2017数学建模A题

1CT系统参数标定及成像摘要本文根据CT系统的成像和获取物体信息的问题，使用主成分分析、解释结构模型、滤波反投影等方法，综合分析了CT系统的参数标定与其成像原理，分别构建了ISM解释结构模型、直接反射投影模型。然后使用Excel、MATLAB等软件整理数据和编写程序，详细的阐明了CT系统对未知结构体进行扫描成像的理论，并且根据其扫描数据反推出未知物体的基本信息，充分证明了所设计方案的合理性和可操作性。针对问题一的要求，本文首先以CT系统基本指标、旋转方式以及附件一、二所给出的数据进行CT系统的位置及具体指标进行确认，其中，运用Excel工具对附件一、二进行数据处理进行辅助计算和判断。在此基础上建立主成分分析模型对各项指标进行主成分分析，确定其中特殊位置（吸收率最大和最小）的数值模块进而得出CT系统在正方形托盘中的位置，激光束单元之间的距离0.2857mm，以及CT系统旋转180次所转过的角度为180°。针对问题二、三的要求，为了了解未知介质的位置、几何形状、吸收率。我们可以运用直接反射投影法，建立直接反射投影模型，即利用MALAB工具对Excel表格数据进行导入，编写反投影对应的程序，得出其几何图形。并且结合问题一中的CT系统基本信息，我们通过衰变公式结合附件三、五的吸收率数据推出其在托盘中的位置，通过未知物体的位置从而给出10个规定位置的点的吸收率为：附件三0.18170.21530.24100.42540.30500.35220.39110.28730.25520.3757附件五0.29210.33960.37350.66880.47650.66240.72540.41170.35770.4699针对问题四的要求，问题一中CT系统的精度和稳定性存在缺陷，在探测器上512个等距单元之间存在一定的距离，此等距单元间距会存在一定的误差，并且我们在对附件二的数据进行图表分析的时候发现其折线图存在着突变，即得出其稳定性和精度存在一定的缺陷，我们针对已有的问题，建立新的优化模型加以改进即垂直X轴为初始位置，以（50,50）为旋转中心进行断层扫描。本文给出了此CT系统在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获得样品内部的结构信息的特点。并通过对几个未知样品的分析来验证此CT系统的功能和作用。且在后续的论述中我们对此CT系统的不足进行了改进和更新，解决了此CT系统在标定精度和稳定性的缺陷，使得此系统更加的完善。关键字：断层成像；吸收率；直接反射投影；PCA；Excel；MATLAB2§1问题的重述一、背景知识1.背景的介绍随着医疗和工业的发展，CT技术在我们的生活中日益推广，在疾病更加复杂，设计更加深奥的情况下，人们的探索也越来越深刻，于是随之而诞生的一项新技术------CT成像诞生了，随着许多年来人们对CT成像的不断探索，我们所掌握的技术也越来越高级，对于许多未知的事物探索也越来越广泛，于是这项技术被应用于各个邻域，尤为显得突出的是医学领域和工业领域。在医学领域中，对病人全身的身体状况进行探索，对各种人眼难以判断和简单仪器难以探测的部位可以采用CT新型技术对此进行处理；在工业中，我们通过CT技术对一些位置物体的内部情况或者在不破坏其结构的情况下，对其进行断层成像，便于人们的技术研究。2.问题的产生在工业中，我们对一个未知物体进行CT扫描处理，会得到许多的数据信息，在这个数据信息分析的同时，我们要确定此未知物体的几何形状介质分布情况以及许多未知的信息。在许多CT系统中，大多数CT系统均采用的是光线穿透法，通过穿透率强的几种光线来对物体内部的结构进行判定，于是我们需要根据对许多组数据的处理和计算才能得出物体的基本信息。3.已有的对策我们通过查阅资料和阅读文献可以知道，在CT系统断层成像的过程中，我们可以认为的控制其扫描位置以及其扫描角度，并且对扫描过程中的能量吸收率有一个具体的数值计算。我们可以根据CT探测器的基本已知指标和所测得的数据进行统计分析即可得出结论，接下来进行具体分析。