《机械优化设计》孙靖民哈尔滨工业大学课后答案

第四章第1题答案：当取初始点[]300=x时，[]11.156.02=x，。63.0)(2=xf第2题答案：取[]300=x时，[]57.197.02=x，。17.0)(2=xf第3题答案：[]112=x，。1)(2−=xf第4题答案：取[]110=x时，[]995.482251=x，。996.7)(2−=xf第5题答案：可参考表4-1。第五章第1题答案：[]Tx333.0004*=时，∑−==567.5)(*jjxcxf。第2题答案：[]42800842420*−==zxT，。第3题提示：求解方法可参考第四节中的应用实例。第4题提示：如果设分别以Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ五种下料方式所用钢材的件数，则此问题的数学模型是：求一组的值，满足下列限制条件54321xxxxx、、、、)5,,2,1(L=jxj⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=≥=+++=++=++)5,,2,1(01003231002210025321543421Ljxxxxxxxxxxxj使总的尾料54328.03.02.01.0xxxxz+++=达到最小。第六章第1题答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+176.1822.01kx第2题答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=945.54825.12Rx，。43.411−=Rf第3题答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=707.0707.0kd第4题答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=97.0243.00kd第5题答案：当时，，该问题的最优解为：。0→r32→x⎥⎦⎤⎢⎣⎡=31x第六章习题解答1．已知约束优化问题：02)(0)()1()2()(min21222112221≤−+=≤−=⋅−+−=xxxgxxxgtsxxxf试从第k次的迭代点出发，沿由（-11）区间的随机数0.562和-0.254所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点[]Tkx21)(−=)1(+kx。并作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。[解]1）确定本次迭代的随机方向：[]TTRS0.4120.9110.2540.5620.2540.2540.5620.5622222−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=2)用公式：计算新的迭代点。步长α取为搜索到约束边界上的最大步长。到第二个约束边界上的步长可取为2，则：RkkSxxα+=+)()1(176.1)412.0(22822.0911.0212212111=−×+=+==×+−=+=++RkkRkkSxxSxxαα⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+176.1822.01kX即：该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。2．已知约束优化问题：0)(0)(025)(124)(min231222211221≤−=≤−=≤−+=⋅−−=xxgxxgxxxgtsxxxf试以[][][]TTTxxx33,14,12030201===为复合形的初始顶点，用复合形法进行两次迭代计算。[解]1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点：[][][]935120101−=⇒==⇒=−=⇒=030302023314fxfxfx经判断，各顶点均为可行点，其中，为最坏点。为最好点，0203xx2）计算去掉最坏点后的复合形的中心点：02x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑≠=3325.2211321003312iiicxLx3）计算反射点（取反射系数1Rx3.1=α）20.693.30.551422.51.322.5)(1102001−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=−+=RRccRfxxxxx值为可行点，其目标函数经判断α4）去掉最坏点构成新的复合形，在新的复合形中1R0301xxxx和，，由02，进行新的一轮迭代。为最坏点为最好点，011Rxx5）计算新的复合形中，去掉最坏点后的中心点得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3.151.7753.30.5533211cx6）计算新一轮迭代的反射点得：，完成第二次迭代。值为可行点，其目标函数经判断413.145.9451.4825123.151.7751.33.151.775)(1201112−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=−+=RRccRfxxxxxα3．设已知在二维空间中的点[]Txxx21=，并已知该点的适时约束的梯度，目标函数的梯度[Tg11−−=∇][]Tf15.0−=∇，试用简化方法确定一个适用的可行方向。[解]按公式6-32计算适用的可行方向：)(kkkxfPxfPd∇∇−=/)(kx点的目标函数梯度为：[]Tkxf15.0)(−=∇kx点处起作用约束的梯度G为一个Jn⋅阶的矩阵，题中：n=2，J=1：[]TkxgG11)(1−−=∇=梯度投影矩阵P为：[][][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=−=−−5.05.05.05.0011111111100111TTGGGGIP则：适用可行方向为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=707.0707.010.50.50.50.50.510.50.50.50.50.5kd4．已知约束优化问题：000)(34)(min3322113)43(222121≤−=≤−=≤−=⋅−+−=xgxgxgtsxxxxxxf试求在点的梯度投影方向。