33积分变换

§2.5Laplace变换的应用1微分、积分方程的Laplace变换解法2*偏微分方程的Laplace变换解法3*线性系统的传递函数Laplace变换和Fourier变换一样，在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要的作用。人们在研究这些系统时，往往是从实际问题出发，将研究的对象归结为一个数学模型，在许多场合下，这个数学模型是线性的。换句话说，它可以用线性的积分方程、微分方程、微分积分方程乃至于偏微分方程等来描述，这样，我们可以象用Fourier变换那样，用Laplace变换这一方法去分析和求解这类线性方程，而且我们可以发现这一方法是十分有效的，甚至是不可缺少的。它的求解步骤和用Fourier变换方法求解此类线性方程的步骤完全类似。最后，还要给出线性系统的传递函数这一重要的概念。1微分、积分方程的Laplace变换解法象原函数(方程的解)象函数微分、积分方程取Laplace逆变换取Laplace变换象函数的代数方程解代数方程用Laplace变换方法求解方程的步骤和用Fourier变换的方法求解此类线性方程的步骤完全类似。这种解法的示意图如下。这是我们求解此类方程的主要方法。例1求方程解设方程的解的解。满足初始条件对方程的两边取Laplace变换，又由初始条件，得这是含未知量Y(s)的代数方程，整理后解出Y(s)，得这便是所求函数的Laplace变换，取其逆就可得所求函数且设例1求方程解的解。满足初始条件这便是所求函数的Laplace变换，取其逆就可得所求函数为了求Y(s)的逆变换，将它化为部分分工的形式，取逆变换，得例2求方程解设解为的解，其中l为已知常数。满足边界条件对方程的两边取Laplace变换，又由边界条件，得整理后可得且设取其逆变换，可得例2求方程解的解，其中l为已知常数。满足边界条件令x=l代入上式，由第二个边界条件可得从而于是这便是所求微分方程满足边界条件的解。例求方程解设方程的解的解。满足初始条件对方程的两边取Laplace变换，又由初始条件，得这是含未知量Y(s)的代数方程，整理后解出Y(s)，得取其逆就可得所求函数且设通过求解过程可以发现，常系数线性微分方程的边值问题可以先当作它的初值问题来求解，而所得微分方程的解中含有未知的初值可由已知的边值来求解，从而最后完全确定微分方程满足边界条件的解。的形式时也可以用Laplace变换的方法求解。由象函数的微分性质可知对于某些变系数的微分方程，即方程中每一项为从而例3求方程解设方程的解的解。满足初始条件对方程的两边取Laplace变换，亦即且设又由初始条件，代入整理化简后可得例3求方程解的解。满足初始条件这是可分离变量的一阶微分方程，即积分后可得所以例3求方程解的解。满足初始条件取逆变换可得为确定常数C，令t=0代入，有故方程满足初始条件的解为例求方程解设方程的解满足初始条件对方程的两边取Laplace变换，即且设又由初始条件，代入整理化简后可得的解。积分后可得取逆变换可得例求方程解设方程的解满足初始条件的解。为确定常数C，令故方程满足初始条件的解为例求方程解满足初始条件的解。代入，有例4求方程解设的解，其中h(t)，f(t)为定义在[0,+∞)上的实值函数。对方程的两边取Laplace变换，由卷积定理可得所以例4求方程解的解，其中h(t)，f(t)为定义在[0,+∞)上的实值函数。如果令s=β+jω，由Laplace反演积分公式，有这里，可以给出的是由象函数Y(s)求它的象原函数y(t)的一般公式，如果h(t)和f(t)具体给出时，可以直接从象函数Y(s)的关系式中求出y(t)。例如，当则有，此时有从而可以看出这一积分方程实际上是一个卷积型的积分方程，它有许多实际应用。例如在更新过程中有许多重要的量(如更新函数，更新密度等)均满足这一方程。因此，在更新过程中特别称此积分方程为更新方程。下面给出一些实际例子。例求方程解设的解。对方程的两边取Laplace变换，由卷积定理可得所以，原方程可写为因此方程的解为例8求解方程组条件的解。满足初始解对两个方程取Laplace变换,设L[y(t)]=Y(s),L[x(t)]=X(s),并考虑到初始条件,得整理得例8求解方程组条件的解。满足初始解解此线性方程组2221(),(1)21()(1)YssssXsss例8求解方程组条件的解。满足初始解现根据Heaviside展开式来求它们的逆变换，查表也可得2221(),(1)21()(1)YssssXsss()1ee()etttyttxttt例求解方程组满足初始条件的解。解先将两个方程分别相加减，可得对上面两个方程取Laplace变换，设L[y(t)]=Y(s),L[x(t)]=X(s),并考虑到初始条件,得例求解方程组满足初始条件的解。解整理得解之可得例求解方程组满足初始条件的解。解取其逆变换，方程组的解为例5质量为m的物体挂在弹簧系数为k的弹簧一端，外力为f(t)，物体自平衡位置x=0处开始运动，求运动规律x(t)。其中－kx由虎克定律所得。初始条件为mxxx=0kxf(t)解根据牛顿定律有且x(0)=x'(0)=0所以物体运动的微分方程为例5质量为m的物体挂在弹簧系数为k的弹簧一端，外力为f(t)，物体自平衡位置x=0处开始运动，求运动规律x(t)。