概率论与数理统计笔记

概率论与数理统计读书笔记1第一章概率论的基本概念1随机试验1.对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验.2.随机试验E的所有结果构成的集合称为E的样本空间，记为Se，称S中的元素e为基本事件或样本点.3.可以在相同的条件下进行相同的实验；每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；进行一次试验之前不能确定哪一个结果会实现.2.样本空间、随机事件1.对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验结果，但试验的所有可能结果组成的集合是已知的.我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S样本空间的元素，即E的每个结果称为样本点.2.一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生.如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生，故又称S为必然事件。为方便起见，记为不可能事件，不包含任何样本点.3.若AB，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必导致事件的发生。若AB且BA，即AB，则称事件A与事件B相等.概率论与数理统计读书笔记24.和事件ABxxAxAAB或：与至少有一发生.5.当AB时，称事件A与B不相容的，或互斥的.这指事件A与事件B不能同时发生.基本事件是两两互不相容的.,{,{,,AASAASAAABAAAB的逆事件记为若则称互逆，互斥.6.,ABABABAB当且仅当同时发生时，事件发生.也记作.,ABABABAB当且仅当同时发生时，事件发生,也记作.7.事件A的对立事件：设A表示事件“A出现”,则“事件A不出现”称为事件A的对立事件或逆事件.事件间的运算规律：,,,ABC设为事件则有,ABBAABBA（１）交换律：()(),ABCABC（２）结合律：()()ABCABC()()()ABCACBCACBC（３）分配律：,deMorganABABABAB（４）律：3.频率和概率1.记AnnfAn()AnAfAAn其中n发生的次数（频数）；n总试验次数.称为在这次试验中发生的频率.频率反映了事件A发生的频繁程度.2.频率的性质：121110()12()13,()()nnkkkniniiifAfSAAAfAfA。。。若,…,两两互不相容，则()nfA概率论与数理统计读书笔记33.当重复试验次数n逐渐增大时，频率呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数.这种“频率稳定性”即通常所说的统计规律性.我们让试验重复大量次数，计算频率以它来表征事件A发生可能性的大小是合适的.随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p.的稳定值p定义为A的概率，记为()PAp.4.概率定义：设E是随机试验，S是它的样本空间.对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为()PA，称为事件A的概率.满足下列条件:(1)非负性：对于每一个事件A,有()0;PA(2)规范性：对于必然事件S,有()1;PS(3)可列可加性：设12,,AA是两两相互不相容的事件，即对于ij，ijAA，,1,2ij，则有1212PAAPAPA；5.概率定义推得的重要性质.（1）()0P（2）有限可加性若123AAAAn是两两互不相容的事件则有1212AAA()()nnPPAPAPA（3）对于任一事件()PA1（4）对于任一事件A有()1PAPA(5)()()()()PABPAPBPAB()nfA()nfA()nfA()nfA概率论与数理统计读书笔记44．等可能概型（古典概型）1.当试验的样本空间只含有有限个元素，并且试验中每个基本事件发生的可能性相同，具有这样特点的试验是大量存在的，则称这种试验为等可能概型.它在概率论发展初期曾是主要的研究对象，所以也称为等可能概型.2.1AjkijkAPPen包含的基本事件数S中基本事件的总数即是等可能概型中事件A的概率的计算公式.5.条件概率1.条件概率定义：设,AB是两个事件,且()0PA，称()()()PABPBAPA为在A事件发生条件下B事件发生的条件概率.2.符合条件概率的三个条件，即：（1）非负性对于每一事件B,有A0PB（2）规范性对于必然事件S，有A1PS（3）可列可加性设12BB是两两互不相容的事件，则有11iiiiPBAPBA3.乘法定理：设A0P，则有ABPPBAPA推广:一般设12nAAA为n个事件，2n，且1210nPAAA有121211122211()()()()()nnnnnPAAAPAAAAPAAAAPAAPA.4.全概率公式：设试验E的样本空间为S，A为E的事件,概率论与数理统计读书笔记512,,....,nBBB为S的一个划分，且()0(1,2,...,)iPBin，则1122nnPAPABPBPABPBPABPB5.贝叶斯公式：设试验E的样本空间为S，A为E的事件,12,,....,nBBB为S的一个划分，且()0(1,2,...,)iPBin，则1iiinjjjPABPBPBAPABPB6.独立性1.定义：设,AB是两事件，如果满足等式()()()PABPAPB，则称事件,AB相互独立，简称,AB独立.若()0,()0PAPB,则,AB相互独立与,AB互不相容不能同时成立.2.