等差数列教学设计全面版

教学设计思路：根据高中数学课堂教学设计的基本原理，在前期分析的基础上结合《普通高中数学课程标准》（实验），制定了“等差数列”第1课时的教学设计方案．数列在整个中学数学内容中处于一个知识汇合点的地位，且有着广泛的实际应用．《等差数列》这节内容是培养学生观察问题，启发学生思考问题的好素材．教材重视从通过鞋号、座位数、运动员训练量等具体实例引入等差数列，注意将其应用到实际中去，引导学生在解决实际问题过程中提高分析问题和解决问题的能力．同时教材也强调了等差数列与一次函数的联系．因此确定本节课的教学重点是等差数列的概念和等差数列的通项公式，关键是讲清等差数列“等差”的特点及通项公式的含义．基于上述理解，故设计了以“问题”为主线的“创设情景－提出问题－解决问题－再提出问题”的教学模式．1.学习任务分析“等差数列”是人民教育出版社2006年出版的《数学（必修）》（全日制普通高级中学教科书）第三章数列中3.2节的内容，主要包括：等差数列的概念和等差数列的通项公式．数列在整个中学数学教学内容中处于一个知识的汇合点的地位，尤其是等差数列与等比数列，有着广泛的实际应用．数列还起着承前启后的作用．一方面，初中数学的许多内容在解决数列的某些问题中得到了充分运用，数列与前面学习的函数等知识有密切的联系；另一方面，学习数列又为进一步学习数列的极限等内容作好了准备．请补充分析本节内容与前后内容之间的关系。教学重点与难点：重点是等差数列概念的理解及等差数列的通项公式；难点是等差数列“等差”的特点及通项公式含义的理解．2.学习者分析学习者是高中一年级第一学期的学生．通过初中的学习和平时生活经验的积累，对“等差数列”的内容已有一定的生活经验和认知基础，但是对于把生活问题数学化，用抽象的数学符号语言来准确地描述，还有一定的难度．3.教学目标：教学目标有误：“了解”“掌握”都是含糊的动词，请改为相应的行为动词，行为动词请参照课标，请用明确、具体的行为动词。教学目标的行为主体是学生，而非教师，因此诸如“激发学生自主学习的兴趣和热情；”的行为主体就是教师了，（1）知识与技能①会用定义判断已知数列是否为等差数列；②会写出已知等差数列的通项公式；③能用函数观点分析等差数列和一次函数的关系，能用一次函数的知识来认识等差数列的性质．（2）过程与方法①经历等差数列概念的形成过程，体会从特殊到一般的数学思想方法；②通过等差数列的通项公式的探究活动，体验数学发现和创造的历程；（3）情感态度与价值观①体验探索发现知识带来的快乐；②感受数学思想和数学文化的深刻内涵；③形成自主学习的兴趣和热情；④养成勇于探究的科学精神．4.教学准备与课堂教学相关的多媒体课件．5.教学过程设计（1）创设情境——引入概念：某饮料公司拟推出一项有利于环境保护的回收饮料瓶的措施，规定每3个饮料罐可换1罐饮料……填写下列表格：购买的罐数13579喝到的罐数1471013购买的罐数246810喝到的罐数2581114问题一:①购买11罐，可喝到几罐?②购买12罐，可喝到几罐?③购买13罐，可喝到几罐?④若购买77罐饮料，可喝到几罐饮料？⑤若购买m罐饮料，可喝到几罐饮料？创设废品回收的问题情景，渗透环保意识，增加人文气息．在概念教学时，应更多地从概念的产生和发展的过程中为学生提供思维情境，让他们通过观察、比较、概括，由特殊到一般，由具体到抽象．因为数学知识的学习过程是一种包含猜测、试误、证明与反驳、实验与改进的复杂过程，所以数学课堂教学过程应该经历从现实背景中抽象出数学知识的全过程．（2）观察归纳——形成概念：为回答以上问题,先看下面的数列：1，3，5，7，9，①1，4，7，10，13；②2，4，6，8，10；③2，5，8，11，14；④问题二：能用数学文字语言来描述这些数列的共同特征吗？启发学生积极思考,大胆猜想,归纳出共同特点,引出等差数列的定义.若从教材的几个数列出发，马上提问“这些数列有什么共同特点”，尤其是让学生从“每一项减前一项的差都相等”这一特征去发现问题，造成学生的思维定势，没有一个让学生自主观察、发现、探索的空间，不利于数学概念的形成．