双曲线简几何性质

双曲线的标准方程0)b0(a1byax2222,F1F20xyax1.范围：2.对称性：关于x轴、对称;y轴、原点双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.A1A2B2B1baa,0)、(A1(a,0)、A2(0,-b)、B1b)(0,B23.顶点叫做双曲线的顶点.它的长为___.叫做双曲线的虚轴,BB它的长为___;叫做双曲线的实轴,A线段A2121a,b分别叫做双曲线的实半轴长和虚半轴长.2a2b焦点在x轴上的双曲线的几何性质F1F20xyA1A2B2B1baN(x,Y)M(x,y)Qa)(xaxaby22xabYxaby22axaby2xa1xabxabY4.渐近线:yYMNF1F20xyA1A2B2B1baN(x,Y)M(x,y)Qxaby)ax(xab22)ax(x)ax)(xax(xab222222)ax(xab22MNMQ.x叫做双曲线的渐近线ab两条直线yYXF1F2A1A2B1B212222byax焦点在x轴上的双曲线草图画法5.离心率:叫做双曲线的离心率.,ac的比e双曲线的焦距与实轴长_______.e)(1,F1F20xybaxabyab它的开口就越大.双曲线的离心率越大,.1e2aac221ac224.y(2)x1;9y4x(1):的草图例1.作出下列双曲线2222注:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.0)b0,1(abxay标准方程为2222实轴为虚轴为实轴长虚轴长焦点坐标顶点坐标范围对称性渐近线21AA21BB2a2bc)(0,(0,-c),a)(0,(0,-a),ay称关于x、y轴、原点对0xyyabxF1F2A1A2B2B1ba把方程化为标准方程得,1342222xy可得:实半轴长:53422c虚半轴长:半焦距:焦点坐标是:(0,-5),(0,5)离心率:45ace渐近线方程:xy34解:a=4b=3例题2:求双曲线14416922xy的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率,渐近线方程。例题2:求双曲线14416922xy的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率,渐近线方程。渐近线方程有两种形式,xy34:故所求渐近线方程为说明:;,)1(xabyx轴上时当焦点在.,)2(xbayy轴上时当焦点在求渐近线方程最简捷的办法是令常数项为零再分解因式解:0)43)(43(016922xyxyyx得令练习1：双曲线116222byx的实轴的一个端点A1，虚轴的一个端点为B1，且|A1B1|=5，求双曲线的标准方程。OA1xyB1练习2：求以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程.15822yx标准方程2a2b范围顶点焦点离心率渐近线32822yx81922yx-422yx1254922yx284||42x0,240,6423exy42618|x|≥3(±3,0)0,10310ey=±3x44|y|≥2(0,±2)22,02exy1014|y|≥5(0,±5)74,0574exy75思考题:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线,求证:(1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线;(2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上.YXA1A2B1B2F1F2oF’2F’1证明:(1)设已知双曲线的方程是:12222byax则它的共轭双曲线方程是:12222axby渐近线为：0byax渐近线为:0axby可化为：0byax故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0)它的共轭双曲线的焦点为F1’(0,c’),F2’(0,-c’),∵22bac22bac∴c=c'所以四个焦点F1,F2,F3,F4在同一个圆.2222上bayx问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗？双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m,选择适当的坐标系,求出双曲线方程.C/B/A/OABCyx131225解:建立如图直角坐标系,使小圆直径AA'在x轴上,圆心与原点重合,这时上、下口的直径CC'，BB'平行于x轴。).(225|'|),(213|'|mBBmCC且).,13(),,0(1122222yCbbyx点设双曲线方程为),55,25(yB则点.1)55(12251121322222222byby或)(125,负值舍去联立方程组解得by0181502751911222222bbbyx得代入双曲线方程为12512),(252222yxmb双曲线方程为用计算器得例3方程图形范围对称性顶点离心率12222byax12222bxayaaxx,关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称)1(eace)1(eaceoYXA1A2B1B2F2F2YXA1A2B1B2F2F1oaayy,)0,(),0,(21aAaA12(0,),(0,)BaBaxaby:渐近线方程xbay例5点M（x,y）与定点F（5,0）的距离和它到定直线：的距离的比是常数,求点M的轨迹.l165x54y0d,45516:dMFMPMxlMd的轨迹就是集合点的距离，根据题意，到直线是点解：设.45516)5(2xyx由此得,14416922yx－简，得将上式两边平方，并化191622yx－即所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线。MxyOHFd例5点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到直线的距离的比是常数,求点M的轨迹.16:5lx5422222222222210000210nxyyxmmnxymnxyxyabxyab共渐近线的双曲线系：渐近线方程为：即的双曲线方程可设为：时表示焦点在轴上的双曲线；时表示焦点在轴上的双曲线；与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程可设为：3“共焦点”的双曲线（1）与椭圆有共同焦点的双曲线方程表示为22221(0)xyabab2222221().xybaab（2）与双曲线有共同焦点的双曲线方程表示为22221(0,0)xyabab2222221()xybaab222213239162921321322164xyyxxy求下列双曲线的标准方程：（1）与双曲线有相同渐近线，且过点，；渐近线方程为：且过点，（3）与双曲线有相同焦点，且过典点例题，型；2210916xy解：设所求双曲线方程为912916则，2219164xy故所求双曲线方程为220332xyyx渐近线方程可化为22094xy设所求双曲线方程为8114294则，解得22222194188xyxy故所求双曲线方程为即22191644xy即14解得222213239162921321322164xyyxxy求下列双曲线的标准方程：（1）与双曲线有相同渐近线，且过点，；渐近线方典程为：且过点，（3）与双曲线有相同焦点，且过点例题，型；3250解：焦点为，，22102020xymmm设所求双曲线方程为184120mm则810m解得或（舍）221128xy故所求双曲线方程为221492454xye例求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程。..191622yx可得,91625,42ba求得455a由05±\），，焦点为（5c得2524492c解：由.1916,91625,4455,1505.5,252449222222222\yxbaaayaxcc可得求得然后由设共焦点的双曲线为），，焦点为（得解：由另解22185xy例:求以椭圆的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。22222222222130852200510,0223,242.3,22,835135xyxxyabaabcacbcaxy解：依据题意有的焦点为，。椭圆的顶点为，和，由题意可知该双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的方程为则所以所以所求双曲线方程为例：如图所示，过双曲线的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|22136xyF1F2xyOAB分析:求弦长问题有两种方法:法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公式代入求弦长;法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理来处理.法一:设直线AB的方程为3(3)3yx与双曲线方程联立得A、B的坐标为923(3,23),(,)55由两点间的距离公式得|AB|=1635例：如图所示，过双曲线的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|22136xyF1F2xyOAB法二:设直线AB的方程为3(3)3yx与双曲线方程联立消y得5x2+6x-27=0由两点间的距离公式得222212121212212121||()()()()32316()4335ABxxyyxxxxxxxx设A、B的坐标为(x1,y1)、(x2,y2),则1212627,55xxxx22||83AF