2018年全国高考新课标2卷文科数学试题(解析版)

高考真题高三数学第1页共10页2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．i(2+3i)=()A．3-2iB．3+2iC．-3-2iD．-3+2i解析：选D2．已知集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，则A∩B=()A．{3}B．{5}C．{3,5}D．{1,2,3,4,5,7}解析：选C3．函数f(x)=ex-e-xx2的图像大致为()解析：选Bf(x)为奇函数，排除A,x0,f(x)0,排除D,取x=2,f(2)=e2-e-241,故选B4．已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)=()A．4B．3C．2D．0解析：选Ba·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=35．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3解析：选D5人选2人有10种选法，3人选2人有3中选法。6．双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y=±2xB．y=±3xC．y=±22xD．y=±32x解析：选Ae=3c2=3a2b=2a7．在ΔABC中，cosC2=55，BC=1，AC=5，则AB=()A．42B．30C．29D．25高考真题高三数学第2页共10页解析：选AcosC=2cos2C2-1=-35AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32AB=428．为计算S=1-12+13-14+……+199-1100，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入()开始0,0NTSNTS输出1i100i1NNi11TTi结束是否A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+4解析：选B9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A．22B．32C．52D．72解析：选C即AE与AB所成角，设AB=2,则BE=5,故选C10．若f(x)=cosx-sinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是()A．π4B．π2C．3π4D．π解析：选Cf(x)=2cos(x+π4),依据f(x)=cosx与f(x)=2cos(x+π4)的图象关系知a的最大值为3π4。11．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=600，则C的离心率为()A．1-32B．2-3C．3-12D．3-1解析：选D依题设|PF1|=c,|PF2|=3c,由|PF1|+|PF2|=2a可得12．已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A．-50B．0C．2D．50解析：选C由f(1-x)=f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0;f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为__________．解析：y=2x-214．若x,y满足约束条件x+2y-5≥0x-2y+3≥0x-5≤0,则z=x+y的最大值为__________．解析：9高考真题高三数学第3页共10页15．已知tan(α-5π4)=15，则tanα=__________．解析：由两角差的正切公式展开可得tanα=3216．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为300，若ΔSAB的面积为8，则该圆锥的体积为__________．解析：设母线为2a，则圆锥高为a，底面半径为3a,依题12×2a×2a=8,∴a=2∴V=13×π×(23)×2=8π三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=-15,由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.（2）由（1）得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为−16.18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,17）建立模型①：y^=-30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,7）建立模型②：y^=99+17.5t．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y^=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y^=99+17.5×9=256.5(亿元).（2）利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下：高考真题高三数学第4页共10页（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y^=-30.4+13.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y^=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19．（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．（1）证明：因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23.连结OB.因为AB=BC=22AC，所以ΔABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=12AC=2.由OP2+OB2=PB2知OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知OP⊥平面ABC.（2）解：作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC=12AC=2，CM=23BC=423，∠ACB=45°．所以OM=253，CH=OC·MC·sin∠ACBOM=455．所以点C到平面POM的距离为455．※也可用等积法求20．（12分）设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y=k(x-1)(k0).高考真题高三数学第5页共10页设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由y=k(x-1)y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+160，故x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=x1+x2+2=2k2+4k2+2=8，解得k=-1（舍去），k=1.因此l的方程为y=x-1.（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则y0=-x0+5(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16解得x0=3y0=2或x0=11y0=-6因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.21．（12分）已知函数f(x)=13x3-a(x2+x+1)．（1）若a=3，求f(x)的单调区间；（2）证明：f(x)只有一个零点．解：（1）当a=3时，f（x）=13x3-3x2-3x-3)，f′（x）=x2-6x-3263xx．令f′（x）=0解得x=3-23或x=3+23．当x∈（–∞，3-23）∪（3+23，+∞）时，f′（x）0；当x∈（3-23，3+23）时，f′（x）0．故f（x）在（–∞，3-23），（3+23，+∞）单调递增，在（3-23，3+23）单调递减．（2）由于x2+x+10，所以f(x)=0等价于x3x2+x+1-3a=0．设g(x)=x3x2+x+1-3a，则g′（x）=x2(x2+2x+3)(x2+x+1)2≥0，仅当x=0时g′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．又f（3a–1）=-6a+2a-13=-6(a-16)2-160，f（3a+1）=130，故f（x）有一个零点．综上，f（x）只有一个零点．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2cosθy=4sinθ（θ为参数），直线l的参数方程为x=1+tcosαy=2+tsinα（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为x24+y216=1．当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y=tanαx+2-tanα，当cosα=0时，l的直角坐标方程为x=1．高考真题高三数学第6页共10页（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0．①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1+t2=0．又由①得2cosα+sinα=0，，于是直线l的斜率k=tanα=-2．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数f(x)=5-|x-a|-|x-2|．（1）当a=1时，求不等式f(x)≥0的解集；（2）若f(x)≤1，求a的取值范围．【解析】（1）当a=1时，2x+4x≤-12-1x≤2-2x+6x2可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}．（2）f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4．而|x+a|+|x-2|≥|a+2|，且当x=2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a+2|≥4．得a≤-6或aα2，所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞)．高考真题高三数学第7页共10页绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案一、选择题1．D2．C3．B4．B5．D6．A7．A8．B9．C10．C11．D