南京市2020届高三数学三模含答案

高三数学试题第1页（共4页）南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置．．．．上）1．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝▲．2．若z＝a1＋i＋i(i是虚数单位)是实数，则实数a的值为▲．3．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为▲．4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为▲．5．将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为▲．6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(其中ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则f(π2)的值为▲．7．已知数列{an}为等比数列．若a1＝2，且a1，a2，a3－2成等差数列，则{an}的前n项和为▲．8．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F．若以F为圆心，a为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A，B两点，且AB＝2b，则该双曲线的离心率为▲．9．若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A－B1CD1的体积为▲．（第4题图）S←0ForiFrom1To4S←S＋iEndForPrintSOxy22（第6题图）－π32π3高三数学试题第2页（共4页）10．已知函数f(x)＝x＋2，x≤0，f(－x)，x＞0，g(x)＝f(x－2)．若g(x－1)≥1，则x的取值范围为▲．11．在平面直角坐标系xOy中，A，B是圆O：x2＋y2＝2上两个动点，且OA→⊥OB→．若A，B两点到直线l：3x＋4y－10＝0的距离分别为d1，d2，则d1＋d2的最大值为▲．12．若对任意a∈[e，＋∞)(e为自然对数的底数)，不等式x≤eax＋b对任意x∈R恒成立，则实数b的取值范围为▲．13．已知点P在边长为4的等边三角形ABC内，满足AP→＝λAB→＋μAC→，且2λ＋3μ＝1，延长AP交边BC于点D．若BD＝2DC，则PA→·PB→的值为▲．14．在△ABC中，∠A＝π3，D是BC的中点．若AD≤22BC，则sinBsinC的最大值为▲．二、解答题:本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域．．．．内．15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：（1）EF∥平面PCD；（2）平面PAB⊥平面PCD．16．(本小题满分14分)已知向量m＝(cosx，sinx)，n＝(cosx，－sinx)，函数f(x)＝m·n＋12．（1）若f(x2)＝1，x∈(0，π)，求tan(x＋π4)的值；（2）若f(α)＝－110，α∈(π2，3π4)，sinβ＝7210，β∈(0，π2)，求2α＋β的值．FEPBDCA(第15题图)高三数学试题第3页（共4页）17．(本小题满分14分)如图，港口A在港口O的正东100海里处，在北偏东方向有一条直线航道OD，航道和正东方向之间有一片以B为圆心，半径85海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中OB＝2013海里，tan∠AOB＝23，cos∠AOD＝55．现一艘科考船以105海里/小时的速度从O出发沿OD方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由；（2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x小时出发，求x的最小值．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点(－2，0)和(1，32)，椭圆C上三点A，M，B与原点O构成一个平行四边形AMBO．（1）求椭圆C的方程；（2）若点B是椭圆C的左顶点，求点M的坐标；（3）若A，M，B，O四点共圆，求直线AB的斜率．(第18题图)AOMxyB(第17题图)AOD东北B高三数学试题第4页（共4页）19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝exx2－ax＋a(a∈R)，其中e为自然对数的底数．（1）若a＝1，求函数f(x)的单调减区间；（2）若函数f(x)的定义域为R，且f(2)＞f(a)，求a的取值范围；（3）证明：对任意a∈(2，4)，曲线y＝f(x)上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．20．(本小题满分16分)若数列{an}满足n≥2，n∈N*时，an≠0，则称数列{anan＋1}(n∈N*)为{an}的“L数列”．（1）若a1＝1，且{an}的“L数列”为{12n}，求数列{an}的通项公式；（2）若an＝n＋k－3(k＞0)，且{an}的“L数列”为递增数列，求k的取值范围；（3）若an＝1＋pn－1，其中p＞1，记{an}的“L数列”的前n项和为Sn，试判断是否存在等差数列{cn}，对任意n∈N*，都有cn＜Sn＜cn＋1成立，并证明你的结论．高三数学试题第5页（共4页）南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题．．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A＝1－1a0，a∈R．若点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，－2)．（1）求矩阵A；（2）求点Q(0，3)经过矩阵A的2次变换后对应点Q′的坐标．B．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1＋cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝3t，y＝1＋t(t为参数)，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．C．选修4—5：不等式选讲已知a，b为非负实数，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2)．高三数学试题第6页（共4页）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，B1C⊥AC1．（1）求AA1的长．（2）试判断在侧棱BB1上是否存在点P，使得直线PC与平面AA1C1C所成角和二面角B－A1C－A的大小相等，并说明理由．23．(本小题满分10分)口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n＋1(n∈N*)次．若取出白球的累计次数达到n＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为Pn．（1）求P1；（2）证明：Pn＋1＜Pn．(第22题图)A1CABB1C1P高三数学试题第7页（共4页）南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{x|1＜x＜4}2．23．604．105．236．37．2n＋1－28．629．8310．[2，4]11．612．[－2，＋∞)13．－9414．38二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)证明：(1)取PC中点G，连接DG、FG．在△PBC中，因为F，G分别为PB，PC的中点，所以GF∥BC，GF＝12BC．因为底面ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC，······························································2分所以GF∥DE，GF＝DE，所以四边形DEFG为平行四边形，所以EF∥DG．·············································································4分又因为EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF∥平面PCD．······································································6分高三数学试题第8页（共4页）BEACODxy(2)因为底面ABCD为矩形，所以CD⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD平面ABCD，所以CD⊥平面PAD．··································································10分因为PA平面PAD，所以CD⊥PA．·················································12分又因为PA⊥PD，PD平面PCD，CD平面PCD，PD∩CD＝D，所以PA⊥平面PCD．因为PA平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．································14分16．(本小题满分14分)解：(1)因为向量m＝(cosx，sinx)，n＝(cosx，－sinx)，所以f(x)＝m·n＋12＝cos2x－sin2x＋12＝cos2x＋12．···································2分因为f(x2)＝1，所以cosx＋12＝1，即cosx＝12．又因为x∈(0，π)，所以x＝π3，·························································4分所以tan(x＋π4)＝tan(π3＋π4)＝tanπ3＋tanπ41－tanπ3tanπ4＝－2－3．·······························6分(2)若f(α)＝－110，则cos2α＋12＝－110，即cos2α＝－35．因为α∈(π2，3π4)，所以2α∈(π，3π2)，所以sin2α＝－1－cos22α＝－45．········8分因为sinβ＝7210，β∈(0，π2)，所以cosβ＝1－sin2β＝210，······················10分所以cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ＝(－35)×210－(－45)×7210＝22．·····12分又因为2α∈(π，3π2)，β∈(0，π2)，所以2α＋β∈(π，2π)，所以2α＋β的值为7π4．·····································································14分17