高一数学几何数学经典试题

1OSDCBAP1.如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点，求证：(1)FD∥平面ABC;(2)AF⊥平面EDB.解；(1)取AB的中点M,连FM,MC,∵F、M分别是BE、BA的中点∴FM∥EA,FM=EA∵EA、CD都垂直于平面ABC∴CD∥EA∴CD∥FM又DC=a,∴FM=DC∴四边形FMCD是平行四边形∴FD∥MCFD∥平面ABC(2)因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB又CM⊥AE,所以CM⊥面EAB,CM⊥AF,FD⊥AF,因F是BE的中点,EA=AB所以AF⊥EB.2、已知四棱锥P-ABCD(如图所示)的底面为正方形，点A是点P在底面AC上的射影，PA=AB=a，S是PC上一个动点．１）求证：PCBD；（4分）２）当SBD的面积取得最小值时,求平面SBD与平面PCD所成二面角的大小．（10分）SDCBAP1）证明：连接AC．∵点A是点P在底面AC上的射影,(1分)∴PA面AC.(2分)PC在面AC上的射影是AC.正方形ABCD中,BDAC,(3分)∴BDPC.(4分)2)解:连接OS.∵BDAC,BDPC,又AC、PC是面PAC上的两相交直线,∴BD面PAC.(6分)∵OS面PAC,∴BDOS.(7分)正方形ABCD的边长为a，BD=2a，（8分）FEDCBAM2OSDCBAP∴BSD的面积222BSDBDOSOSaS．（9分）OS的两个端点中，O是定点，S是动点．∴当BSDS取得最小值时，ＯＳ取得最小值，即OSPC．（10分）∵PCBD，OS、BD是面BSD中两相交直线，∴PC面BSD．（12分）又PC面PCD，∴面BSD面PCD．（13分）∴面BSD与面PCD所成二面角的大小为90°．（14分）4、在三棱锥P－ABC中，ABAC,060ACB,PA=PB=PC,点P到平面ABC的距离为32AC．1求二面角P－AC－B的大小；2若ACa，求点B到平面PAC的距离．.解：1由条件知△ABC为直角三角形，且∠BAC=90，∵PA=PB=PC，∴点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即斜边BC的中点E．取AC中点D，连PD,DE,PE．∵PE⊥平面ABC，DE⊥AC∵DE∥AB,∵AC⊥PD．∴∠PDE为二面角P－AC－B的平面角．又PE=32AC，DE=32AC，（060ACB）∴tan∠PDE=PEDE=32332，∴∠PDE=60．故二面角P－AC－B的大小为60．5.如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点.(Ⅰ)证明：AM⊥PM；(Ⅱ)求二面角P－AM－D的大小；(Ⅲ)求点D到平面AMP的距离.ACPBACDPBzxyOMPDCBＡ3DPABCA1B1C1解：(Ⅰ)∵四边形ABCD是矩形∴BC⊥CD∵平面PCD⊥平面ABCD∴BC⊥平面PCD……………………………2分而PC平面PCD∴BC⊥PC同理AD⊥PD在Rt△PCM中，PM=62)2(2222PCMC同理可求PA=32，AM=6∴222PAPMAM…………………………5分∴∠PMA=90°即PM⊥AM……………………6分(Ⅱ)取CD的中点E，连结PE、EM∵△PCD为正三角形∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=3∵平面PCD⊥平面ABCD∴PE⊥平面ABCD由(Ⅰ)可知PM⊥AM∴EM⊥AM∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角……………………………8分∴sin∠PME=2263PMPE∴∠PME=45°∴二面角P－AM－D为45°7、（本小题满分14分）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=BC=CA=a，AA1=2a（I）求AB1与侧面CB1所成的角；（4分）（II）若点P为侧棱AA1的中点，求二面角P－BC－A的大小；(5分)（Ⅲ）在（II）的条件下，求点A到平面PBC的距离.解：（I）取BC中点D,连结AD,B1D∵三棱柱ABC－A1B1C1是直棱柱∴侧面CB1⊥底面ABC,且交线为BC………………1分∵△ABC为等边三角形∴AD⊥BC,∴AD⊥面CB1∴∠AB1D为AB1与侧面CB1所成的角………2分EＡBCDPM4在Rt△ADB1中∵AD=32a，AB1＝2222123AAABaaa∴sin∠AB1D＝112ADAB∴∠AB1D=30（II）连结PB,PC,PD,∵PA⊥底面ABCAD⊥BC∴PD⊥BC∴∠PDA为二面角P－BC－A的平面角在Rt△PAD∵tan∠PDA＝262332aPAADa∴∠PDA＝arctan63.Ⅲ）设点A到平面PBC的距离为h，则由PABCAPBCVV得ABCPBCSPASh∴ABCPBCSPAhS22222223()22PBPAABaaa225()22BCPDPBa∴21524PBCSBCPDa∵234ABCSa，∴223230421054aahaa.6、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,2.CACBCDBDABAD（I）求证：AO平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小的余弦值；CADBOE5（I）证明：连结OC,,.BODOABADAOBD,,.BODOBCCDCOBD在AOC中，由已知可得1,3.AOCO而2,AC222,AOCOAC90,oAOC即.AOOC,BDOCOAO平面BCD（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在OME中，121,1,222EMABOEDCOM是直角AOC斜边AC上的中线，11,2OMAC2cos,4OEMABMDEOC