2012高考数学考前三个月专题复习课件7(1)：概率与统计、算法初步、复数

专题七概率与统计、算法初步、复数§1排列、组合和二项式定理真题热身1．(2011·大纲全国，改编)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有________种．解析分三步，第一步先从4位同学中选2人选修课程甲，共有C24种不同的选法，第二步给第3位同学选课程，必须从乙、丙中选取，共有2种不同的选法，第三步给第4位同学选课程，也有2种不同的选法，故共有N＝C24×2×2＝24(种)不同的选法．242．(2011·北京)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)解析数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C14＝4(个)四位数．“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C24＝6(个)四位数．“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C34＝4(个)四位数．综上所述，共可组成14个这样的四位数．143．(2011·大纲全国)(1－x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为________．解析∵Tr＋1＝Cr20(－x)r＝(－1)r·Cr20·x，∴x与x9的系数分别为C220与C1820.又∵C220＝C1820，∴C220－C1820＝0.012r2考点整合1．两个计数原理分类计数原理与分步计数原理，都是关于完成一件事的不同方法种数的问题．“分类”与“分步”的区别：关键是看事件完成情况，如果每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成则是分步．分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理将种数相乘．2．排列、组合(1)排列数公式Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，Amn＝n！(n－m)！，Ann＝n！，0！＝1(n∈N*，m∈N*，m≤n)．(2)组合数公式及性质Cmn＝AmnAmm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！，Cmn＝n！m！(n－m)！，C0m＝1，Cmn＝Cn－mn，Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.(3)应用题①解排列组合问题应遵循的原则：先特殊后一般，先选后排，先分类后分步．②常用策略：(a)相邻问题捆绑法；(b)不相邻问题插空法；(c)多排问题单排法；(d)定序问题倍缩法；(e)多元问题分类法；(f)有序分配问题分步法；(g)交叉问题集合法；(h)至少或至多问题间接法；(i)选排问题先取后排法；(j)局部与整体问题排除法；(k)复杂问题转化法．3．二项式定理(1)定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cn－1nabn－1＋Cnnbn(n∈N*)．通项(展开式的第r＋1项)：Tr＋1＝Crnan－rbr，其中Crn(r＝0,1，…，n)叫做二项式系数．(2)二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C0n＝Cnn，C1n＝Cn－1n，C2n＝Cn－2n，…，Crn＝Cn－rn.②二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.(3)赋值法解二项式定理有关问题，如3n＝(1＋2)n＝C0n＋C1n·21＋C2n·22＋…＋Cnn·2n等．分类突破一、两个计数原理的应用例1如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a2，且a3a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为________．解析共分8类：当中间数为2时，共有120和121两个数满足要求，即有2个；当中间数为3时，有2×3＝6(个)；当中间数为4时，有3×4＝12(个)；当中间数为5时，有4×5＝20(个)；当中间数为6时，有5×6＝30(个)；当中间数为7时，有6×7＝42(个)；当中间数为8时，有7×8＝56(个)；当中间数为9时，有8×9＝72(个)；故符合条件的数的个数为：2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240.答案240归纳拓展既有分类原理又有分步原理的问题，“先分类，再分步”是一个重要的计数原则，在计数时应让两个原理协同作用．在应用分类加法计数原理时，要注意“类”与“类”间的独立性与并列性；在应用分步乘法计数原理时，要注意“步”与“步”间的连续性．掌握好分类讨论的标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏．变式训练1甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有________种．解析分类：若这名女同学是甲组的，则选法有C13·C15·C26，若这名女同学是乙组的，则选法有C25·C12·C16，∴符合条件的选法共有C13C15C26＋C25C12C16＝345(种)．345二、排列与组合例2(1)(2010·大纲全国Ⅰ改编)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有__________种．(2)(2010·山东改编)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有________种．解析(1)方法一可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30(种)选法．方法二总共有C37＝35(种)选法，减去只选A类的C33＝1(种)，再减去只选B类的C34＝4(种)，故有30(种)选法．