2012高考数学二轮专题复习课件：第4讲 导数及其应用新课标版理科)

第4讲导数及其应用◆利用导数的几何意义求曲线的切线方程；考查定积分的性质及几何意义．◆考查利用导数的有关知识，研究函数的单调性、极值和最值，进而解(证)不等式．◆用导数解决日常生活中的一些实际问题，以及与其他知识相结合，考查常见的数学思想方法．1．(2010·全国卷Ⅱ)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()．A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1解析∵y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝a，∴a＝1，(0，b)在切线x－y＋1＝0上，∴b＝1.答案A2．(2011·浙江)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是()．解析设h(x)＝f(x)ex，则h′(x)＝(2ax＋b)ex＋(ax2＋bx＋c)ex＝(ax2＋2ax＋bx＋b＋c)ex.由x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，得当x＝－1时，ax2＋2ax＋bx＋b＋c＝c－a＝0，∴c＝a.∴f(x)＝ax2＋bx＋a.若方程ax2＋bx＋a＝0有两根x1，x2，则x1x2＝aa＝1，D中图象一定不满足该条件．答案D3．(2011·山东)函数y＝x2－2sinx的图象大致是()．解析易知函数y＝x2－2sinx为奇函数，y′＝12－2cosx，当x0时，令y′＝0，有cosx＝14，则x＝2kπ＋x0或2kπ＋2π－x0(k∈Z)，其中x0是使cosx＝14成立的最小正数，∴当x∈(0，x0)时，y′0；当x∈(x0,2π－x0)时，y′0；当x∈(2π－x0,2π＋x0)时，y′0，以此类推，结合图象应选C.答案C4．(2011·福建)01(ex＋2x)dx等于()．A．1B．e－1C．eD．e＋1解析因为(ex)′＝ex，(x2)＝2x，所以01(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)10＝(e＋1)－(e0＋0)＝e.答案C5．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)2，则f(x)2x＋4的解集为()．A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)解析法一由x∈R，f(－1)＝2，f′(x)2，可设f(x)＝4x＋6，则由4x＋62x＋4，得x－1，选B.法二设g(x)＝f(x)－2x－4，则g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，g′(x)＝f′(x)－20，g(x)在R上为增函数．由g(x)0，即g(x)g(－1)，∴x－1，选B.答案B6．(2011·广东)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．解析由题意得f′(x)＝3x2－6x＝3x·(x－2)．当x0时，f′(x)0；当0x2时，f′(x)0；当x2时，f′(x)0.故当x＝2时取得极小值．答案2导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．函数y＝f(x)在点P处的切线与过点P的切线有何不同？定积分的求法及几何性质(1)定积分的求法①定义法：分割——近似代替——作和——取极限．②利用微积分基本定理：先求被积函数f(x)的原函数F(x)，即F′(x)＝f(x)，再计算F(b)－F(a)，即为所求．(2)定积分的几何性质如果在区间[a，b]上的函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分abf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数，这就要求熟记导数计算公式并会熟练运用．利用导数求函数的单调区间在某个区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．利用导数的单调性求含参数的范围(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0在区间(a，b)上恒成立．(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0在区间(a，b)上恒成立．在(a，b)上函数的导函数f′(x)0或f′(x)0只是函数f(x)在(a，b)上为增函数或减函数的充分条件，而不是必要条件．函数的极值与最值(1)一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值．(2)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值．极值是局部性概念，最大(小)值可以看做整体性概念，因而在一般情况下，两者是有区别的．极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．利用导数研究函数的单调性导数是研究函数单调性的一个重要工具，所以用导数研究函数的单调性是历年高考必考内容，尤其是含参函数的单调性的研究成为高考命题的热点，在选择题或填空题中主要考查由函数的单调性求解参数的取值范围，在解答题中以求解函数的单调区间为主，结合含参不等式的求解等问题，主要考查分类讨论的数学思想，试题有一定的难度．【例题1】►已知函数f(x)＝2x3＋ax与函数g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2,0)且在点P处有相同的切线．(1)求实数a，b，c的值；(2)设函数F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的单调区间，并指出F(x)在该区间上的单调性．解(1)∵f′(x)＝6x2＋a，g′(x)＝2bx，由题意得f′2＝g′2，f2＝0，g2＝0，即24＋a＝4b，16＋2a＝0，4b＋c＝0，解得a＝－8，b＝4，c＝－16.