2020年上海市春季高考数学试卷及答案

-1-2020年上海市春季高考数学试卷2020.01.04时间：120分钟；满分：150分钟一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1、集合{1,3}A，{1,2,}Ba，若AB，则a_______【答案】3【解析】3A,且AB3B，3a2、不等式13x的解集为________【答案】10,3【解析】13x130x130xx130xx310xx103x【考点】分式方程3、函数tan2yx的最小正周期为_________【答案】2【解析】2T4、已知复数z满足26izz，则z的实部为_________【答案】2【解析】设zabi，zabi，223zzabiabiabi，且26izz36a，1b2a，1b5、已知3sin22sinxx，(0,)x，则x_________【答案】【解析】3sin22sinxx32sincos2sinxxx3cos1x或sin0x1cos3x或sin0x，又(0,)x1arccos3x【考点】注意在计算过程中分类讨论6、若函数133xxya为偶函数，则a________【答案】1-2-【解析】133xxfxa，1+33xxfxa，且fx为偶函数，fxfx，1a7、已知直线1:1lxay，2:1laxy，若1l∥2l，则1l与2l的距离为_________【答案】2【解析】1l∥2l，11aa21a1a，当1a时，1l与2l重合；当1a时，1:10lxy,2:10lxy，1(1)22d8、已知二项式5(2)xx，则展开式中3x的系数为________【答案】10【解析】414355(2)()10TCxxx【考点】二项式定理：0111222111*nnnnrnrrnnnnnnnnnnabCaCabCabCabCabCbnN式中的rnrrnCab叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r项，用1rT表示，即1rnrrrnTCab9、三角形ABC中，D是BC中点，2AB，3BC，4AC，则ADABuuuruuur________【答案】【解析】如图22223431cos223124B，2ADABABBDABABBDABuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur311942cos43244B10、已知{3,2,1,0,1,2,3}A，a、bA，则||||ab的情况有_______种-3-【答案】18【解析】分类枚举，当3a时，0种；当2a时，2种；当1a时，4种；当0a时，6种；当1a时，4种；当2a时，2种；当3a时，0种；共有18种11、已知1A、2A、3A、4A、5A五个点，满足1120nnnnAAAAuuuuuuruuuuuuur（1,2,3n），112||||1nnnnAAAAnuuuuuuruuuuuuur（1,2,3n），则15||AAuuuur的最小值为__________【答案】63【解析】求15||AAuuuur的最小值，设1121212232230,0,;2,,0AAAtAAAAAAAAAt（）,uuuruuuruuuuruuuur，320At，；同理得4538,00,23tAAt；1512233445238=,00,,00,23tAAAAAAAAAAtttuuuuruuuuruuuuruuuuruuuur21522416,2234933ttAAtt，uuuur12、已知()1fxx，其反函数为1()fx，若1()()fxafxa有实数根，则a的取值范围为________【答案】3[,)4【解析】()yfxa，1()fxax；()1fxaxa；221,1,10xaxxaxxxa；3=1410,4aa.-4-二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13、计算：1135lim35nnnnn（）A.3B.53C.35D.5【答案】D【解析】1111335355limlim535315nnnnnnnn，分子分母同时除以15n，可以得到结果14、“”是“22sincos1”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】2222sincos1sincos1充分性成立；22sincos122sinsin推不出，必要性不成立15、已知椭圆2212xy，作垂直于x轴的垂线交椭圆于A、B两点，作垂直于y轴的垂线交椭圆于C、D两点，且ABCD，两垂线相交于点P，则点P的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.圆D.