必修二直线方程与圆题型归纳

第1讲直线与方程考点一直线的倾斜角和斜率【例1】(1)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()．A．[0，180°)B.[0，45°]U[135°，180°]C.[0，45°]D.[0，45°]∪（90°，180°)(2)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()．A.13B．－13C．－32D.23【训练1】经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，求直线l的倾斜角α的范围．考点二求直线的方程【例2】求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－14.(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点，且|AB|＝5.【训练2】△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程．考点三直线方程的综合应用【例3】已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如右图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．【训练3】在例3的条件下，求直线l在两轴上的截距之和最小时直线l的方程．思想方法——分类讨论思想在求直线方程中的应用【典例】在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程．【自主体验】1．若直线过点P－3，－32且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为()．A．3x＋4y＋15＝0B．x＝－3或y＝－32C．x＝－3D．x＝－3或3x＋4y＋15＝02．已知两点A(－1,2)，B(m,3)，则直线AB的方程为________．3．若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是．4．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．5．(2014·临沂月考)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．6．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，是否存在使△ABO面积最小的直线l？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．第2讲两条直线的位置关系考点一两条直线平行与垂直【例1】已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1⊥l2时，求a的值．【训练1】(2014·长沙模拟)已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为()．A．－10B．－2C．0D．8考点二两条直线的交点问题【例2】求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．【训练2】直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．考点三距离公式的应用【例3】已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是7510.(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①点P在第一象限；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的12；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是2∶5.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．【训练3】(1)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为()．A．2x＋3y－18＝0B．2x－y－2＝0C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0(2)已知两条平行直线，l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0间的距离为5，则直线l1的方程为________．思想方法——对称变换思想的应用【典例】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．【自主体验】1、(2013·湖南卷)在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于()．A．2B．1C.83D.432．(2014·金华调研)当0k12时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点()．A．(0,4)B．(0,2)C．(－2,4)D．(4，－2)4．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是：①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°.其中正确答案的序号是________．5．求过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)的距离为2的直线方程．第3讲圆的方程考点一求圆的方程【例1】根据下列条件，求圆的方程．(1)求过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43的圆的方程．(2)已知圆的半径为10，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为42.【训练1】(1)(2014·济南模拟)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()．A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1(2)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．考点二与圆有关的最值问题【例2】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．规律方法与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如μ＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【训练2】(2014·金华十校联考)已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是()．A.2B．22C.3D．23考点三与圆有关的轨迹问题【例3】在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．规律方法求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：(1)直接法：根据题设条件直接列出方程；(2)定义法：根据圆的定义写出方程；(3)几何法：利用圆的性质列方程；(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．【训练3】已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC中点M的轨迹方程．方法优化——利用几何性质巧设方程求半径【典例】在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．【自主体验】1．圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A，B，若|AB|＝3，则该圆的标准方程是________．2．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．一、选择题1．(2014·东莞调研)已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为()．A．8B．－4C．6D．无法确定2．(2014·烟台二模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点F的距离为5，则以M为圆心且与y轴相切的圆的方程为()．A．(x－1)2＋(y－4)2＝1B．(x－1)2＋(y＋4)2＝1C．(x－1)2＋(y－4)2＝16D．(x－1)2＋(y＋4)2＝163．(2014·银川模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()．A．x2＋y2＋10y＝0B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0D．x2＋y2－10x＝04．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()．A.－15，1B.－∞，－15∪(1，＋∞)C.－15，1D.－∞，－15∪[1，＋∞)5．(2014·东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()．A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1二、填空题6．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．7．(2014·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为______．8．若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．三、解答题9．求适合下列条件的圆的方程：(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．10．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系考点一直线与圆的位置关系【例1】(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()．A．相切B．相交C．相离D．不确定(2)(2013·山东卷)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()．A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝0【训练1】1、(2014·郑州模拟)直线y＝－33x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m取值范围是（)．A．(3，2)B．(3，3)C.33，233D.1，233考点二圆与圆的位置关系【例2】已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．【训练2】(1)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是()．A．相离B．相交C．外切D．内切(2)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝()．A．4B．42C．8D．82考点三有关圆的综合问题【例3】(2013·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，