让学生用数学文字语言和符号语言来描述，并展示学生学习理解的过程，实现概念的数学化．要求学生在不看课本的前提下总结等差数列的定义，学生可能会下“后一项与前一项的差等于常数”、“每一项与它前一项的差等于同一个常数”的等差数列的定义，尽管总结的语言很可能不严密、不流畅，教师也不要着急地去照本宣科，否定学生的回答，相信学生在经历了一番挫折后会逐步完善他们的语言表述，这样一方面使形成的知识记忆牢固，另一方面能真正将培养能力落到实处．能用数学符号语言来描述这些数列的共同特征吗？daann1（d为常数，*Nn且2n）无论是数学文字语言还是数学符号语言的描述都是十分严谨的，容不得丝毫偏差．严谨求实是数学最基本的科学态度．它也是数学人文价值的重要体现之一．实际生活中这样的数列例子很多，让学生举例．例如：全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码；衬衫尺寸；堆垛等．数学源于生活．加深对数列的感性认识．满足这样特征的数列很多，所以我们有必要为这样的数列取一个名字．教师可将为数列取名的任务交给学生，让学生切身体会数学家思想轨迹．定义：1、文字语言:一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．2、数学符号语言：daann1（d为常数，*Nn且2n）．对定义进行分析，强调：ⅰ．从第２项起；ⅱ．相邻两项的差，且后一项减去前一项；（防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数、负数、也可以是零）ⅲ．差为同一个常数；ⅳ．*Nn且2n，对所有的ｎ都成立，无一例外．数学史介绍：等差数列的历史研究是数学史上最早出现的并引起人们广泛应用的数列．在1858年苏格兰收藏家收藏的、出自埃及的、约公元前1650年的阿莫斯纸草上就记载着两例等差数列（10人分10斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前一人少81）；在我国出土的春秋至战国时代楚国的铜环权，其重量大致都按等差数列配置；成书于公元前二世纪的《周髀算经》上有“七衡图”……这些都记载着对等差数列的大量研究，被誉为“数字推理的第一思维”．数学史是人类文化的重要组成部分，贯穿数学文化的发展历程．有意识地融入数学史的教学，利用它激发学生的学习兴趣，培养学生的数学精神，促进学生对数学的理解和对数学价值的认识，构筑数学与人文之间的桥梁．抽象出的4个数列都是等差数列，分别说出它们的公差．引导学生发现公差d对数列的影响，当0d时，数列的递增的，当0d时，数列是递减的，当0d时，数列是常数列．（3）变式训练——巩固概念：问题三：将数列①的项的次序颠倒，得到下列数列9,7,5,3,1,是否与原数列一样？是否是等差数列？若是，公差是多少？练习：判断下列数列是否为等差数列？若是，公差是多少？若不是，说明理由．①２，０，２，４，６，８；②27,12,3；③x7，x3，x，x5，x9；④,,,,,,432naaaaa．（需分类讨论）通过变式训练，巩固概念．注意对数列概念严谨性的分析，尤其是③和④，应分析公差d是一个不随项数n的改变而改变的常数．变式要有一定的难度，但要体现由易到难，层层递进，让问题始终处于学生思维水平的最近发展区．设计变式一定要内涵丰富，境界开阔，给学生留下充足的思维空间．（4）讨论研究——深化概念：Ⅰ．通项探究：回到引入的问题一，其中的①②③都易解决，但④比较麻烦…引导学生得出：若能求出通项公式，问题就容易解决了，并把问题推广到一般情况．问题四：已知等差数列}{na的首项是1a，公差是d，432,,aaa是多少？na又是多少（用首项1a及公差d表示）？方法1：2n时，daa123n时，dadaa21234n时，dadaa3134…dnadaann)1(111n时，也成立．