[Tkx1/21/40=][解]按公式6-32计算适用的可行方向：)(kkkxfPxfPd∇∇−=/)(kx点的目标函数梯度为：[]Tkxf125.0125.0−−=∇)(kx点处起作用约束的梯度G为一个Jn⋅阶的矩阵，题中：n=3，J=1：[]TkxgG001)(1−=∇=梯度投影矩阵P为：[][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=−=−−10001000000100100100110001000111TTGGGGIP则：适用可行方向为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=97.0243.00125.0100010.250.1251000100000.12500100kd5．用内点法求下列问题的最优解：0312)(2112221≤−=⋅+−+=xgtsxxxxfmin（提示：可构造惩罚函数，然后用解析法求解。）[∑=−=21)(ln)(),(uuxgrxfrxφ][解]构造内点惩罚函数：[]∑=−−+−+=−=21)()(),(uuxrxxxxgrxfrx)3ln(12ln212221φ令惩罚函数对x的极值等于零：0)3/()(222221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−=xrxxdxdφ得：48366121rxx+±==舍去负根后，得483662rx++=当[]Txxr31302=→→该问题的最优解为，时，。6．用外点法求下列问题的最优解：00)(min12221121≤−=≤−=⋅+=xgxxgtsxxxf[解]将上述问题按规定写成如下的数学模型：subroutineffx(n,x,fx)dimensionx(n)fx=x(1)+x(2)endsubroutineggx(n,kg,x,gx)dimensionx(n),gx(kg)gx(1)=x(1)*x(1)-x(2)gx(2)=-x(1)endsubroutinehhx(n,kh,x,hx)domensionx(n),hx(kh)hx(1)=0.0end然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：==============PRIMARYDATA==============N=2KG=2KH=0X:.1000000E+01.2000000E+01FX:.3000000E+01GX:-.1000000E+01-.1000000E+01X:.1000000E+01.2000000E+01FX:.3000000E+01GX:-.1000000E+01-.1000000E+01PEN=.5000000E+01R=.1000000E+01C=.2000000E+00T0=.1000000E-01EPS1=.1000000E-05EPS2=.1000000E-05===============OPTIMUMSOLUTION==============IRC=21ITE=54ILI=117NPE=3759NFX=0NGR=0R=.1048577E-13PEN=.4229850E-06X:.9493056E-07.7203758E-07FX:.1669681E-06GX:-.7203757E-07-.9493056E-077．用混合惩罚函数法求下列问题的最优解：01)(0)()(2121112≤−+=≤−=⋅−=xxxhxxgtsxxxflnmin[解]将上述问题按规定写成如下的数学模型：subroutineffx(n,x,fx)dimensionx(n)fx=x(2)-x(1)endsubroutineggx(n,kg,x,gx)dimensionx(n),gx(kg)gx(1)=-log(x(1))]gx(2)=-x(1)gx(3)=-x(2)endsubroutinehhx(n,kh,x,hx)domensionx(n),hx(kh)hx(1)=x(1)+x(2)-1end然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：==============PRIMARYDATA==============N=2KG=3KH=1X:.2000000E+01.1000000E+01FX:-.1000000E+01GX:-.6931472E+00-.2000000E+01-.1000000E+01X:.2000000E+01.1000000E+01FX:-.1000000E+01GX:-.6931472E+00-.2000000E+01-.1000000E+01HX:.2000000E+01PEN=.5942695E+01R=.1000000E+01C=.4000000E+00T0=.1000000E-01EPS1=.1000000E-05EPS2=.1000000E-05===============OPTIMUMSOLUTION==============IRC=29ITE=143ILI=143NPE=1190NFX=0NGR=172R=.7205765E-11PEN=-.9999720E+00X:.1000006E+01.3777877E-05FX:-.1000012E+01GX:-.5960447E-05-.1000006E+01.6222123E-05HX:-.2616589E-068．有一汽门用弹簧，已知安装高度H1=50.8mm,安装（初始）载荷F1=272N，最大工作载荷F2=680N，工作行程h=10.16mm弹簧丝用油淬火的50CrVA钢丝，进行喷丸处理；工作温度126°C；要求弹簧中径为20mm≤D2≤50mm，弹簧总圈数4≤n1≤50，支承圈数n2=1.75，旋绕比C≥6；安全系数为1.2；设计一个具有重量最轻的结构方案。[解]1．设计变量：影响弹簧的重量的参数有弹簧钢丝直径：d，弹簧中径D1和弹簧总圈数n1，可取这三个参数作为设计变量：即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=HDxxx212．目标函数：弹簧的重量为ρπ12220.25nDdW=式中ρ――钢丝材料的容重，36/107.8mmkg−×=ρ目标函数的表达式为3221611262101925.0108.725.0)(xxxnDdxF−−×=××=π３．约束条件：１）弹簧的疲劳强度应满足minSS≥式中2.1minmin=−−SS，可取最小安全系数，按题意S――弹簧的疲劳安全系数，由下式计算：msssSττττττττα⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=0002式中：劳极限，计算方法如下弹簧实际的脉