第07章 工业机器人控制

第七章控制ChapterⅫControl7.1引言7.2单连杆机械手的控制7.3稳态伺服误差7.4稳态速度误差7.5加速度误差7.6多连杆机械手的控制7.7伺服参数的计算7.8采样数据的伺服速度7.9力矩伺服7.10本章小结工业机器人前几章，我们借助齐次变换阐述了对于包括机械手在内的任何物体的位置和姿态的描述方法。研究了机械手的运动学，建立了机械手关节坐标和与直角坐标的位置和速度之间的关系，推导了机械手的动力学方程。本章，我们要根据动力学方程来考虑机械手的控制问题，由于任何机械手的实际控制都是通过对各个关节的协调控制来实现的。因此，必须对每一个关节进行有效的控制，控制方法具有一般性。本章旨在明确控制中的主要问题，并概要介绍可能的解决方法。7.1引言(Introduction)JJstructural00（7.1）如果负载加到连杆的末端，就要增加一个等效连杆质量以及等效转动惯量。表7.1是斯坦福机械手的传动机构与等效连杆惯量。首先，我们考虑一个非常简单的单连杆机械手，这个连杆具有质量及围绕关节轴的转动惯量，而且，由于它的刚性结构，存在着结构谐振频率ωstructural。对于一个设计得很好的机械手，可以做到从空载到满载使惯量的变化为1：10。因此，如果固有结构谐振频率ω0，是按惯量为J0的情况测定的。那么当惯量为另一个值J时，结构频率就由下式确定7.2单连杆机械手的控制(ControlofaSingleLinkManipulator)表7.1斯坦福机械手的传动机构与等效链惯量关节iIaiJii空载（min）Jii空载(max)Jii满载(max)10.9531.4176.1769.5722.1933.596.9510.330.7827.2577.2579.05740.1060.1080.1230.23450.0970.1140.1140.22560.0400.040.040.04机械手各关节由传动机构按齿轮减速比a来驱动。在直接驱动的情况下，a=1，在间接驱动的情况下，关节速度是传动机构速度的1/a,通过减速齿轮折合过来的传动机构惯量增加到原来的a2的倍。沿用上一章中的记号，可以把等效关节惯量Jii写为Jii=Dii+Iai(7.2)其中Dii是不计传动机构惯量的关节等效惯量，Iai是增加a2倍以后的传动机构惯量。一般地，传动机构或者是液压装置，或者是电动装置。两类传动机构都可以用一个传动增益km和一个粘性阻尼系数F来描述。不考虑库仑摩擦，传动机构的模型为kmFSJ1-)(sSd)(sS+这个方块图化为标准形式为H(s)再化简为因而，传动机构与关节的传递函数就成为FSJksSsSmd)()(（7.3）-R(s)E(s)G(s)F(s)C(s)+R(s)C(s))()(1)(sGsHsG图中G（s）=km/SJH（s）=F/km从测速发电机或通过其他方式引来速度反馈，我们就可增加传动机构的固有阻尼，方块图于是变为)(sSd)(sS)(mvmkkFSJk关节与传动机构的传递函数，在考虑速度反馈后就为kv-+)(sSd)(sSFSJkm如果我们现在设置位置反馈使系统闭环，就有mvmvmedkkkkFsJskkss)()()(2（7.4）这是一个二阶系统，标准形式为2221nnss从而传递函数变为-+)(sd)(s)(mvmkkFSJkkeS1上式中ωn是系统的特征频率（无阻尼自然振荡频率），是阻尼比，当1时的欠阻尼状态，系统具有快速响应，通常情况下伺服系统为实现快速响应而采用的阻尼比范围为0.30.7。假定我们要操纵机械手把工件放到工作台面上，如果系统有超调，那机械手就会把工件送进工作台的下面，如果工作台是刚性的，势必造成机械手与工作台的相互接触力大大增加，引起机械手和工件的损坏。因此在设计控制器时，必须使系统具有无振荡特性，也就是要求系统的阻尼比1。