张量分析(本科)

第一节指标符号第二节张量的定义和代数运算第三节张量分析自然法则与坐标无关。坐标系的引入方便了问题的分析，但也掩盖了物理本质；并且相关表达式冗长。引入张量方法§A－1指标符号),,(n21ixi下标符号i称为指标；n为维数指标i可以是下标，如xi也可以是上标，如xinxx,x21记作指标的取值范围如不作说明，均表示从1~3定义这类符号系统为指标符号，一般采用下标xi（i=1,2,3）～x1，x2，x3～x,y,zui（i=1,2,3）～u1，u2，u3～u,v,wzzyzxyzyyxxzxyx333231232221131211ij321ji),,,(～～一．若干约定哑标和自由标1.Einstein求和约定凡在某一项内，重复一次且仅重复一次的指标，表示对该指标在它的取值范围内求和，并称这样的指标为哑指标。如：n1iiinn2211iixaxaxaxan21ixa),,(又如：zyx332211jjii重复不止一次的指标，求和约定失败求和约定仅对字母指标有效，如同一项内二对哑标应使用不同指标，如31i31ijiijjiijxxaxxaz331234哑标可以换用不同的字母指标2.求导记号的缩写约定jijijjxuux,,)()(22,,()()ijkijijijuuxxxxk3.自由标定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如jijibxaj为自由标j=11313212111bxaxaxa同一个方程中各项自由标必须相同不能改变某一项的自由标，但所有项的自由标可以改变12kikijikibxabxawrongrightjijibxa如：二．克罗内克（Kronecker-δ）符号定义：jijiij当当01由定义111213212223313233100010001ijIjiijii2222j3213j32j21j1iijdxdxdxdxdzdydxdsA3j2j1jAAAAAAA性质：jkjkiiijjijiilkljkijikjkijikjkij332211jjiiijij332211iiijijaaxxxAAAAAAAA3,三．Ricci符号kjie定义：011ekji即：011113112111321132213312231123eeeeeeeee共27个分量，亦称为排列符号、置换符号kijijkjkijikikjkjieeeeee322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaA)A(aaaeaaaeaaaaaaaaakjikjikjikji71321321322311332112312213§A－2张量的定义和代数运算ia分量矢量a标方向的单位矢量）(个坐基矢量3eee32133221iiaaaaeeeea1说明任意矢量可以表示为基矢量的线性组合12基矢量不是唯一的1.矢量的基本运算(1)点积基矢量点积)22(Aδijjiee任意两矢量的点积3)2(Ababaδbabajjiiijjijijieeba121(2)叉积基矢量的叉积)A(ekji42kjieee由于kjkieeeekjkiδδktt321jieeeeeeeekjitjisjritsrjjjiiieeδδeδδδδδδ321321特别地：33k21eeeee12312eekkjikjiaaaeaaaaaaaaaA321333231232221131211（比较：）两个任意矢量的叉积)52(Abaeebababajikjikjijijijiceeeeeebakkjiji2(3)混合积基矢量混合积)72()(Aeδeekjikrrjirjikrkjieeeee故也有定义)()(kjikjieeeeeekjie1矢量混合积()(26)ijkijrijkijrkrijkijkeabceabcδeabcAkrabcee表示的是以为边长的平行六面体的体积。cb,a,2(4)并矢（并乘）定义：jijieeeeabjijibaba展开共9项，可视为并矢的基ijeejiba为并矢的分解系数或分量'2x2x'1x1x2x1x'1x'2x2e'1e2.平面笛卡儿坐标系的旋转变换1e'e2'2x2x'1x1x2x1x'1x'2x),j,i()cosα'ji'21(jie,e'令：cossinsincosαji')cos()cos()cos()cos(22122111e,ee,ee,ee,e''''则：'1e2e'e21e)(21212212211121'''''''xxxxxxji于是：'''''''''21212221121121xxxxxxTji同样：'''21121xxxxji）式得由（1'':jiTji比较]['ji为正交矩阵引用指标符号：jjiixx''jjiixx由kkjijjjiixxx''''又ikkjijkikixx''说明1基矢量具有与坐标分量相同的变换规律''jijieeee''ijji2矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换规律''''jijijjiivvvv3.三维情况''jiij''jijieeee考虑一位置矢量''''ijijjjeeeeeex''jjjjxxxx''''iijjjxxcosx)('ije,ejjiixx''同理''jijixx同二维问题，可得ikkjij''（正交性）可试证：''''kijkji4.张量定义定义：在坐标变换时，满足如下变换关系的量称为张量'''''''''''''''lkjillkkjjiiijklijklkkjjiilkji自由标数目n－－张量的阶数；对于三维空间，张量分量的个数为3n个，变换式也有3n个。采用并矢记号（不变性记法或抽象记法）()ijklijklφeeee可写成上式的量也称为张量（第二种定义）讨论''ijklTT''ijklTeeee12上述表达式具有不变性特征；张量分量与坐标系有关；ijT3在坐标变换时遵循相同的变换规律ijT5.矢量与张量的点积（张量代数的一部分）ijiTaijiTeeae12左点乘：kkkjieeeeeTakiijikjiTaTa)(T)(akji右点乘:kiikjieeeeeeaTkiijjikjkjiTaaTδaTa)()(Tkji时相等只有一般jiijTT,aTTa点乘得到的新张量比原张量低一阶§A－3张量分析一.梯度、散度、旋度力学中：几何方程与位移场的梯度有关转动量与位移场的旋度有关平衡方程与应力场的散度有关1、哈密顿(Hamilton)算子(梯度算子)梯度、散度、旋度均涉及到Hamilton算子,可以表示为:iixiiee可以证明,Hamilton算子具有张量的属性,相当于一阶张量。2、梯度1标量场iei321gradxxx,),,(为一阶张量－－矢量2张量场jieeijAA（1）左梯度kjiijkkjjkiiAAeeeeee,A（2）右梯度高一阶的张量场ikjijkikjjkiAAeeeeee,AAA一般3、散度1矢量场ueejijijjuu,divu为一标量2张量场（1）左散度kkkjieeeeejjkijijkjkiAAA,,A（2）右散度kjjikjeeeeeejkjkjkkiijkjkiAAAA,,,A4、旋度1矢量场ueeeeeeeeujijik321jijijikjiuuueuuuzyxcurl321jiee2张量场（1）左旋度jikrkrkjieeeeeeeeej,rkikrk,ijrjirjik,ijkjiAeAeeAAA（2）右旋度jiijrjikjeeeeeeeeek,rijrkk,rjirkk,ijrikkjiAeAeAeAAAA一般二.高斯Gauss公式SipjkVipjkdsnTdvT...,...式中，S是空间体积Ｖ的封闭边界面，ni为边界面S的外法向方向余弦。,SijVijdsnAdvA,SiVidsndvSVdsdvn,SjjVjjdsnAdvASVdsdvAnA讨论：1、标量场2、矢量场推广到任意阶张量的情形：,SlkjiVlkjidsnAdvA其不变性记法为:SVdsdvAnA称为广义高斯公式，或称散度定理。3,SikjiVikjidsnAdvA