双曲线的性质及应用

双曲线的性质:对称性)1(轴对称关于x轴对称关于y关于原点对称中心对称中心称为双曲线的顶点)2(轴的两个交点叫做顶点双曲线与x)0,a(),0,a(:21AA顶点为2a|AA|,2121叫做实轴线段AA)0,2(:),0,4(),0,0(则中心为若两焦点为12222byaxxOybbby2),0(B),,0(B21虚轴，长为称为轴没有交点，把线段双曲线与1A2A1B2B称为等轴双曲线若,22ba范围)3(axaxax或122xOy离心率)4(),1(cea离心率xOy渐近线)5(象限内的情况我们研究双曲线在第一)(22axaxaby),(),,(PM)(00220000xabxPaxabxMxabyaxxx，可得交于与射线，与双曲线交于另直线0220xabaxab的下方双曲线总在射线xaby0|MP|且)(轴焦点在渐近线：xxaby12222byax)(轴焦点在yxbay2cotFPFF),0,0(1221212222bPFbabyax的面积则，双曲线：焦点三角形面积公式cos24222mnnmc又)cos1(2)(2mnnm)cos1(242mnacos12)cos1(2)(4222bacmn2cotcos1sin2221bbSFPFnPFmPF||,||21设sin2121mnSFPFxOyP1F2F焦半径公式在椭圆上，且，，的焦点双曲线：),P(xFF)0,0(100212222ybabyax||||101aexPF）（||||02aexPF在椭圆上，且，，的焦点双曲线：),P(xFF)0,0(100212222ybabxay||||201aeyPF）（||||02aeyPF求双曲线的方程。有相同渐近线，且与双曲线过点求双曲线的方程为渐近线有共同的焦点，且一条与椭圆例：22)2,2()2(,03644)1(2222yxyxyx)0,34(),0,34(可知椭圆的焦点为12222byax设双曲线方程为：)1(4822ba则xaby:且渐近线为)2(31ab12,3622bakyx222设双曲线方程为：4)2,2(k代入把点4222xy双曲线方程为：的两条渐近线的夹角例：求双曲线)0,0(12222babyaxxOyxaby:渐近线为baabbaabarctan2arctan2？它和原双曲线有相同的虚轴为实轴的双曲线，，指以原来的实轴为虚轴双曲线的共轭双曲线是例：)1(1:,1:22222222axbybyax共轭双曲线双曲线有相同的焦距和渐近线:S,)2(2121最大值是？的，则四边形的面积为连接四个焦点所组成的为顶点组成的四边形面积设连接共轭双曲线四个SSSxOy)(44,422221bacSabS212221baabSS的交点个数与双曲线例：求直线1913122yxxyxOyxy31:双曲线的渐近线为交点与双曲线在左支有一个直线131xy点双曲线有且仅有一个交平行于渐近线的直线与结论：最小，使上求一点线右支是两个定点，试在双曲例：已知|MB||MA|M13)0,2(),2,0(22yxBAxOyBAMF2||||MFMB2||||||||MFMAMBMA三点共线，，时，FAMmin|)||(|MBMA)2233,2123(M13,122AF22联立得，与：直线yxyx2222||min|MB||MA|AF此时直径的圆外切为直径的圆与以实轴为求证：以是右焦点，上任一点，为双曲线例：设AFF1A2222byaxxOyAF1FC||21||1AFOC||21|)|2(21AFaAFa直径的圆外切为直径的圆与以实轴为以AFNMFFFPFPFPFNM,,21212121，或者是的切点或者是与边的内切圆在双曲线上，求证：的顶点若，，左右顶点分别是是例：设双曲线左右焦点FFxOy1FNM2FPHKGKPFHPFGFF2121于，切于，切于设内切圆切边|||GF|P21GF在右支，则若|)||(||||||||HF|2121PKPFPHPFKF||||21PFPFNGFGG21就是上在边在双曲线上，且FMP在左支，切点为同理可证的轨迹方程求，足为的角平分线引垂线，垂顶点从任一焦点向，双曲线上任意一点的焦点是例：双曲线PPQQFFQ,,121212222FFbyaxxOy1FM2FQPOPMQFPF12，连接于交延长|||QF||MF|MFP112MQ且的中点，是由题意，|||QF|21QFaMFP||21|O|1)0(222yayxP的轨迹方程：6P)0,5()2(02)1(的距离的最小值为到双曲线上动点渐近线方程下列条件的双曲线例：是否存在同时满足Ayxkyxyx224:02设双曲线方程为渐近线为222)5(||),,(yxAPyxP设45)4(454)5(222kxkxxkxkxk或时，当0)(4645||4,1604min2舍时，时，即若kkAPxkk))65(,)65(642510-45||,16422min2（舍时，时，即若kkkkkAPkxkk222)65(4:yx此时双曲线方程为6P)0,5()2(02)1(的距离的最小值为到双曲线上动点渐近线方程下列条件的双曲线例：是否存在同时满足AyxRxk时，当04645||4min2kkAPx时，44:22xy此时双曲线方程为积最大四边形面线的四个交点为顶点的线方程，使椭圆与双曲有公共焦点的双曲求与椭圆例：已知1,02222byaxbaxOy1F2FABDC),(,,,,,1:112222yxDDCBAnymx设四点与椭圆交于设双曲线114yxSABCD时等号成立当且仅当22221111111221221byaxabyxabyxbyax也成立此时1)22()22(2222nbmaxOy1F2FABDC2222222nmbmna整理得22222222nbambanm2222222222)(2)(nnbabnbana0)()3(22222224babnabn0))(2(22222bnabn即22222222bamban2:2222bayx此时双曲线方程为怎样运土才能最省工？，试问，，处，运到，只能沿着道路，挖出的土截面为半圆的柱形的坑例：某工程要挖一个横60APB150PB100PAPBPAPABP||||||||PBPAP),(BPMBAPMAyxM距离相等的点，则有点到与为分别沿道路设M50||||||||APBPMBMA1750060cos||||2||||||222BPAPBPPAAB：中点为原点，建系如图以ABO3750,175002,5022bca)0,25(13750625:22yxyxM所在的曲线方程，在曲线上，都一样在右边，沿，边，沿若挖出的土在曲线的左BPAP