(2)分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A44种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C13种排法，其他3个节目有A33种排法，故有C13A33种排法，依分类计数原理，知共有A44＋C13A33＝42(种)编排方案．答案(1)30(2)42归纳拓展解排列、组合问题，常用的方法有：直接计算法与间接(剔除)计算法；分类法与分步法；元素分析法和位置分析法；插空法和捆绑法等．对于排列、组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列，即一般策略为先组合后排列．分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．变式训练2四张卡片上分别标有数字“2”“0”“0”“9”,其中“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为________．解析先在后三位中选两个位置填两个数字“0”有C23种填法，再排另两张卡片有A22种排法，再决定用数字“9”还是“6”有两种可能，所以共可排成2C23A22＝12(个)四位数．12三、求二项展开式的通项、指定项例3(1)求x2－12x9的展开式中的常数项；(2)已知ax－x29的展开式中x3的系数为94，求常数a的值；(3)求(x2＋3x＋2)5的展开式中含x的项．解(1)设第r＋1项为常数项，则Tr＋1＝Cr9(x2)9－r·－12xr＝－12rCr9x18－3r.令18－3r＝0，得r＝6，即第7项为常数项．T7＝－126C69＝2116.∴常数项为2116.(2)设第r＋1项是含x3的项，则有Cr9ax9－r－x2r＝94x3，得xr－9x＝x3，故32r－9＝3，即r＝8.∴C89a－128＝94，∴a＝4.(3)方法一∵(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，由于(x2＋3x＋2)5的展开式中含x的项是(x＋1)5展开式中的一次项与(x＋2)5展开式中的常数项之积，以及(x＋1)5展开式中的常数项与(x＋2)5展开式中的一次项之积的代数和．∴含x的项为C45·x·C55·25＋C55·1·C45·x·24＝240x.方法二(x2＋3x＋2)5展开式中的一次项是5个括号中有1个括号内取3x，其余4个括号内取常数项2相乘得到的，即C15·3x·C44·24＝240x.r2归纳拓展求二项展开式中某指定项的系数、二项式系数或特定项问题，是二项式定理的基本问题，通常用通项公式来解决．在应用通项公式时，要注意以下几点：(1)它表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；(2)Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项；(3)公式中a，b的指数和为n，a，b不能随便颠倒位置；(4)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；(5)对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题．变式训练3已知12＋2xn.(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解(1)因为C4n＋C6n＝2C5n，所以n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.所以T4的系数为C37124×23＝352，T5的系数为C47123×24＝70.当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.所以T8的系数为C71412727＝3432.(2)因为C0n＋C1n＋C2n＝79，所以n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大．因为12＋2x12＝1212(1＋4x)12，所以Ck124k≥Ck－1124k－1Ck124k≥Ck＋1124k＋1，所以9.4≤k≤10.4.又因为0≤k≤12且k∈N，所以k＝10.所以展开式中系数最大的项为T11.T11＝1212C1012410x10＝16896x10.四、二项式定理中的“赋值”问题例4若(1－2x)2011＝a0＋a1x＋…＋a2011x2011(x∈R)，则a12＋a222＋…＋a201122011的值为________．解析∵(1－2x)2011＝a0＋a1x＋…＋a2011x2011(x∈R)，∴令x＝0，则a0＝1，令x＝12，则1－2×122011＝a0＋a12＋a222＋…＋a201122011＝0，其中a0＝1，所以a12＋a222＋…＋a201122011＝－1.－1归纳拓展在二项式定理的应用中，“赋值法”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的常用方法．变式训练4C22n＋C42n＋…＋C2k2n＋…＋C2n2n的值为________．解析(1＋x)2n＝C02n＋C12nx＋C22nx2＋C32nx3＋…＋C2n2nx2n.令x＝1得C02n＋C12n＋C22n＋…＋C2n－12n＋C2n2n＝22n；再令x＝－1得C02n－C12n＋C22n－…＋(－1)rCr2n＋…－C2n－12n＋C2n2n＝0.两式相加，再由C02n＝1，得C22n＋C42n＋…＋C2n2n＝22n2－1＝22n－1－1.22n－1－1规范演练一、填空题1．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为________．解析利用分类计数原理，共分两类：(1)0作个位，共A29＝72(个)偶数；(2)0不作个位，共A14·A18·A18＝256(个)偶数，共计72＋256＝328(个)偶数．3282．5个大小都不同的数按照如图所示形式排列，设第一行中的最大数为a，第二行中的最大数为b，则满足a＜b的所有排列的个数为________．………………………………第一行……………………………第二行解析不妨设这5个数是1,2,3,4,5，由已知5在第二行，其余数字不必考虑排法A13A44＝72.723．用三种不同的颜色填涂下图3×3方格中的9个区域，要求每行、每列的三个区域都不同色，则共有________种不同的填涂方法.解析可将9个区域标号如图：123456789用三种不