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利用直线参数方程t的几何意义1、直线参数方程的标准式(1)过点P0(00,yx),倾斜角为的直线l的参数方程是sincos00tyytxx(t为参数)t的几何意义:t表示有向线段PP0的数量,P(yx,)P0P=t∣P0P∣=t为直线上任意一点.(2)若P1、P2是直线上两点,所对应的参数分别为t1、t2,则P1P2=t2-t1∣P1P2∣=∣t2-t1∣(3)若P1、P2、P3是直线上的点,所对应的参数分别为t1、t2、t3则P1P2中点P3的参数为t3=221tt,∣P0P3∣=221tt(4)若P0为P1P2的中点,则t1+t2=0,t1·t202、直线参数方程的一般式过点P0(00,yx),斜率为abk的直线的参数方程是btyyatxx00(t为参数)点击直线参数方程:一、直线的参数方程问题1:(直线由点和方向确定)求经过点P0(00,yx),倾斜角为的直线l的参数方程.设点P(yx,)是直线l上任意一点,(规定向上的方向为直线L的正方向)过点P作y轴的平行线,过P0作x轴的平行线,两条直线相交于Q点.1)当PP0与直线l同方向或P0和P重合时,P0P=|P0P|则P0Q=P0PcosQP=P0Psin2)当PP0与直线l反方向时,P0P、P0Q、QP同时改变符号P0P=-|P0P|P0Q=P0PcosQP=P0Psin仍成立设P0P=t,t为参数,又∵P0Q=0xx,0xx=tcosQP=0yy∴0yy=tsin即sincos00tyytxx是所求的直线l的参数方程∵P0P=t,t为参数,t的几何意义是:有向直线l上从已知点P0(00,yx)到点P(yx,)的有向线段的数量,且|P0P|=|t|①当t0时,点P在点P0的上方;②当t=0时,点P与点P0重合;③当t0时,点P在点P0的下方;xyh0hP0hP(yx,)Qlxyh0hP(yx,)P0hQll特别地,若直线l的倾斜角=0时,直线l的参数方程为00yytxx④当t0时,点P在点P0的右侧;⑤当t=0时,点P与点P0重合;⑥当t0时,点P在点P0的左侧;问题2:直线l上的点与对应的参数t是不是一对应关系?我们把直线l看作是实数轴,以直线l向上的方向为正方向,以定点P0为原点,以原坐标系的单位长为单位长,这样参数t便和这条实数轴上的点P建立了一一对应关系.问题3:P1、P2为直线l上两点所对应的参数分别为t1、t2,则P1P2=?,∣P1P2∣=?P1P2=P1P0+P0P2=-t1+t2=t2-t1,∣P1P2∣=∣t2-t1∣问题4:若P0为直线l上两点P1、P2的中点,P1、P2所对应的参数分别为t1、t2,则t1、t2之间有何关系?根据直线l参数方程t的几何意义,P1P=t1,P2P=t2,∵P0为直线l上两点P1、P2的中点,∴|P1P|=|P2P|P1P=-P2P,即t1=-t2,t1t20一般地,若P1、P2、P3是直线l上的点,所对应的参数分别为t1、t2、t3,P3为P1、P2的中点则t3=221tt(∵P1P3=-P2P3,根据直线l参数方程t的几何意义,∴P1P3=t3-t1,P2P3=t3-t2,∴t3-t1=-(t3-t2,))性质一:A、B两点之间的距离为||||21ttAB,特别地,A、B两点到0M的距离分别为.|||,|21tt性质二:A、B两点的中点所对应的参数为221tt,若0M是线段AB的中点,则021tt,反之亦然。在解题时若能运用参数t的上述性质,则可起到事半功倍的效果。xyh0hP0hP(yx,)xyh0hPP0hlxyh0hP1P0hlP2应用一:求距离例1、直线l过点)0,4(0P,倾斜角为6,且与圆722yx相交于A、B两点。(1)求弦长AB.(2)求AP0和BP0的长。应用二:求点的坐标例2、直线l过点)4,2(0P,倾斜角为6,求出直线l上与点)4,2(0P相距为4的点的坐标。应用三:解决有关弦的中点问题例3、过点)0,1(0P,倾斜角为4的直线l和抛物线xy22相交于A、B两点,求线段AB的中点M点的坐标。
本文标题:直线参数方程t的几何意义
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