当=1时,系统处于临界阻尼状态，这时能得到最快的无振荡响应，于是由式（7.4）有JkkmenmemvkJkkkF2（7.5）对于临界阻尼=1，有mekkmdmvkJkkkF2(7.6)为了防止激起结构振荡，保证包括连杆在内的系统稳定，必需把限制为0.5。根据（7.1）和（7.5），用具体的值表示这一限制关系，就得到structuralnJJJkkme005.0020)2(25.0Jfkkme0202Jfkkme(7.7)我们把系统增益的最大值记为mekk0202Jfkkme(7.8)例如，对于斯坦福机械手，如果我们对连杆的结构频率作一定性估计，再利用表7.1取J的中间值。就可以算出系统增益的实际最大值（见表7.2）。mekk表7.2斯坦福机械手结构频率对位置增益的限制关节14579026717803207276004150.12205150.12206200.0415800J0fmekk问题：为什么有这些限制？位置伺服增益为式(7.8)所限，可确定为ekmekJfk0202速度反馈增益的选择要使系统具有临界阻尼，可由式(7.6)确定，它随惯量的平方根变化memvkJkkkF2如果选择，使得在惯量为J0的情况下，系统具有临界阻尼memvkkJkkF002那么，由式(7.10)和式(7.11)我们就能对于惯量为任意值的情况求出正确的速度反馈增益值。（7.9）（7.11）（7.10）vkvkmmmvvkFJGkFJJFkkk1)(1))((0000JFkkGmv其中（7.12）（7.13）如果我们不知道等效惯量J，那么就必须根据惯量的最大可能值来确定。在惯量小于最大值的情况，系统处于过阻尼状态(见式（7.5）），这时系统的响应时间相应增加。当负载量达到最大值时，系统由过阻尼变为临界阻尼，在无超调情况下响应时间最小。如果等效惯量是已知的，那么对于惯量的任何值，通过计算合适的系统增益，都可以保持系统处于临界阻尼状态，从而使系统在惯量小于最大值时，得到较快的时间响应。vk式(7.9)确定了位置伺服增益的上界。为了定出它的下界，我们必须求取系统的稳态误差。这些误差对应于扰动力矩T，在传动机构以及减速齿轮之后，把它们加入系统。一个扰动力矩T相当于下列力矩的组合：负载力矩、外力矩、库仑摩擦力矩以及重力负载力矩。加入扰动力矩T后的系统方块图如图7.1所示。ek7.3稳态伺服误差(SteadyStateServoErrors)KeKmF+_+__++deSJ1S1FJGmK1T图7.1系统方框图0图中系统的误差定义为，可由下式确定)()()(0sssEdmemvmemvdmekkskkFJsTkkskkFJsskkFsJssE)()()()()(22采用终值定理，系统的稳态误差由下式确定e)(lim0ssEse由式（7.14）就得到对应于阶跃输入力矩T/s的误差meekkT从上式解出kekm，表示为伺服刚度T/θeemeTkk（7.14）（7.15）（7.16）（7.17）表7.3斯坦福手对于1牛顿力的位置偏差关节10.547900.3720.5017800.143276000.0440.252200.2850.252200.2860.2515800.04mvkkr（m）dx（mm）表7.3的第三列指出了斯坦福手每一个关节的最大伺服刚度。对于旋转关节，刚度单位为牛顿米/弧度；对于滑动关节，刚度单位为牛顿/米。为了计算机械手的刚度，我们假定1牛顿的负载力加在它的末端机构上，它的每一个关节的有效操纵臂长r列于表7.3。表中最右一列是位置偏差dx,单位为毫米。现在考虑库仑摩擦造成的误差力矩，摩擦效应必须在关节开始动作之前就要予以克服。我们不太严格地把它表示为一个关节力矩Tstatic。一旦关节运动起来，这个力矩的值就降低为Tdynamic，它阻止关节的运动。表7.4给出了斯坦福手的库仑摩擦力矩的测量值Tdynamic。