二、题目重述CT可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息。一种典型的二维CT系统如图1所示，平行射入的X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元看成一个接收点，且等距排列。X射线的发射器和探测器相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次。对每一个X射线方向，在具有512个等距单元的探测器上测量3经位置固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经过增益等处理后得到180组接收信息。三、待解决的问题1.在正方形托盘上放置两个均匀固体介质组成的标定模板，模板的几何信息如图2所示，相应的数据见附件1，其中每一点的数值反映了该点的吸收强度，这里称为“吸收率”。对应于该模板的接收信息见附件2。请根据这一模板及其接收信息，确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向。2.附件3是利用上述CT系统得到的某位置介质的接收信息。利用（1）中得到的标定参数，确定该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息。另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率，相应的数据文件见附录4.3.附件5是利用上述CT系统得到的另一个未知介质的接收信息。利用（1）中得到的标定参数，给出该未知介质的相关信息。另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率。4.分析（1）中参数标定的精度和稳定性。在此基础上自行设计新的模板、建立对应的标定模型，以改进标定精度和稳定性，并说明理由。图1.CT系统示意图图2.模板示意图（单位：mm）图3.10个位置示意图4§2问题的分析一、问题的总分析表一二、对问题的具体分析1.对问题一的分析本题要求我们确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向。我们从探测器单元距离入手，通过Excel数据分析得到图二右边物体的小球直径和光线射数的比值即为单元距离。从而通过单元距离判定吸收率最大处的射入光线的编号从而找到其入射的180个角度，在进而计算出其在托盘中的位置。2.对问题二、三的分析两题要求我们根据问题一所得的CT系统的具体参数从而对放在正方形托盘上的未知物体的位置、几何形状、吸收率进行求解，并且还要给出规定的10处位置的吸收率。我们需根据问题一求出其能量变化方程，通过直接反射投影法用MATLAB导入Excel的数据从而得出物体的几何图形，通过几何图形和附录中的数据位置和值的大小通过求得的方程进行推导出物体的位置和其吸收率，以及给出的10个点的吸收率。3.针对问题四的分析CT系统参考系数标定及成像问题一问题二得出能量吸收方程MATLAB得出图形形状，通过方程得出位置、吸收率对探测器单元距离进行谈探测通过单元距离算出其他数值问题三从精度和稳定性确定改进方案进行多层阶分析5我们考虑到在此给出的CT系统条件下，其对未知物体探索的过程中，会导致物体精度和稳定性出现偏差和波动，于是我们通过多层阶分析得出物体具体的参数指标，然后我们在此分析基础上对其进行修改建立一个新的模型。§3模型的假设1.假设我们收集整理的数据都是真实有效的。2.假设除我们选取的因数外，其余影响因数的影响效果可以忽略不计。3.假设物体不掺杂其他介质。4.假设有条件支持我们构建新的CT模型。§4名词解释和符号说明直接反射投影：断层平面中的某一点的密度值可以看做是这一平面内所有经过该点的射线的投影值之和。PCA：主成分分析。通过正交变换将一组可能存在相关性的变量转换为一组线性不相关的变量，转换后的这组变量叫主成分。