matlab基础第3章(简单易学易用)

第3章MATLAB在高等数学中的应用第3章MATLAB在高等数学中的应用3.1矩阵分析3.2多项式运算3.3数据的分析与统计3.4函数分析与数值积分第3章MATLAB在高等数学中的应用3.1矩阵分析1．矢量范数和矩阵范数矩阵范数是对矩阵的一种测度。矢量的p范数和矩阵A的p范数分别定为：当p＝2时为常用的欧拉范数，一般p还可取l和∞。这在MATLAB中可利用norm函数实现，p缺省时为p=2。格式：n＝norm(A)功能：计算矩阵A的最大奇异值，相当于n=max(svd(A))。格式：n＝norm(A，p)功能：norm函数可计算几种不同类型的矩阵范数，根据p的不同可得到不同的范数pipipxxpipipxxppxpxAxAmax第3章MATLAB在高等数学中的应用2．矩阵求逆及行列式值⑴矩阵求逆函数inv及行列式值函数det逆矩阵的定义：对于任意阶n×n方阵A，如果能找到一个同阶的方阵V，使得满足：A*V=I。其中I为n阶的单位矩阵eye(n)。则V就是A的逆矩阵。数学符号表示为：V=A-1。逆矩阵V存在的条件是A的行列式不等于0。格式：V=inv(A)功能：返回方阵A的逆矩阵V。格式：X=det(A)功能：计算方阵A的行列式值。pipipxx⑵伪逆矩阵函数pinv伪逆矩阵的MATLAB定义：从数学意义上讲，当矩阵A为非方阵时，其矩阵的逆是不存在的。在MATLAB中，为了求线性方程组的需要，把inv(A′*A)*A′的运算定义为伪逆函数pinv，这样对非方阵，利用伪逆函数pinv可以求得矩阵的伪逆，伪逆在一定程度上代表着矩阵的逆。格式：C=pinv(A)功能：计算非方阵A的伪逆矩阵。第3章MATLAB在高等数学中的应用3．线性代数方程求解写成矩阵形式可表示为：AX＝B或XA＝B。其中系数矩阵A的阶数为m×n。在MATLAB中，引入矩阵除法求解。(1)求解方程AX=B格式：X=A\B条件：矩阵A与矩阵B的行数必须相等。(2)求解方程XA=B格式：X=B/A条件：矩阵A与矩阵B的列数必须相等。pipipxxmnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa12211212222121111212111一般线性方程组的第3章MATLAB在高等数学中的应用4．矩阵的分解(1)三角(LU)分解函数lu所谓三角解就是将一个方阵表示成两个基本三角阵的乘积(A=LU），其中一个为下三角矩阵L，另一个为上三角形矩阵U，因而矩阵的三角分解又叫LU分解或叫LR分解。矩阵分解的两个矩阵分别可表示为：pipipxxnnijaA}{100100012121nnlllLnnnnuuuuuuU00022211211格式一：[L,U]=lu(A)功能：返回一个上三角矩阵U和一个置换下三角矩阵L(即下三角矩阵与置换矩阵的乘积)，满足A=L*U。格式二：[L,U,P]=lu(A)功能：返回上三角矩阵U，真正下三角矩阵L，及一个置换矩阵P(用来表示排列规则的矩阵)，满足L*U=P*A；如果P为单位矩阵，满足A=L*U。第3章MATLAB在高等数学中的应用(2)正交(QR)分解函数将矩阵A分解为一个正交矩阵与另一个矩阵的乘积称为矩阵A的正交分解。格式一：[Q,R]=qr(A)功能：产生与A同维的上三角矩阵R和一个实正交矩阵或复归一化矩阵Q，满足：A=Q*R，Q’*Q=I。格式二：[Q,R,E]=qr(A)功能：产生一个置换矩阵E，一个上三角矩阵R(其对角线元素降序排列)和一个归一化矩阵Q，满足A*E=Q*R；第3章MATLAB在高等数学中的应用5．奇异值分解矩阵A的奇异值和相应的一对奇异矢量u、v满足：同样利用奇异值构成对角阵，相应的奇异矢量作为列构成两个正交矩阵U、V，则有：其中AT表示转置矩阵。