（归纳，猜想．培养学生的合情推理的能力）方法2：daa12daa23daa34daa45…daann1用叠加，得dnaan)1(1，1n时，也成立．整理，得：dnaan)1(1Nn在学生讨论探索的基础上，点评小结：方法1的通项公式是由432,,aaa……归纳得到的，归纳得出的公式对1a是否成立需要补充说明．这种由前几项归纳得出一般的通项公式的方法（由特殊到一般），我们称为不完全归纳法，其结果不一定可靠，还需证明的，这里证明省略．归纳法，也是我们今后已知数列的递推式求通项公式的常用方法．方法2叫累差叠加法．在分析过程中引导学生得出：在叠加时，从上到下少加一行，就会得到dnaan)2(2，少加两行就会得到dnaan)3(3…，即得到dmnaamn)(Nnm,．引导学生思考：在等差数列}{na中，确定其中任意的两项，这个等差数列的通项确定吗？弗赖登塔尔认为数学教学方法的核心是学生的“再创造”．教师不必将各种规则，定律灌输给学生，而是应该创造合适的条件，提供很多具体的例子，让学生在实践活动的过程中，自己“再创造”出各种运算方法，或是发现有关的各种规律．说明：等差数列的通项公式：dnaan)1(1（*Nn）①已知一个等差数列的首项和公差，可以确定这个数列中的任何一项.②等差数列的通项公式反映的是第n项与首项、公差的关系．③公式中一共有dnaan,,,1四个量，其中1a与d是基本量，只要知道其中的任意三个量的值，就可以利用方程思想求出第四个量的值，即知三求一．④公式记忆：等差数列的第n项是其首项与公差的)1(n倍之和．数学教师要不要培养学生的记忆能力？这是有争议的．我认为，数学教师有可能、也有必要培养学生的记忆能力．写出①②③④四个数列的通项公式．Ⅱ．简单应用：例：在等差数列}{na中，已知105a，3112a，求na．解：由题意可知311110411dada解方程组，得3,21da即这个等差数列的首项是2，公差是3；通项公式为53nan．引导学生一题多解，注意让学生分析，并通过学生的不同解释，加深对数列基本法的理解，以及决定等差数列要素的选择．本解法采用待定系数法，通过解方程（组），求出首项和公差．方程思想，是数学中常用的解题思想方法．方程思想的核心是运用数学的符号化语言，将问题中已知量和未知量（或参变量）之间的数量关系，抽象为方程（或方程组）、不等式等数学模型，然后通过对方程（或方程组）、不等式的变换求出未知量的值，使问题获解．方程思想体现了已知和未知的对立统一．练习：解决引入问题．若是消费者购买了77罐饮料，则可以喝到115罐饮料；若是消费者购买了m罐饮料，则当m是奇数时，可以喝到213m罐饮料；当m是偶数时，可以喝到223m罐饮料．Ⅲ．挖掘等差数列的函数特征：在数列的通项公式中，任取一个n，都有唯一一个na与之对应，联系映射的思想，挖掘数列的函数特征．问题五：数列的通项公式的实质是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，那么，等差数列的通项公式是什么函数？danddnaan11)1(，等差数列的通项公式也可以表示成qpnan（设daqdp1,）．结论：当0p即公差0d时，它是关于n的一次函数，当0p即公差0d时，它是常数函数．在讲等差数列的概念时，凸现它与一次函数的联系，便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质．对于任意一个n，都有唯一确定的na与之对应，这与以前学过的什么内容类似，引发学生联想，归纳，学生自然会想到一次函数，并告诉学生这不是新的知识，而是函数旧知识的延伸和拓展．问题六：数列图像是一群孤立的点，那么，等差数列的图像又有什么特征？结论：用图象表示时，从图上看，表示这个数列的各点),(nan均匀排列在直线qpxy的图象上，其首项是qp，公差是p．由两个点唯一确定一条直线的性质，任意两项可以确定一个等差数列的通项．（5）总结反思——提高认识1．用三种数学语言表