符号字母解释说明（𝑿𝒏，𝒀𝒏）点对应的位置坐标𝒅探测器单元距离𝒅探探测器的总长∆𝒅两射线之间的距离𝑵𝟎初始衰变的原子核数N剩余衰变原子核的总数K衰变常数t时间𝑰射出射线强度𝑰𝟎入射射线强度表二6§5模型建立与求解一、对问题一的分析与求解1.对问题一的分析考虑到附件所给信息数据过多，于是我们通过对附件一和二数据进行筛选，在Excel中将空吸收率即“吸收率”为0的数据全部用空格来替换掉，再对整体视图进行缩小，即可大致看出其几何图形和扫描成像。根据题目要求，我们需要确定CT系统旋转中心、探测器单元之间的距离以及X射线的180个方向。对比三个提问，我们可根据缩小视图大致推断出其为中心旋转半周的工作期，并且在工作期中，每一次都有单元射线入射进两个物体，于是我们可运用主成分分析法对吸收强度最大和最小的情况进行分析即可得出两探测器之间的单元距离，随后利用逆推法得出其初始值，并计算出旋转中心。2.对问题的求解1）模型的建立我们根据题目所给要求，确立所需求得的变量，𝐶𝑇系统旋转中心（𝑋0，𝑌0），探测器单元之间的距离𝑑，𝑋射线的180个方向𝑛（1,2,3……180）。第一步：我们首先对探测器单元之间的距离进行求解。根据缩小视图进行分析可知，在旋转过程中均有射线射过右侧图形，并且每次射入的光束数量大致相等，结合附件一视图，可以推论出其为圆形，且每一个角度光束均穿过其直径。可得如下公式：𝑑=小球直径入射光线的数量−1第二步：我们确定了𝑑值以后可以通过图2所给距离长度推出在最大值时探测器的对应旋转次数，从而通过顺时针旋转此次数即为初始位置，即可得出180组方向。第三步：通过前两步确定的值算出探测器长度和相对正方形托盘的位置以吸收率最大的光束对应的光束编号来推测中间光束的位置，然后顺时针旋转90°，两条中心光束的交点即为旋转中心。2）模型的求解先对附件一和附件二进行“吸收率”为0的值得替换处理，并进行视图放缩，可以得到如下两组视图：7图4图5通过图分析可知，其左侧图形大致为椭圆形图形，于是可以实行模型建立中第一步求间距𝑑，在对图分析值，其代表右侧图形的视图显示，经过其内部的射线条数大致为固定值，我们进行数据分析得射线个数为众数𝑎=29而由图2知，小球直径为8𝑚𝑚。所以可得：𝑑=828=27𝑚𝑚由此可以继续讨论第二步证明我们通过Excel进行分析，找出吸收率最大的值，确定其位置为（𝐸𝑆，222），可知在最大吸收率处，旋转ES次后第222个单元射线射入椭圆长轴，即此时探测器接收板与正方形托盘下侧平行，即为S处。我们将ES转换为数字得𝐸𝑆=149即𝐶𝑇系统逆时针旋转149次到达了𝑆处，我们通过数据转置大致得到下图8图6图7可以看出此为对称图形，即可以得到此CT系统大致旋转了180°，即每一次大约旋转1°，即初始位置如图，第222条射线在左上角与椭圆形短轴左侧成60°角处，即可确定180次旋转角度为从初始位置开始，逆时针以每一度开始旋转180次。我们再来探讨第三步，已知探测器由512个等距单元，可以求得探测器的长度：𝑑探=512∗𝑑=146.3𝑚𝑚𝑑探100𝑚𝑚9所以可知探测器必定超出正方形木板边缘，我们找到探测器板正中间射线编号为512/2+1=257Δd=(257-222)*27=10mm经过顺时针旋转90°可以得到探测板与正方形木板左侧平行位置，此时257编号距托盘上侧距离为40mm，我们以椭圆中心为原点建立直角坐标系，可以得到中心旋转的位置为（-10,10）处。图8二、对问题二，三的求解1.对问题二、三的分析我们对问题二、三进行分析，两个提问大体上都要我们通过第一问求出来的CT系统的已知位置和基本标量对两个未知物体进行扫描判断出其几何形状，托盘中所处的位置以及其吸收率。并且也额外给出10个已知坐标的点求这些点的吸收率。通过对问题的对比，我们大致可以看出在图形的生成和内部结构上存在较大的差异。接下来进行问题的求解。2.对问题二、三的求解1）模型的建立在问题一的基础上，我们已知CT系统的旋转方式和基本指标。通过其扫描此未知介质可以得到其断层信息，在附件三、五中显示的是此两个未知物体的接收信息数据，我们通过MATLAB软件导入此两组数据以repmat和flo