由于U和V正交，因此可得奇异值分解：格式一：[U,S,V]=svd(x)功能：返回3个矩阵，使得X=U*S*V’。其中S为与X相同维数的矩阵，且其对角元素为非负递减。格式二：S=svd(A)功能：返回奇异值组成的向量。pipipxxuσAvvσuATUΣAVTTΣVUATVUA第3章MATLAB在高等数学中的应用6．矩阵的特征值分析矩阵A的特征值和特征矢量，满足：以特征值构成对角阵，相应的特征矢量作为列构成矩阵V，则有：如果V为非奇异，则上式就变成了特征值分解：格式一：d=eig(A)功能：返回方阵A的全部特征值所构成的向量。格式二：[V,D]=eig(A)功能：返回矩阵V和D。其中对角阵D的对角元素为A的特征值，V的列向量是相应的特征向量，使得A*V=V*D。pipipxxvvAvVAV1VVA第3章MATLAB在高等数学中的应用7．矩阵的幂次运算:A^p在MATLAB中，矩阵的幂次运算是指以下两种情况：1、矩阵为底数，指数是标量的运算操作；2、底数是标量，矩阵为指数的运算操作。两种情况都要求矩阵是方阵，否则，将显示出错信息。(1)矩阵的正整数幂如果A是一个方阵，p是一个正整数，那么幂次表示A自己乘p次。(2)矩阵的负数幂如果A是一个非奇异方阵，p是一个正整数，那么A^(－p)表示inv(A)自己乘p次。(3)矩阵的分数幂如果A是一个方阵，p取分数，它的结果取决于矩阵的特征值的分布。(4)矩阵的元素幂、按矩阵元素的幂利用运算符“A.^p”实现矩阵的元素幂或按矩阵元素的幂运算。pipipxx第3章MATLAB在高等数学中的应用8．矩阵结构形式的提取与变换(1)矩阵左右翻转函数fliplr()格式：X=fliplr(A)(2)矩阵上下翻转函数flipud格式：X=flipud(A)(3)矩阵阶数重组函数reshape格式一：X=reshape(A,n,m)功能：将矩阵A中的所有元素按列的秩序重组成n×m阶矩阵X，当A中没有m×n个元素时会显示出错信息。格式二：X=reshape(A,m,n,p,...)或X=reshape(A,[m,n,p,...])功能：从A中形成多维阵列(m×n×p×...)。pipipxx第3章MATLAB在高等数学中的应用(4)矩阵整体反时针旋转函数rot90()格式一：X=rot90(A)功能：将矩阵按反时针旋转90o。格式二：X=rot90(A,k)功能：将矩阵按反时针旋转k*90o，其中k应为整数。(5)对角矩阵和矩阵的对角化函数diag()格式一：X=diag(A,k)功能：当A为n元向量时，可得n+abs(k)阶的方阵X，其A的元素处于第k条对角线上；k=0表示主对角线，k0表示在主对角线之上，k0表示在主对角线之下。当A为矩阵时，X=diag(A,k)得到列向量X，它取自于X的第k个对角线上的元素。格式二：X=diag(A)功能：当A为n元向量时，等同于k=0时的X=diag(A,k)，即产生A的元素处于主对角线的对角方阵。当A为矩阵时，X=diag(A)相当于k=0。第3章MATLAB在高等数学中的应用(6)取矩阵的左下三角部分函数tril()格式一：X=tril(A,k)功能：得到矩阵A的第k条对角线及其以下的元素；当k=0时表示主对角线，k0表示主对角线之上，k0表示主对角线以下。格式二：X=tril(A)功能：得到矩阵A的下三角阵。(7)取矩阵的右上三角部分函数triu()格式一：X=triu(A,k)功能：得到矩阵A的第k条对角线及其以上的元素；当k=0时表示主对角线，k0表示主对角线之上，k0表示主对角线以下。格式二：X=triu(A)功能：得到矩阵A的右上三角阵。(8)利用“：”将矩阵元素按列取出排成一列方法：X=A(:)’第3章MATLAB在高等数学中的应用3.2多项式运算3.2.1多项式表示及其四则运算1．MATLAB的多项式表示对多项式：01111)(axaxaxaxpnnnn5x2x)x(p3可表示成行向量：p=[1,0,–2,5]。