可以利用库仑摩擦把伺服过程的重复精度定义为位置误差dx，它造成值为Tdynamic的伺服力矩响应。假定机械手的操纵臂长r与计算负载力矩偏差时一样，斯坦福手的重复精度计算结果有如表7.4所示。10.547901.911.3120.5017803.180.8932760012.00.4340.252200.5650.6450.252200.6350.7260.2515800.4240.07表7.4基于库仑摩擦的伺服重复精度关节r(m)mekkdx(mm)Tdynamic(n.m)表7.4列出的重复精度的相当高。在关节处于运动状态时，为了克服动摩擦，我们可以给关节施加一个前馈力矩Tff，使得重复精度的值再减小一些。前馈力矩:sTsTsTdynamicdynamicff)((7.18)0若0若在关节处于静止状态时，我们则可以施加一个脉冲力矩（克服静摩擦）来提高重复精度值。(7.19)0e若staticstaticffTTsT)(0e若下面考虑最后一种稳态误差，即由重力造成的误差。根据在最大负载情况下的重力负载Tg。按照设定的系统增益以及操纵臂长r，可算出机械手末端机构的位置偏差。表7.5以斯坦福手为例，列出了这些位置偏差值。mekk表7.5基于重力负载的位置偏差关节10.5479001.3120.50178069.319.4732760081.732.9640.252205.546.3050.252205.546.3060.25158000r(m)mekkdx(mm)Tg(n.m)重力负载造成的偏差非常大，但是不会带来任何问题，因为我们已经计算过重力矩Di。对于任何一个关节，如果它的重力负载偏差必须予以考虑，那我们可以给这个关节的附加一个前馈力矩，其大小与计算的重力负载力矩相等。修改了的伺服系统方块图如7.2所示。如果各个关节都带有库仑摩擦补偿和重力负载补偿，那么系统的所有稳态误差就转化为由未知负载或未知外力引起的等价的稳态误差力矩。emekkT(7.20)DiKmFd-+Ke++++++++TSJ1S1esTdynamicTstaticmK1FJGmK1--图7.2库仑摩擦补偿和重力负载补偿关节伺服在运动坐标系的情况下，当要求机械手以一个恒定的速度到达工位点时，伺服系统会产生稳态速度误差（注意：所谓稳态速度误差是指由关节速度引起的位置误差）。例如与传送带配合工作时，这类误差就比较重要。把恒定速度VC的拉普拉斯变换VC/s2代入式(7.14)，取极限（见式（7.15）），可求得稳态误差为cmemveVkkFkk(7.21)假定系统为临界阻尼，将有(7.6)代入上式，再利用式(7.10)和(7.1)简化得到ceVf2(7.22)7.4稳态速度误差(SteadyStateVelocityErrors)设传送带的速度为10厘米/秒，斯坦福机械手位于距传送带0.5米处，相应的速度为VC=0.2厘米/秒。跟踪误差如表7.6所示。表7.6斯坦福机械手的跟踪误差关节140.5417.19260.5010.613203.184150.252.125150.252.126200fr(m)dx(mm)从表7.6可看出，这些跟踪误差都很大，但是如果根据期望速度提供前馈，这些误差可以减小为零。原来的伺服方块图中要加上两项；一项克服阻尼系数F的影响，一项克服速度反馈系数Kv的影响。修改结果如图7.3所示。DiKmFd-+Ke++++++++TSJ1S1esTdynamicTstaticmK1FJGmK1+-FS+-d图7.3速度补偿的关节伺服++下面考虑由关节加速度造成的位置误差。我们先来研究一个非常简单的模型：在前一半运动时间里由正的加速度a起作用，而在后一半运动时间里，负加速度-a起作用。总的最大速度v为at/2，总的运动时间为T。t时刻的位置变化为at2/4，运动轨迹形