(2)由(1)得f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16，∴F(x)＝f(x)＋g(x)＝2x3＋4x2－8x－16，∴F′(x)＝6x2＋8x－8.由F′(x)0.得x－2或x23.∴F(x)的递增区间是(－∞，－2)，23，＋∞；递减区间是－2，23.利用导数研究函数单调性的一般步骤(1)确定函数的定义域．(2)求导数f′(x)．(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)0或f′(x)0；②若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．【变式1】►已知函数f(x)＝lnx－a2x2＋ax(a∈R)，若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．解显然函数f(x)＝lnx－a2x2＋ax的定义域为(0，＋∞)．因为函数f(x)＝lnx－a2x2＋ax(a∈R)，所以f′(x)＝1x－2a2x＋a＝－2a2x2＋ax＋1x＝－2ax＋1ax－1x.法一(1)当a＝0时，f′(x)＝1x0，∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，不合题意．(2)当a0时，f′(x)≤0(x0)，即(2ax＋1)(ax－1)≥0(x0)，即x≥1a.此时f(x)的单调递减区间为1a，＋∞.依题意，得1a≤1，a0，解之得a≥1.(3)当a0时，f′(x)≤0(x0)，即(2ax＋1)(ax－1)≥0(x0)，即x≥－12a.此时f(x)的单调递减区间为－12a，＋∞.依题意，得－12a≤1，a0，解之得a≤－12.综上，实数a的取值范围是－∞，－12∪[1，＋∞)．法二(1)当a＝0时，f′(x)＝1x0，∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，不合题意．(2)当a≠0时，要使函数f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，只需f′(x)≤0在区间[1，＋∞)上恒成立．∵x0，∴只要2a2x2－ax－1≥0恒成立，∴a4a2≤1，2a2－a－1≥0，解得a≥1或a≤－12.综上，实数a的取值范围是－∞，－12∪[1，＋∞)．极值作为导数的一个重要应用，是研究函数图象性质的一个重要方面，函数的最值问题涉及面广，涵盖在许多问题之中，这两者均是高考命题的重点内容，在选择题、填空题、解答题中都有涉及，试题难度不大．利用导数研究函数的极值与最值【例题2】►已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝23时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0①，当x＝23时，y＝f(x)有极值，则f′23＝0，可得4a＋3b＋4＝0②，由①②解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4.∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，解之得x＝－2，或x＝23.当x变化时，y，y′的取值及变化情况如下表：x－3(－3，－2)－2－2，232323，11y′＋0－0＋y81395274∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.(1)利用导数研究函数极值的一般步骤：①确定定义域；②求导数f′(x)；③a.若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检验f′(x)在方程根左右侧值的符号，求出极值；(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)；b.若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况，从而求解．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【变式2】►(2011·北京)已知函数f(x)＝(x－k)2exk.(1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1e，求k的取值范围．解(1)f′(x)＝1k(x2－k2)exk.令f′(x)＝0，得x＝±k.当k0时，f(x)与f′(x)的情况如下：x(－∞，－k)－k(－k，k)k(k，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)4k2e－10所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)；单调递减区间是(－k，k)．当k0时，f(x)与f′(x)的情况如下：x(－∞，k)k(k，－k)－k(－k，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)04k2e－1所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)；单调递增区间是(k，－k)．(2)当k0时，因为f(k＋1)＝ek＋1k1e，所以不会有∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e.当k0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝4k2e.∴4k2e≤1e，∴4k2≤1，∴－12≤k0.故当∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤1e时，k的取值范围是－12，0.运用导数解决实际问题是函数应用的延伸，由于传统数学应用题的位置已经被概率解答题占据，所以在历年高考试题中很少出现单独考查函数应用题的问题，但结合其他知识综合考查用导数求解最值的问题在每年的高考试题中都有体现，解决此类问题的关键是正确建立解决问题的目标函数，注意实际问题中的自变量的取值范围限制．数学实际问题多与最值问题相关，难点在于目标函数的建立．利用导数