抛物线【答案】B【解析】设2222(,),2,2,1,1,122ccmmPmnmnyy；所以22222421222BcBxCDymnxn，；所以22222288,4288212BmABxnABCDmnn；-5-所以点P的轨迹是双曲线；16、数列{}na各项均为实数，对任意n*N满足3nnaa，且行列式123nnnnaacaa为定值，则下列选项中不可能的是（）A.11a，1cB.12a，2cC.11a，4cD.12a，0c【答案】B【解析】3nnaa；3T；14aa；312nnnnaaaac；当21231,naaac①；当22132,naaac②由①—②得12123-)0aaaaa（）(；12aa（舍去）或1230aaa即231-aaa；2231-aaca；所以23,aa是方程22110xaxac的解；222111=-4+4c=4c-30aaaV；经检验B是不可能的，所以选B三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17、已知四棱锥PABCD，底面ABCD为正方形，边长为3，PD⊥平面ABCD.（1）若5PC，求四棱锥PABCD的体积；（2）若直线AD与BP的夹角为60°，求PD的长.【答案】（1）12；（2）32；【解析】（1）PD平面ABCDPDDC，3CD，5PC，4PD2134123PABCDV，所以四棱锥PABCD的体积为12（2）因为ABCD为正方形，//ADBC，直线AD与BP的夹角即60PBC，-6-BCCD，BCPDBC平面PCD，BCPC，RtABC中，3BC，33PC，又RtPCD中，2232PDPCCD，PD的长为3218、已知各项均为正数的数列{}na，其前n项和为nS，11a.（1）若数列{}na为等差数列，1070S，求数列{}na的通项公式；（2）若数列{}na为等比数列，418a，求满足100nnSa时n的最小值.【答案】（1）4133nan，n*N；（2）112nna，即2101n，n的最小值为7【解析】（1）数列na为等差数列，设公差为d，10110910702Sad,11a，43d，141133naandn，即数列{}na的通项公式为4133nan，n*N（2）数列na为等比数列，11a，418a，318q，12q，112nna，即1111212nnnaqSq111100222nn，即2101n，7n，即n的最小值为719、有一条长为120米的步行道OA，A是垃圾投放点1，若以O为原点，OA为x轴正半轴建立直角坐标系，设点(,0)Bx，现要建设另一座垃圾投放点2(,0)t，函数()tfx表示与B点距离最近的垃圾投放点的距离.（1）若60t，求60(10)f、60(80)f、60(95)f的值，并写出60()fx的函数解析式；（2）若可以通过()tfx与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利.问：垃圾投放点2建在何处才能比建在中点时更加便利？【答案】（1）60(10)|6010|50f，60(80)|6080|20f，60(95)|12095|25f.60|60|90()|120|90xxfxxx；（2）2060t【解析】（1）投放点1120,0，260,0，6010f表示与(10,0)B距离最近的投放点的距离，6010601050f，同理有，60(80)|6080|20f，60(95)|12095|25f，由题意得，60min60,9060,120120,90xxfxxxxx-7-（2）由题意，min,120tfxtxx，60120,2120120,2ttxxfxtxx，1fx与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，2221312060360024Stttt，由题意，60SS，即2360360027004tt，解得：2060t，即垃圾投放点2建在20,0与60,0之间时，比建在中点时更便利20、已知抛物线2yx上的动点00(,)Mxy，过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线xt于A、B两点.（1）若点M纵坐标为2，求M与焦点的距离；（2）若1t，(1,1)P，(1,1)Q，求证：AByy为常数；（3）是否存在t，使得1AByy且PQyy为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）924MpMFx；（2）1AByy；（3）存在1t【解析】19(2,2),244MMF；设221(,),:1(1)1aMaalyxa；令11(1,)1axAa，；同理1(1,)1aBa，所以11111ABaayyaa为定值；设21(,),(,),(.)AtmBtMaam；联立222()mayaxatayx；所以2222()0mamaayyatata；所以22+,PMptatatmayyyamamama，-8-同理1Qtmaym，因为=PQPQyyyy为常数，令，即)(),()(1)tmatmamama（，22222()(1)matmtatmmamam；所以222(1)mmtmtmtmm；=11ttt21、已知非空集合AR，函数()yfx的定义域为D，若对任意tA且xD，不等式()()fxfxt恒成立，则称函数()fx具有A性质.（1）当{1}A，判断()fxx、()2gxx是否具有A性质；（2）当(0,1)A，1()fxxx，[,)xa，若()fx具有A性质，求a的取值范围；（3）当{2,}Am，mZ，若D为整数集且具有A性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m的值.【答案】（1）()fxx具有A性质；()2gxx不具有A性质；（2）[1,)a