数学物理方法试卷

2011—2012学年第1学期数学物理方法考试试题（A1）卷答案一、简答题（30分）1.计算下列数值：（1）ibasin；（2）1ln（6分）从略。2.证明极坐标系的科希-黎曼条件（C-R条件）；（6分）极坐标系：uvvu11，证明从略。3.分别写出Fourier变换和Laplace变换的表达式；（6分）Fourier变换：dtetfFti21（3分）Laplace变换：0dtetfpfpt（3分）4.简述一般非齐次定解问题tvutuxuxutxfuaulxxtttxxtt|;||;|,0002的处理过程（不需要求解）；（8分）令txwtxtxu,,,；txttvltx1,tvtalxxtttttxxtt|;||;|0002；0|;0|||;||,,000002lxxttttttttxxttwwxxwxxwtxftxfwawtx,为已知函数；（3分）令txwtxwtxwIII,,,0|;0||;|00002lxxtttxxttwwxwxwwaw0|;0|0|;0|,0002lxxtttxxtttxw,分离变量法求解；txw,冲量法或者Fourier级数法求解；（3分）5.请写出Laplace方程0u在球域内解的形式,,ru；（4分）0cossincos,,lllmmlllmlmPrmBmAru或者0,,,,,lllmmllmlYrCru二、请将函数2321zzzf在不同区域上作级数展开（1）1z；（2）21z；（3）2z；（15分）解：11213212zzzzzf（1）kkkzzzzf012111121121，1z（5分）（2）10121111121121kkkkkzzzzzzf，21z（5分）（3）kkkzzzzzzf111211112111，2z（5分）三、若t是周期T的周期性函数，试证明dtetepptTpT011；(10分)证明：dtetepptTpT011dteteedekTtdtetdtetpptTpTkpkTTpkTkkTptpt000010110Rep四、求一维半无界弦的横向自由振动问题tAuuuuauxtttxxttsin|0|;0|00002，其中,,Aa均为常数；（10分）解：将半无界问题拓展到全无界问题，非齐次边界转化为左半空间初始条件0|,0sin200|0002tttxxttuxaxAxxuuauaxtatAaxtatxatxtxusin021,五、长为l的细杆，初始温度均匀为0u，两端保持恒温，分别为21,uu，求杆上各点温度随时间的变化；（20分）解：定解问题210002|,||0uuuuuuuaulxxtxxt(1)齐次化边界条件：令wvu；112,uxluutxv21011202|,||0uvuvuxluuvvavlxxtxxt0|,0||00121002lxxtxxtwwxluuuuwwaw(2)求解txw,①分离变量：令tTxXwXXTaT20,000lXXXX；02TaT②本征值问题：222ln，0nZn且xlnBxXnnsin③通解：02222nnTalnTtlannneCtTxlneCtxwtlannnsin,1④定解：xluuuuxlnCwnnt121010sin|nnlnnuunuudxxlnxluuuulC12112sin2120101210(3)最终解：xlnenuunuuxluuutxwtxvtxutlannnnsin12112,,,11201121六、将52523xxf展开为勒让德多项式级数形式。参考公式：10xP；xxP1；132122xxP；xxxP352133；（15分）解：令3210DPCPBPAPxf则525232521232332xxDxDxCCxBxAxf525223023521DCDBCA2343313DCBA32102343313PPPPxf