mxxx=0kxf(t)解且x(0)=x'(0)=0两边取Laplace变换，设L[x(t)]=X(s)]，L[f(t)]=F(s)，并考虑到初始条件，则得ms2X(s)+kX(s)=F(s)如记，有20km例5质量为m的物体挂在弹簧系数为k的弹簧一端，外力为f(t)，物体自平衡位置x=0处开始运动，求运动规律x(t)。mxxx=0kxf(t)解ms2X(s)+kX(s)=F(s)如记，有20km2222001()11()()FsXsFsmsms因为102200sin1tsL如f(t)具体给出时，可以直接从解的象函数X(s)的关系式中解出x(t)来.因为，由卷积定理得22011()()XsFsms102200sin1tsL00sin1()()txtftm0001()sin()d.tftm例如，当物体在t=0时受到冲击力为f(t)=Ad(t)，其中A为常数。此时，L[f(t)]=L[Ad(t)]=A所以从而可见，在冲击力的作用下，运动为一正弦振动，2201()AXsms00()sin.Axttm0Am，角频率是ω0，称ω0为该系统的自然频率(或称固有频率)。振幅是注意到上述微分方程是在0t时建立起来的。如果在t0时，则微分方程及初始条件都会有变化，即且这是因为冲击力δ(t)，当t0时已经作用过了，的解完全相同。并且在t=0时，使物体的初速由零突变到，但它们如物体所受作用力为f(t)=Asint(A为常数)时，22[()]ftAsL2222011()AXsmss22222200111Amss所以222201()()Amss从而02200sinsin()()tAtxtm02200sinsin()()tAtxtm002200(sinsin)()Attm这里ω为作用力的频率(或称扰动频率)。若0运动是由两种不同频率的振动复合而成。若(即扰动频率等于自然频率)，便产生共振，此时振幅将随时间无限增大。这是理论上的情形。实际上，在振幅相当大时，或者系统已被破坏，或者系统已不再0满足原来的微分方程。例6如图所示RC串联电路中，若外加电动势为正弦交流电压i(t)e(t)KRC解由基尔霍夫(Kirchhoff)定律有其中()RCuuetd(),()dCRuuRititCt，求开关闭合后，()sin()metUt回路中电流i(t)及电容器两端电压uC(t)例6如图所示RC串联电路中，若外加电动势为正弦交流电压解，求开关闭合后，回路中电流i(t)及电容器两端电压uC(t)所以微分方程为这就是该电路中电容器两端电压所满足的关系式,d()dCCuRCuett它是一阶线性非齐次微分方程，现对方程式两边取Lapalce变换，设[()](),[()]()CCutUsetEsLL()RCuuet()sin()metUtd(),()dCRuuRititCt例6如图所示RC串联电路中，若外加电动势为正弦交流电压解，求开关闭合后，()sin()metUt回路中电流i(t)及电容器两端电压uC(t)d()dCCuRCuett对方程式两边取Lapalce变换，且有()()()CCRCsUsUsEs又0()0,Ctut()()1CEsUsRCs()sin()metUt所以有则22()(cossin)mUEsss(sincoscossin)mUtt例6如图所示RC串联电路中，若外加电动势为正弦交流电压解，求开关闭合后，()sin()metUt回路中电流i(t)及电容器两端电压uC(t)又()()1CEsUsRCs(cossin)()1()(j)(j)mCUsUsRCsssRC22()(cossin)mUEsss则的一阶级点为1231,j,j,sssRC()CUs例6如图所示RC串联电路中，若外加电动势为正弦交流电压解，求开关闭合后，()sin()metUt回路中电流i(t)及电容器两端电压uC(t)根据Heaviside展开式，得1cossin()11()()tmRCCURCuteRCjjRCRCcossincossin11()(2)()(2)jtjtjjeejjjjRCRC例6如图所示RC串联电路中，若外加电动势为正弦交流电压解，求开关闭合后，()sin()metUt回路中电流i(t)及电容器两端电压uC(t)利用Euler公式，通过化简整理可得2222221()cossin11()()tmRCCURCuteCRRCC()()2222jtjtmUeejjCRCRC例6如图所示RC串联电路中，若外加电动势为正弦交流电压解，求开关闭合后，()sin()metUt回路中电流i(t)及电容器两端电压uC(t)利用Euler公式，通过化简整理可得2222221()cos11mCURutCRRCC2221sin1tRCCeRC例6如图所示RC串联电路中，若外加电动势为正弦交流电压解，求开关闭合后，()sin()metUt回路中电流i(t)及电容器两端电压uC(t)利用Euler公式，通过化简整理可得2222221cos()11mURtCRRCC2221sin().1CtRC例6如图所示RC串联电路中，若外加电动势为正弦交流电压解，求开关闭合后，()sin()metUt回路中电流i(t)及电容器两端电压uC(t)由于在RC串联电路中，其阻抗为1,ZRjC2221||,ZRC,||mmUIZ这样，()(coscossinsin)tmRCCIuteC[(coscos()sinsin()]mIttC例6如图所示RC串联电路中，若外加电动势为正弦交流电压解，求开关闭合后，()sin()