三角形的证明详细知识点、例题、习题)

第一章三角形的证明一、全等三角形（1）定义：能够完全相等的三角形是全等三角形。（2）性质：全等三角形的对应边、对应角相等。（3）判定：SAS、SSS、ASA、AAS、HL注：SSA,AAA不能作为判定三角形全等的方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角证题的思路：）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AASASAASAAASSASAASSSSHLSAS例题解析：二、等腰三角形1.性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.2.判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）．3.推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）．4.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.5.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.例题解析：三、.直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”例题解析四、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于1/2AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.例题解析五、.角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；③几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形例题解析：【课堂练习】1、△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最小边BC=4cm，最长边AB的长是（）A.5cmB.6cmC.5cmD.8cm2、如图，已知∠1＝∠2，则不一定．．．能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB＝ACB．BD＝CDC．∠B＝∠CD．∠BDA＝∠CDA3、如上图，点,,,BCFE在同一直线上,12,BCFE,1（填“是”或“不是”）2的对顶角，要使ABCDEF，还需添加一个条件，这个条件可以是（只需写出一个）．4、已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对5、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形．．．．．，则点C的个数是A．6B．7C．8D．96、一个等腰三角形静的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是．7、等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为_______________。8．等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（）A．20°B．50°C．60°D．80°AB图39、如图，在Rt△ABC中∠C=90度,∠B=2∠A，AB=6cm，则BC=________.10、如图，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=_______.11、如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：BC∥EF．(SAS)12．已知:如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE.求证:BC＝DE.ABDCE13、已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B求证：△ABC≌△CDE14、在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.求证:Rt△ABE≌Rt△CBF;ABCEFBCEAD15、如图5，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：（1）BC=AD；（2）△OAB是等腰三角形．16、已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC17、如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.ABCDO图5第一章三角形的证明检测题一、选择题（每小题4分，共36分）1、等腰三角形的两边长分别为4厘米和9厘米，则这个三角形的周长为（）A、22厘米B、17厘米C、13厘米D、17厘米或22厘米2、下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（）A、等腰三角形的两底角相等B、等腰三角形是轴对称图形C、等腰三角形不是轴对称图形D、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合3、如图1-Z-1所示，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°则∠B等于（）A、50°B、40°C、25°D、20°4、如图1-Z-2所示，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需要添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的条件是（）A、∠B=∠E，BC=EFB、BC=EF，AC=DFC、∠A=∠D，∠B=∠E，D、∠A=∠D，BC=EF5、已知：如图1-Z-3所示，m∥n，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹的锐角为20°则∠a的度数是（）A、60°B、30°C、40°D、45°B6、如图1-Z-4所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A、6B、7C、8D、9A图1-Z-1CBDDCEBAF图1-Z-2nAC图1-Z-3A、3.8cmB、7.6cmC、11.4cmD、11.2cm11、“两直线平行，内错角相等”的逆命题是7、如图1-Z-5所示，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A=80°，∠ACB=60°，那么∠BDC=（）A、80°B、90°C、100°D、110°8、如图1-Z-6所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则线段BC的长为（）12、如图1-Z-9，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=°13、如图1-Z-10是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大的正方形E的面积是.14、等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角是.三、解答题（共40分）15、（12分）已知：如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．若∠1＝60°，AE=1．(1)求∠2、∠3的度数；(2)求长方形纸片ABCD的面积S．16.已知：如图10，AB=AC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形.图1017.已知：如图11，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=21∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求证：CD=21DB.图1118.已知三角形的三边分别是n2+n，n+21和n2+n+21(n＞0)，求证：这个三角形是直角三角形.19.如图12，△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC.图1220.如图13，以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边△ABD，连结DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=2，求BE的长.