinb几个重要的Maclaurin级数201212240212135020111,!2!!(1)11(1)cos1,(2)!2!4!(2)!(1)11(1)sin,(21)!3!5!(21)!11,11nznnnnnnnnnnnnnnnzezzzznnzzzzzznnzzzzzzznnzzzzzzLaurent展开定理设函数()fz在圆环域102RzzR内解析，则在此圆环内()fz可以展开成Laurent级数0()()nnnfzczz系数项101()d(0,1,2,)2πi()nnCfcnz其中C为圆周0,zzrR。环形区域内的解析函数:Laurent级数设zb是单值函数()fz的一个孤立奇点,则一定存在一个环域0zbR,()fz在该环域内可以展开成Laurent级数()kkkfzCzb。这时可能出现三种情况：1、级数不含负幂项，b称为可去奇点。2、级数展开式含有m项负幂项，b称为m阶极点。3、级数含有无穷多项负幂项，b称为本性奇点。0001021020100100()()()()()()()()()kkkkkkkkknnnnfzazzazzazzazzazzazzaazzazz011Res()()d2πiCfzfzza留数定理设函数()fz在区域B内除有限个孤立奇点12,,,nzzz外处处解析，L为区域内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，则1()d2πiRes()nkLkfzzfz.留数定理用留数定理计算实积分在自然科学中常常需要计算一些实积分，特别是计算一些在无穷区间上的积分．例如，光学问题中需要计算菲涅耳积分2200cos()d,sin()dxxxx；热传导问题中需要计算0cos()daxebxx；阻尼振动问题中需要计算积分0sindxxx等．我们在高等数学中已经知道这些实变函数的积分需要特殊的技巧才能计算，有的很难，甚至不能计算．原因在于被积函数往往不能用初等函数的有限形式表示，因而就不能用牛顿——莱布尼兹公式计算．可是通过本节的学习我们会发现，这些实积分可以转化为复变函数的环路积分（注意到当积分路径沿实轴时，zx即对应于实积分），再利用留数定理，则积分显得方便易求．1、20(cos,sin)dR型积分这是一个实变量的积分，要用留数计算，可按上面步骤进行讨论．定理设()(cos,sin)fzR为cos,sin的有理函数，且在[0,2]上连续，则201(cos,sin)d2πiRes[(),]nkkRfzz．其中111()(,)i22izzzzfzRz，(1,2,,)kzkn为单位圆:1Cz内部的n个孤立奇点．2、()d()PxxQx型积分定理4.6.2设()()()PzfzQz为有理函数，其中(),()PzQz为互质多项式，并且（1）分母()Qz的次数至少比()Pz的次数高两次；（2）()Qz在实轴上没有零点；则有Im0()()d2πiRes,()()kkzPxPzxzQxQz特别地，若对应实函数()()()PxfxQx为偶函数，则0Im0()dπiRes[(),]kkzfxxfzz3、i()d(0)axfxexa型积分设()fx为有理分式函数,分母的次数至少比分子的次数高一次，且分母在实轴上没有零点.为了给出这类积分的计算方法，我们先介绍一个约当引理（证明略）：约当引理设C为zR的上半圆周，函数()fz在C上连续且lim()0zfz，则ilim()d0(0)azCzRfzeza•复形式的Fourier级数基本函数族nxlnie函数f(x)的Fourier展开式nxlninecxf~lllnindeflc1•复形式的Fourier积分与Fourier变换deFxfxi)()(defFi)(21)(其中复形式的Fourier积分定理•Fourier变换的性质性质2（积分性质）F1()()xfxdxFi性质4（延迟性质）F0()()ixfxxeF1()faxFaa0()()ixefxF性质6（卷积性质）F1212()()2()()fxfxFF性质1（导数性质）F()()fxiF性质3（相似性质）F性质5（位移性质）F-函数的定义0,0(),()1,0xxxdxx且或0,00,0(),(),01,0baxabxxdxxab且称这样的函数为-函数，记为(x)和(x-x0)更一般地00000,0,(,)(),(),1,(,)baxxxabxxdxxxxab且•-函数的性质性质1：对于连续