行测余数问题万能技巧

带余除法。一般地，如果.α是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，使得α÷b＝q……r或α＝b×q＋r当r=0时，我们称α能被b整除。当r≠0时，我们称α不能被b整除，r为α除以b的余数，q为α除以b的不完全商(也简称为商)。带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。出题者常常会在这里设置陷阱。㈡余数周期。这其中又分为递推数列（给一串数，要求第χ个数除以某个数的余数）和n次幂（求一个数的n次方除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。例如，求3130÷13的余数。例如尖子班作业1。㈢同余问题。1、什么是“同余”？整数α和b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数α、b对于模c同余。记作：α≡b（modc）例如：15÷4＝3……323÷4＝5……315和23对于除数4同余。记作：15≡23（mod4）可以理解为15和23除以4的余数相同。2、“同余”的四个常用性质是什么？同余性质1：如果α≡b(modm)，则m︱（α－b）若两数同余，他们的差必是除数的倍数。例如，73≡23(mod10)则10︱（73－23）73与23的差是10的倍数。同余性质2：如果α≡b(modm)，c≡d(modm),则α±c≡b±d(modm)两数和的余数等于余数的和。两数差的余数等于余数的差。例如，73≡3(mod10)84≡4(mod10)73+84≡3+4≡7(mod10)84－73≡4－3≡1(mod10)同余性质3：如果α≡b(模m)，c≡d(模m),则α×c≡b×d(模m)两数积的余数等于余数的积。例如，73≡3(模10)84≡4(模10)73×84≡3×4≡2(模10)同余性质4：如果α≡b(模m)则αn≡bn(模m)某数乘方的余数，等于余数的乘方。例如，40≡1（mod13）4031≡131≡1（mod13）很多人分不清同余问题和“物不知其数”问题的区别。举个例子：“一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a＋5、2a、a，求这个自然数和a的值。”这是同余问题，已知被除数和余数，求除数。这种问题就是想办法把余数都化为相同的数，然后两两做差求最大公约数，就是“物不知其数”问题。4、“物不知其数”。与同余问题相对应的是“物不知其数”，例如：“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。”这种问题有两个万能方法：逐级满足和中国剩余定理。但是考试往往不考这两个方法，这两个方法往往也比较繁琐。考试题里不妨去研究研究题中给的除数和对应的余数的关系（和或差），若他们的和或差相同，那么就有简单的解题方法（即所谓“加同补”、“减同余”），实在没有，再考虑逐级满足和中国剩余定理。我们在解决“物不知其数”题目，就是把余数问题转化为“整除问题”：中国剩余定理韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从１至５报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，就是现在被称为“中国剩余定理”的一次同余式解法。它是中国古代数学家的一项重大创造，在世界数学史上具有重要的地位。我国古代数学名著《孙子算经》有这么一道题：今有物不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问物几许？它的解法由明代数学家程大位用诗歌给予了解答：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。这种解法的意思是，把用3除所得的余数乘以70，加上用5除所得余数乘以21，再加上用7除所得余数乘以15，结果若比105大，就减去105的倍数，便是所求得的数，列成算式为：70×2+21×3+15×2=233，233—105×2=23。这种方法称之为“中国剩余定理”。余数问题，遇到这种同时被3个数除时，好多同学都不知道如何入手，这里给出了一个非常好的解决方法！例1：有兵一队，若1至3报数，最后一人报数为2；若1至5报数，最后一个报数为3；若1至7报数，最后一人报数为4.这一队士兵最少有多少人？解法一：这道题翻译成数学语言就是，一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求适合条件的最小自然数。设士兵有x人，可用同余式表示为：x≡2（mod3），x≡3（mod5），x≡4（mod7）。可用“枚举法”：因为x≡2（mod3），所以x可能等于2、5、8、11、14、17、20、23、26、29、32、35、38、41、44、47、50、53、56……又因为x≡3（mod5），所以x可能等于3、8、13、18、23、28、33、38、43、48、53、58……又因为x≡4（mod7），所以x可能等于4、11、18、25、32、39、46、53、60……同时出现在上述三个数列中的第一个数是53，所以符合条件的最小自然数是53.解法二：从上面看到同时满足三个条件的数最早出现在第三列，可先考虑被7除余4的数从小到大为4、11、18、25……其中第一个满足被5除余3的数是18，给18加上5与7的最小公倍数35的0倍，1倍，2倍，3倍……，得数列18、53、88，……这个数列的每一个数都满足被7除余4，被5除余3，其中满足被3除余2的第一个数是53，也就是这队士兵最少53人。此方法仍为“枚举法”，但较解法一的方法更灵活、简捷。解法三：可利用“中国剩余定理”的方法来做。[5,7]=35,35≡2（mod3）所以35符合被3除余2,且整除5与7.[3,7]=21,21≡1（mod5）,21×3≡3（mod5）所以21×3符合被5除余3，且整除3与7.[3,5]=15,15≡1（mod7）,15×4≡4（mod7）,所以15×4符合被7除余4,且整除3与5.将它们相加得:35+21×3+15×4=158,可知158满足被3除余2,被5除余3,被7除余4的数.[3,5,7]=105,158÷105=1……53，所以53是符合条件的最小数，即这队士兵最少53人。总结：“中国剩余定理”的做法就是先找到其中两个除数的公倍数且满足另外一个除数的条件，这样共能找出三个数，将它们相加，再减去三个除数的公倍数，直到不能减，得到的就是满足条件的最小的数（或者用所得数除以最小公倍数，余数即为要求的最小数）。例2：某数除以5余3，除以6余2，除以7余4，这个数最小是多少？分析：利用“中国剩余定理”方法第一步：先求出6与7的最小公倍数42，42≡2（mod5），42×3≡2×3（mod5）≡1（mod5）,42×3×3≡3（mod5）；第二步求出5与7的最小公倍数35，35≡5（mod6），35×5≡5×5（mod6）≡1（mod6），35×5×2≡2（mod6）；第三步求出5与6的最小公倍数30，30≡2（mod7），30×2≡4（mod7）。第四步将前三步所得的三个数相加，再除以5、6、7的最小公倍数210，余数就是所求的最小数。42×3×3+35×5×2+30×2=788，788÷210=3……158所以这个最小数是158。解：因为[6,7]=42,且42≡2（mod5）,42×3≡1（mod5）,42×3×3≡3（mod5）；[5,7]=35,且35≡5（mod6）,35×5≡1（mod6）,35×5×2≡2（mod6）；[5,6]=30,且30≡2（mod7）,30×2≡4（mod7）且42×3×3+35×5×2+30×2=788，又因为[5，6，7]=210，而788=210×3+158所以这个最小数是158。余数有如下一些重要性质（有些性质，小学大家就知道了，嘻嘻）（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。例1、5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到5056=26×79。由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。例2、被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。解：因为被除数=除数×商+余数=除数×33+52，被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数，所以除数×33+52=2058-除数，所以除数=（2058-52）÷34=59，被除数=2058-59=1999。答：被除数是1999，除数是59。例3、甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。解：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，所以乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。答：甲数是1000，乙数是88。例4、有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。例5、求478×296×351除以17的余数。分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。所求余数是1。例6、甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