用其系数的行向量p=[an,an-1,…,a1,a0]来表示。注意：如果x的某次幂的系数为零，这个零必须列入系数向量中。例如一个一元3次多项式：2．多项式的加减运算格式：A=B+C3．多项式相乘运算格式：w=conv(u,v)功能：返回u和v两向量的卷积，也就是u和v代表的两多项式的乘积。4．多项式相除格式：[q,r]=deconv(u,v)功能：给出商多项式q和余数多项式r，u为被除多项式第3章MATLAB在高等数学中的应用1．多项式求导函数polyder格式一：k=polyder(p)功能：返回多项式p的一阶导数。格式二：k=polyder(u,v)功能：返回多项式u与v乘积的导数。格式三：[q,d]=polyer(u,v)功能：返回多项式商u/v的导数,返回的格式为：q为分子,d为分母。2．多项式的根求解多项式的根，即p(x)=0的解。格式：r=roots(p)功能：返回多项式p(x)的根。注意，MATLAB按惯例规定，多项式是行向量，根是列向量。3.2.2多项式求导、求根和求值第3章MATLAB在高等数学中的应用3．多项式求值函数polyval()利用函数polyval可以求得多项式在某一点的值。格式：y=polyval(p,x)功能：返回多项式p在x处的值。其中x可以是复数，也可以是数组。当多项式的变量是矩阵时，构成的矩阵多项式可以利用polyvalm函数求值。格式：Y=polyvalm(p,X)功能：返回矩阵多项式p在X处的值。4．部分分式展开函数residue()格式一：[r,p,k]=residue(b,a)功能：把b(s)/a(s)展开成：snnkpsrpsrpsrsasb2211)()(其中r代表余数数组，p代表极点数组，ks代表部分分式展开的常数项。当分母多项式的阶次数高于分子多项式的阶次数时ks=0格式二：[b,a]=residue(r,p,k)功能：格式一的逆作用。第3章MATLAB在高等数学中的应用3.3.3多项式拟合与多项式插值1．多项式拟合函数polyfit()格式：p=polyfit(x,y,n)功能：利用已知的数据向量x和y所确定的数据点，采用最小二乘法构造出n阶多项式去逼近已知的离散数据，实现多项式曲线的拟合。其中p是求出的多项式系数，n阶多项式应该有n+1个系数，故p的长度为n+1。2．多项式插值插值和拟合的不同点在于：①插值函数通常是分段的，人们关心的不是函数的表达式，而是插值出的数据点；②插值函数应通过给定的数据点。(1)一维插值函数interpl()格式：yi＝interpl(x,y,xi,'method')功能：为给定的数据对(x,y)以及x坐标上的插值范围向量xi，用指定所使用的插值方法method实现插值。yi是插值后的对应数据点集的y坐标。插值的方法method有以下6种可供选择：nearest(最邻近插值法)、linear(线性插值)、spline(三次样条插值)、cubic(立方插值)、pchip(三次Hermite插值)、v5cubic。第3章MATLAB在高等数学中的应用（2）二维插值函数格式：zi=griddata(x,y,z,xi,yi,method)功能：非等距插值。已知的元素值由3个向量来描述：x、y和z。函数返回值为一矩阵zi，其元素的值由x、y和z确定的二元函数插值得到。method可为：‘linear’(默认值)、‘cubic’、‘nearest’、‘v4’。格式：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'method')功能：单调节点插值。已知的元素值由3个向量来描述：x、y和z。其中，x、y是已知数据组并且大小相同，z是相对应的已知点上的函数值；xi、yi是用于插值的矢量；zi是根据相应的插值方法并且