定理一：设,AB是两事件，且AP0，若,AB相互独立，则PBA=PB.反之亦然.3.定理二：若事件A与B相互独立则A与B，A与B，A与B也相互独立.4.推广定义：设,,ABC是三个事件，如果满足等式()()()PABPAPB,()()()PBCPBPC，()()()PACPAPC,()()()()PABCPAPBPC则称事件,,ABC相互独立.5.,,,,1ABABABABPABPAPBPABPAABPAPABPAPBPAPB相互独立相互独立相互独立相互独立当时概率论与数理统计读书笔记6第二章随机变量及其分布1.随机变量1.定义：设随机试验的样本空间,SeXXe是定义在样本空间S上的实值单值函数，称XXe为随机变量.常见的两类随机变量{离散型连续型.2.本书中一般以大写字母如,,,,...XYZW表示随机变量，而以小写字母,,,,...xyzw表示实数.2.离散型随机变量及其分布律1.定义：有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量.2.定义：取值可数的随机变量为离散量.X一般地，设离散型随机变量所有可能取的值为(1,2,)kxkx取各个可能值的概率论，即事件的概率为,1,2,kkPXxpk称为离散型随机变量X的分布律。kp满足如下两个条件：（1）0kp（2）11kkp3.（0－1）分布设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律是，则称X服从（0－1）分布或两点分布.)1,10(1,0,}{1qppkqpkXPkk概率论与数理统计读书笔记7（0－1）分布的分布律也可写成4.设试验只有两个可能结果：A及A,则称E为伯努利试验．设()(01)PApp，此时()1PAp,将E独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验.kknknCpq刚好是二项式()npq的展开式中出现kP的那一项，故称随机变量X服从参数,np的二项分布，记为~(,)XBnp.特别，当1n时二项分布化为1,0,1kkPXkpqk，这就是（0-1）分布.5.泊松分布设随机变量X所有可能取值为0,1,2…..而取各个值的概率为0其中是常数，.3.随机变量的分布函数1.分布函数的定义设X是一个连续随机变量，称()()()FxpXxx为X的分布函数.X是随机变量,x是自变量.由定义，对任意实数12xx，随机点落在区间12,xx的概率为：122121()()PxXxPXxPXxFxFx.2.分布函数性质012kknknPXkCpqkn，，，，，！kkXPke，，，，210kX则称服从参数为的泊松分布，~()XP记为概率论与数理统计读书笔记81212(1)0()1,(,)(2)()(),()()FxxFxFxxx单调不减性000(3)()lim()0,()lim()1(4)lim(),()xxxxFFxFFxFxx即任一分布函数处处右连续.3.公式4.连续型随机变量及其概率密度1.如果对于随机变量X的分布函数Fx，存在非负函数()fx，使对任意实数x有xFxftdt，则称X为连续型随机变量，其中函数()fx称为X的概率密度函数简称概率密度。在实际应用中遇到的基本上是离散型或连续型随机变量.2.概率密度()fx性质：（1）()0fx（2）1fxdx（3）对于任意实数12,xx，12xx，211221xxPxXxFxFxfxdx（4）若()fx在点x处连续则有Fx()fx3.均匀分布：设连续型随机变量X具有概率密度()fx=1,0,axbba其他，则称X在区间,ab上服从均匀分布.记为(1){}()()PaXbFbFa).(1}{)2(aFaXP概率论与数理统计读书笔记9,XUab.易知-()0,()=1fxfxdx且.4指数分布：设连续型随机变量X具有概率密度/1,00,xexfx其他，其中0为常数，则称X服从参数为的指数分布.易知-()0,()=1fxfxdx且.5正态分布：设连续型随机变量X具有概率密度2221,2xfxex，则称X服从参数为,的正态分布.特别的，当0,1时，称X服从标准正态分布.5.随机变量的函数分布定理：设随机变量X具有概率密度Xfx，x，又设函数()gx处处可导且恒有''()0(()0)gxgx或恒有，则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为()()0XfhyhyyYfx其它.第三章多维随机变量及其分布1.二维随机变量1.设随机试验E的样本空间为：,SeXeYe、为定义在S上的随机变量，由它们构成一个随机向量()XY、,叫二维随机向量或二维随机变量.2.定义：设二维随机变量()XY、，对任意实数xy、,二元函数(),FXYPXxYy,,称为()XY、的(联合)概率分布函数.概率论与数理统计读书笔记10二维随机变量分布函数的性质：（1）,Fxy是变量x和y的不减函数，即对任意固定的y，当21xx时2,Fxy1,Fxy;对于任意固定的x，当21yy时2,Fxy1,Fxy.（2）0,1Fxy，且对于任意固定的y，,0Fy，对于任意固定的x,,0Fx,,0F,,1.F(3),Fxy=0,Fxy，,Fxy=,0Fxy，即,Fxy关于x右连续，关于y也右连续.(4)对于任意11,xy，22,xy，21xx，21yy，下述不等式成立:22211112,,,,0FxyFxyFxyFxy.如果二维随机变量(,)XY全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对，则称(,)XY是离散型的随机变量.3.对于二维随机变量,XY的分布函数,Fxy.如果存在非负的函数,fxy使对于任意()XY、有,,yxFxyfdd,则称,XY是连续型的二维随机